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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Integration » Eigenschaft der Fouriertransformation
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Universität/Hochschule Eigenschaft der Fouriertransformation
Leo2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-13

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Zu zeigen: $\widehat{f(Mx)}(\xi) = |detM|^{-1}\hat{f}(M^{-T}\xi)$ für f aus $L_1 (R^d)$ und M aus der allgemeinen linearen Gruppe.

Man kann zunächst die Definition der Fouriertransformation anwenden und substituieren. Aber wie erhält man die Determinante und die Transponierte von M?
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-14


Hallo, Leo2,

willkommen auf dem Matheplaneten.

Ich glaube, du kannst leichter Hilfe bekommen, wenn du deine Definition der Fouriertransformierten hinschreibst und erklärst, was du mit <math>M^{-T}</math> meinst. Die Transponierte der Inversen vielleicht?

Wally



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Leo2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-14

\(\begingroup\)
Hallo Wally,

die Fouriertransformation von f haben wir wie folgt definiert:
\[\hat f(\xi) = \int_{\mathbb{R}^d}f(x)exp(-ix\xi)dx\].

Genau mit M^(-T) meine ich die Transponierte der Inversen, da müsste gelten M^(-T)=(M^(-^1))^T=(M^T)^(-1).




\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-14


Hi, was im Exponenten der Exponentialfunktion steht, ist doch ein Skalarprodukt.

Versuche mal <math>\langle x,y\rangle= \langle M x, M^{-T} y\rangle </math>  und den Transformationssatz zu verwenden.

Wally



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Leo2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-14

\(\begingroup\)
Dann erhalte ich

\[\hat f (\xi) = \int_{\mathbb{R}^d} f(Mx) exp(-i <x,\xi>)dx
= \int_{\mathbb{R}^d} f(Mx) exp(-i <Mx,M^{-T}\xi>)dx \]
Mit der Substitution y=Mx und dx=M^(-1)dy erhält man dann

\[= \int_{\mathbb{R}^d} f(y) exp(-i <y,M^{-T}\xi>)M^{-1}dy \]
Jedoch ist mir jetzt noch unklar, wie mit dem Transformationssatz dann der Rest folgt..
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-14

\(\begingroup\) \(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Statt \(M^{-1} \,dy\) sollte da \(\D \frac{1}{\det M} \, dy\) stehen, oder?

Wally
\(\endgroup\)


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Leo2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-14


Das ist genau die Stelle, die ich noch nicht verstehe.



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-14


Das ist doch der Transformationssatz - guck den nochmal nach :)

Wally



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Leo2
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-14

\(\begingroup\)
Ich denke, es sollte so funktionieren:

Mit der Transformationsformel zur Verallgemeinerung der Substitution im Mehrdimensionalen folgt
\[\int_{\mathbb{R}^d}f(Mx)exp(-i <Mx,M^{-T}\xi>)dx = \int_{\mathbb{R}^d}f(y)exp(-i <y,M^{-T}\xi>)|det M^{-1}|dy \] Und mit der Darstellung der Fouriertransformation und da \[|det M^{-1}|=|det M|^{-1}\] gilt, folgt dann die Behauptung.

Vielen Dank für Ihre Hilfe!


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-14


Gern geschehen :)

Wir duzen uns hier.

Viele Grüße

Wally



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