Die Mathe-Redaktion - 10.12.2018 14:57 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 783 Gäste und 23 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Topologie » Unterschied zwischen metrischen und topologischen Räumen
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Unterschied zwischen metrischen und topologischen Räumen
Marie97
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 24
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-14 17:26

\(\begingroup\)
Guten Abend.

Ich besuche seit Oktober die Analysis II Vorlesung und wir haben uns schon mit den Begriffen "normierter Raum", "metrischer Raum" und "topologischer Raum". Ich bin sehr, sehr verwirrt über die ganzen Begriffe und der Art und Weise, wie diese uns vorgestellt werden.


Ohne eine wirkliche (oder zumindest für mich nicht schlüssige) Begründung fängt der Prof an, Konvergenz und Stetigkeit für metrische Räume zu definieren, dann definiert er sie in topologischen Räumen und plötzlich befindet er sich wieder in normierten Räumen und definiert dann plötzlich die Cauchyfolge, ohne darauf einzugehen, warum er das nicht gleich für metrische Räume definiert und so weiter.

In allen anderen Skripte steht auch nicht wirklich (oder sehr kurz ) erklärt, warum man Konzepte wie metrische und topologische Räume eingeführt. Ich versuche mir gerade eine Art Zusammenfassung zu basteln über die Verallgemeinerungen, um mir ein Überblick zu verschaffen.


Ich möchte kurz erklären, was ich jeweils unter einem normierten Raum, metrischen Raum und topologischen Raum verstehe, damit ihr mein Wissensstand ungefähr kennt.



Vektorraum mit Skalarprodukt
_____________________________


Bei einer Menge M mit einem Skalarprodukt war es doch so, dass dieses Skalarprodukt eine Art Winkel-und Längenmessung impliziert. Diese ist eine Spezialform des normierten Raumes. Damit M mit einem Skalarprodukt versehen werden kann, muss ein M ein Vektorraum sein. M braucht also viel Struktur.


Vektorraum mit Norm
____________________


Hier verallgemeinern wir das Ganze und wollen M nun mit der Norm versehen, was nur eine Längenmessung impliziert. Und sonst nichts.

Und warum ist das eine Verallgemeinerung des Vektorraums mit einem Skalarprodukt? Weil das Skalarprodukt eines Vektors v mit sich selbst die Euklidische Metrik induziert.

Also: $<v,v> = \vert \vert v \vert \vert_{2}$.
Somit folgt ja logischerweise, dass wenn ich ein Skalarprodukt habe, auch dementsprechend eine Norm.

Aber nicht jede Norm stammt von einem Skalarprodukt, wie z.B. die Maximumsnorm $\vert \vert v \vert \vert_{\infty}$.

Daher ist der normierte Raum eine Verallgemeinerung vom Vektorraum mit Skalarprodukt. Außerdem muss eine Menge M, die mit einer Norm versehen wird, auch ein Vektorraum sein.




Metrischer Raum
________________

Hier verallgemeinern wir den metrischen Raum. Wenn wir eine Menge M mit einer Metrik versehen wollen, dann muss M nicht unbedingt ein Vektorraum sein. Für manche Metriken braucht man keine großartige Struktur wie die eines Vektorraums.

Warum ist ein metrischer Raum eine Verallgemeinerung eine normierten Raumes?

Weil die euklidische Norm zweier Vektoren $\vert \vert x -y \vert \vert = d(x,y):= \vert \vert x -y \vert \vert$ entspricht. Das ist eigentlich witzlos, aber gut.

Somit folgt daraus, dass ich, wenn ich einen normierten Raum habe, dann auch automatisch eine Metrik.

Aber z.B. die diskrete Metrik ist eine Metrik, die nicht durch eine Norm induziert wird. Deshalb ist der normierte Raum eine Verallgemeinerung des metrischen Raumes.


Hier werden Begriffe wie Epsilon-Umgebung, Offene Menge und Abgeschlossene Menge definiert, oder? Also sie sind schon für einen metrischen Raum notwendig.

Aber wo genau braucht man das "Innere" oder den "Abschluss" einer Menge zu definieren? Erst bei topologischen Räumen oder bei metrischen Räumen? Ich bin da echt durcheinander

Topologischer Raum
___________________

Diesen Raum stelle ich mir einfach mal eine Menge mit Punkten vor. Völlig ohne Struktur.  Diese Menge M, die mit einer Topologie versehen wird, ist eine Verallgemeinerung des metrischen Raumes. Hier versucht man Abstände zu meiden und den Begriff einer "Nähe" einfach durch die Darstellung von Mengen zu beschreiben. Ich weiß, dass ich gerade mathematisch nicht korrekt formuliere, aber ich hoffe ihr wisst, was ich meine.


Aber ich weiß nicht genau, was eine Metrik induziert. Besser gesagt, kann ich nicht erklären, warum der topologische Raum die Verallgemeinerung eines metrischen Raumes sein soll... Hat jemand eine Idee?


Ich wäre für jede Antwort dankbar!
Und tut mir leid für den langen Text, aber ich will sicher gehen, ob ich das alles so richtig verstanden habe.

Liebe Grüße
Marie
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
MeWi
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 14.03.2011
Mitteilungen: 610
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-14 18:05

\(\begingroup\)
Erst einmal sollte man bei diesen Fragen vielleicht etwas präziser sein. Ein Vektorraum mit Skalarprodukt ist, streng gesprochen, kein normierter Raum. Das sind zwei verschiedene Strukturen: einmal Vektorraum & Skalarprodukt und einmal Vektorraum & Norm. Ebenso ist ein normierter Raum kein metrischer Raum etc. Wenn man das trotzdem so sagt, dann meint man eigentlich, dass ein Skalarprodukt auf kanonische Weise eine Norm induziert, eine Norm auf kanonische Weise eine Metrik etc. Sobald man das einmal verstanden und verinnerlicht hat, schadet es nicht, diese verkürzende Sprechweise zu benutzen, aber man sollte sich dessen stets bewusst sein.

Übrigens induziert ein Skalarprodukt nicht die "Euklidische Metrik" (allein schon, weil es keine Metrik ist). Die richtige Definition für die induzierte Norm ist außerdem $\lVert v\rVert=\langle v,v\rangle^{1/2}$ (beachte die Wurzel).

Auch beim metrischen Raum weiß ich nicht, warum du da plötzlich die "euklidische Norm" hineinbringst. Die euklidische Norm ist eine ganz spezielle Norm auf $\mathbb{R}^n$ bzw. $\mathbb{C}^n$. Diese Definition gilt aber für jede beliebige Norm.
Und warum soll sie witzlos sein?

Inneres und Abschluss sind genau wie offene und abgeschlossene Mengen topologische Begriffe. Man definiert offene (und dementsprechend abgeschlossene) Mengen für metrische Räume deshalb, um über die induzierte Topologie sprechen zu können. Du kannst natürlich auch das Innere und den Abschluss einer Menge in einem metrischen Raum definieren, das ist dann aber nichts anderes als das Innere oder der Abschluss bezüglich der induzierten Topologie. Und diese ist, um deine letzte Frage zu beantworten, genau die Menge aller (bezüglich der gegebenen Metrik) offenen Teilmengen.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4517
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-14 20:10

\(\begingroup\)
Hallo Marie97,

ich finde, du hast das sehr schön zusammengefasst. smile

2018-11-14 17:26 - Marie97 im Themenstart schreibt:
Aber ich weiß nicht genau, was eine Metrik induziert. Besser gesagt, kann ich nicht erklären, warum der topologische Raum die Verallgemeinerung eines metrischen Raumes sein soll... Hat jemand eine Idee?

Als Ergänzung zu MeWis Ausführungen:

Ein topologischer Raum ist ja ein Paar (X,O) mit \(O\subseteq \cal P(X)\), wobei O gewisse Eigenschaften erfüllen muss. O ist dann die "Menge der offenen Mengen" in X.

Für einen metrischen Raum (X,d) kannst du ebenfalls "offene Mengen" definieren:
Ein Menge \(Y\subseteq X\) ist offen, falls sie mit jedem x eine komplette epsilon-Umgebung von x enthält.

Dann kann man zeigen (und das solltest du vielleicht tun), dass X mit den so definierten offenen Mengen eine Topologie bilden.

Also ist ein metrischer Raum ein Spezialfall eines topologischen Raums.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Marie97
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 24
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-14 22:00

\(\begingroup\)
Danke an euch beiden für die Antwort!

Erstmal zu MeWi:


2018-11-14 18:05 - MeWi in Beitrag No. 1 schreibt:
Erst einmal sollte man bei diesen Fragen vielleicht etwas präziser sein. Ein Vektorraum mit Skalarprodukt ist, streng gesprochen, kein normierter Raum. Das sind zwei verschiedene Strukturen: einmal Vektorraum & Skalarprodukt und einmal Vektorraum & Norm. Ebenso ist ein normierter Raum kein metrischer Raum etc. Wenn man das trotzdem so sagt, dann meint man eigentlich, dass ein Skalarprodukt auf kanonische Weise eine Norm induziert, eine Norm auf kanonische Weise eine Metrik etc. Sobald man das einmal verstanden und verinnerlicht hat, schadet es nicht, diese verkürzende Sprechweise zu benutzen, aber man sollte sich dessen stets bewusst sein.




Okay, da hat es bei mir schon nämlich kleine Probleme gemacht. Ich finde, dass die "verkürzte" Sprechweise anfangs irritiert.

2018-11-14 18:05 - MeWi in Beitrag No. 1 schreibt:


Übrigens induziert ein Skalarprodukt nicht die "Euklidische Metrik" (allein schon, weil es keine Metrik ist). Die richtige Definition für die induzierte Norm ist außerdem $\lVert v\rVert=\langle v,v\rangle^{1/2}$ (beachte die Wurzel).

Auch beim metrischen Raum weiß ich nicht, warum du da plötzlich die "euklidische Norm" hineinbringst. Die euklidische Norm ist eine ganz spezielle Norm auf $\mathbb{R}^n$ bzw. $\mathbb{C}^n$. Diese Definition gilt aber für jede beliebige Norm.
Und warum soll sie witzlos sein?


Und dass das Skalarprodukt die euklidische Metrik nicht induziert, ist mir klar. Ich habe mich leider zwei mal verschrieben biggrin Sorry!
Das mit dem witzlos nehme ich zurück. Ich hatte einen Denkfehler.



2018-11-14 18:05 - MeWi in Beitrag No. 1 schreibt:


Inneres und Abschluss sind genau wie offene und abgeschlossene Mengen topologische Begriffe. Man definiert offene (und dementsprechend abgeschlossene) Mengen für metrische Räume deshalb, um über die induzierte Topologie sprechen zu können. Du kannst natürlich auch das Innere und den Abschluss einer Menge in einem metrischen Raum definieren, das ist dann aber nichts anderes als das Innere oder der Abschluss bezüglich der induzierten Topologie. Und diese ist, um deine letzte Frage zu beantworten, genau die Menge aller (bezüglich der gegebenen Metrik) offenen Teilmengen.


Okay, mal sehen, ob ich das richtig aufgefasst habe:

Offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Inneres, Abschluss und Rand sind also Begriffe, die für topologische Räume definiert werden.


Ich war deshalb so verwirrt, weil mein Prof diese Begriffe gleich für metrische Räume definiert hat und ich dachte, dass man diese Begriffe erst für den metrischen Raum braucht und für die Topologie vielleicht zu speziell sind und deshalb da nicht hingehören.

Ich weiß, das klingt vielleicht dämlich, aber ich bin mit diesem ganzen Thema noch nicht ganz angefreundet.


Du sagst nun, dass man diese ganzen Begriffe auch für einen metrischen Raum definiert, um über die induzierte Topologie sprechen zu können.
Was passiert zum Beispiel, wenn ich eine offene Menge für einen normierten Raum oder gar für einen VR mit einem Skalarprodukt definieren würde?

Ich verstehe es noch nicht ganz. Das ganze stelle ich mir anhand des metrischen Raumes vor:


Wenn ich d(a,b) (also den Begriff der Metrik) in normierten Raum definiere, dann erhalte ich eine Norm.

Also z.B. ich nehme $d(a,b) =  (\sum^{n}_{i = 1} (x_{i} - y_{i})^{2})^{\frac{1}{2}}$. Wenn ich diese Metrik nun für einen normierten Raum definiere, dann erhalte ich die Norm $\vert \vert x -y \vert \vert_{2}$. Ist das so ungefähr richtig?


Und wenn ich z.B. die Norm  $\vert \vert x -y \vert \vert_{2}$ für einen VR mit Skalarprodukt definieren will, dann erhalte ich doch $<x-y, x-y>$.


Was genau induziert aber eine Metrik bzw. was ist die von der Metrik induzierte Topologie?

Das kann ich mir irgendwie überhaupt nicht vorstellen. ich nehme mal für die selbe Metrik von vorher:


$d(a,b) =  (\sum^{n}_{i = 1} (x_{i} - y_{i})^{2})^{\frac{1}{2}}$

Welche Topologie induziert diese Metrik? Da bin ich echt leider überfordert...







2018-11-14 20:10 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Marie97,

ich finde, du hast das sehr schön zusammengefasst. smile

2018-11-14 17:26 - Marie97 im Themenstart schreibt:
Aber ich weiß nicht genau, was eine Metrik induziert. Besser gesagt, kann ich nicht erklären, warum der topologische Raum die Verallgemeinerung eines metrischen Raumes sein soll... Hat jemand eine Idee?

Als Ergänzung zu MeWis Ausführungen:

Ein topologischer Raum ist ja ein Paar (X,O) mit $O\subseteq \cal P(X)$, wobei O gewisse Eigenschaften erfüllen muss. O ist dann die "Menge der offenen Mengen" in X.

Für einen metrischen Raum (X,d) kannst du ebenfalls "offene Mengen" definieren:
Ein Menge $Y\subseteq X$ ist offen, falls sie mit jedem x eine komplette epsilon-Umgebung von x enthält.

Dann kann man zeigen (und das solltest du vielleicht tun), dass X mit den so definierten offenen Mengen eine Topologie bilden.

Also ist ein metrischer Raum ein Spezialfall eines topologischen Raums.

Vielen Dank, da bin ich etwas beruhigt smile

Das mag vielleicht etwas doof klingen, aber warum kann man für einen metrischen Raum den Begriff der offenen Menge so definieren:


Ein Menge \(Y\subseteq X\) ist offen, falls sie mit jedem x eine komplette epsilon-Umgebung von x enthält.


Muss da dafür nicht irgendwo der Abstand d(a,b) vorkommen? Weil man in metrischen Räumen ja damit arbeitet... Das ist noch etwas, was mich irritiert...

Das ist für mich so als würde man den Begriff der Stetigkeit für normierte Räume mit dem Begriff der Stetigkeit für metrische Räumen definieren.

Da hat man am Ende die Definition der Stetigkeit, in der die Metrik $d(a,b)$ vorkommt, aber diese Definition für einen normierten Raum gilt und man da mit der Norm arbeitet...

Tut mir leid, für die vielleicht total blöde Frage, aber ich bin mir da echt unsicher.

Liebe Grüße
Marie


\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4517
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-14 22:11

\(\begingroup\)
2018-11-14 22:00 - Marie97 in Beitrag No. 3 schreibt:
warum kann man für einen metrischen Raum den Begriff der offenen Menge so definieren:

Ein Menge \(Y\subseteq X\) ist offen, falls sie mit jedem x eine komplette epsilon-Umgebung von x enthält.

Muss da dafür nicht irgendwo der Abstand d(a,b) vorkommen? Weil man in metrischen Räumen ja damit arbeitet... Das ist noch etwas, was mich irritiert...

Ja, natürlich kommt bei "epsilon-Umgebung" der Abstand vor:

Für einen metrischen Raum (X,d) definieren wir für \(\epsilon>0\) die \(\epsilon\)-Umgebung für ein \(x\in X\) als \(U_\epsilon(x)=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon\}\).

Eine Teilmenge Y von X heißt also offen, wenn \(\forall x\in Y\exists\epsilon>0:U_\epsilon(x)\subseteq Y\).
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Marie97
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 24
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15 09:34

\(\begingroup\)
2018-11-14 22:11 - StrgAltEntf in Beitrag No. 4 schreibt:
2018-11-14 22:00 - Marie97 in Beitrag No. 3 schreibt:
warum kann man für einen metrischen Raum den Begriff der offenen Menge so definieren:

Ein Menge \(Y\subseteq X\) ist offen, falls sie mit jedem x eine komplette epsilon-Umgebung von x enthält.

Muss da dafür nicht irgendwo der Abstand d(a,b) vorkommen? Weil man in metrischen Räumen ja damit arbeitet... Das ist noch etwas, was mich irritiert...

Ja, natürlich kommt bei "epsilon-Umgebung" der Abstand vor:

Für einen metrischen Raum (X,d) definieren wir für \(\epsilon>0\) die \(\epsilon\)-Umgebung für ein \(x\in X\) als \(U_\epsilon(x)=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon\}\).

Eine Teilmenge Y von X heißt also offen, wenn \(\forall x\in Y\exists\epsilon>0:U_\epsilon(x)\subseteq Y\).



Ach ja, stimmt... Sobald ich an Umgebungen denke oder ähnliches, dann setze ich das meistens nur in Verbindung mit dem Topologischen Raum.


Was genau ist dann eine offene Menge in topologischen Räumen? Da kann ja diese Epsilon-Umgebung nicht vorkommen, da der Abstand $d(a,b)$ erstmal nur in metrischen Räumen Verwendung hat.

Den Begriff der offenen Menge in topologischen Räumen kann man ja aus der Definition des topologischen Raumes ablesen, aber da ist mir nicht klar, wo so etwas wie "Nähe" dort beschrieben wird.


Vielleicht muss ich erstmal verstehen, was der Sinn einer Topologie genau sein soll...


In einem normierten Raum wollen wir Längen messen, in einem metrischen Raum Abstände und was genau macht man in einer Topologie? Auf Wikipedia habe ich schon geschaut, aber das ist mir nicht ganz schlüssig...
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
StrgAltEntf
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4517
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-15 20:26

\(\begingroup\)
Längen und Abstände hast du in einem topologischen Raum im Allgemeinen nicht. Eigentlich ist solch ein topologischer Raum recht einfach gestrickt. Du hast eine Menge X und eine Menge T von Teilmengen von X, also \(T\subseteq\cal P(X)\). (Oben habe ich das O genannt, aber die übliche Bezeichnung ist T wie "Topologie".)

T heißt eine "Topologie auf X", bzw. (X,T) heißt "topologischer Raum", wenn
1) \(\emptyset\in T\)
2) \(X\in T\)
3) Wenn \(o_1,...,o_n\in T\), dann ist auch \(o_1\cap...\cap o_n\in T\) (d. h. T ist "abgeschlossen unter endlichen Schnitten")
4) Wenn \(o_i\in T\) für \(i\in I\), dann ist auch \(\bigcup_{i\in I}o_i\in T\) (d. h. T ist "abgeschlossen unter beliebigen Vereinigungen")

Die Elemente von T heißen die "offenen Mengen" des topologischen Raums.

Den Begriff der "Nähe" kann man vielleicht durch "konvergente Folgen" beschreiben, d. h. wann sich eine Folge \((x_n)_{n\in\IN}\) in X einem Punkt \(a\in X\) nähert, also gegen ihn konvergiert.

Bei metrischen Räumen gilt ja:
\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\) genau dann wenn \(\forall\epsilon>0\exists n_0\forall n>n_0:x_n\in U_\epsilon(a)\)

Bei topologischen Räumen ersetzt man jetzt einfach \(U_\epsilon(a)\) durch eine beliebige offene Menge des topologischen Raums, die a enthält:
\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a\) genau dann wenn \(\forall o\in T(a\in o\Rightarrow\exists n_0\forall n>n_0:x_n\in o)\)

Ich hoffe, es ist jetzt ein wenig klarer für dich.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Marie97
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.07.2018
Mitteilungen: 24
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18 18:26


Hallo! Tut mir Leid für die späte Antwort. Musste die anderen Vorlesungen nacharbeiten... Da sind wir leider schon wesentlich weiter confused

Vielen Dank für deine Hilfe und auch an alle anderen! Ich denke, dass ich so ein Beispiel gesucht habe. Ich schaue mir das ganze in Ruhe an und wenn weitere Fragen auftauchen, melde ich mich wieder.

Schönen Abend noch,

Marie



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Marie97 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Marie97 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]