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Strukturen und Algebra » Gruppen » echte Untergruppen
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Universität/Hochschule echte Untergruppen
juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-14


10.
Show that a group G cannot be the union of two proper subgroups, in other words,
a) if G = H ∪K where H and K are subgroups of G, then H = G or K = G.
b) Equivalently,if H and K are subgroups of a group G, then H ∪ K cannot be a subgroup unless H ⊆ K or K ⊆ H.

also wenn H und K echte Untergruppen von G sind G kann (un)endlich  oder abelsch sein. So wird behauptet, ist entweder H oder K die ganze G
oder $H\subseteq K$ oder $K \subseteq H$,

Hätten wir ein a aus H aber nicht in K, b aus K aber nicht in H wobei  H,K nichttriviale Untergruppen in G sind.
Dann muss ab zu H oder K gehören. sagen wir $ab=h \in H$.
Dann waere aber $b=a^{-1}h \in H$ durch linkes ranmultiplizieren von $a^{-1}$, was ein Widerspruch zu $b \in K$ ist.
sagen wir $ab \in K$, dann $a=kb^{-1}$. Wieder eine Widerspruch

b) angemommen $K\cup H$ ist eine Untergruppe von G.

In den Loesungen (schumml):

.. ,the first result with G replaced by H ∪ K implies that H = H ∪ K or K = H ∪ K, in other words, K ⊆ H or H ⊆ K.

so ein leichtes mengeninkluisionsproblem.. an sich ..
was will er replacen  :-?
Peinlich..

also ab liegt enwteder in H dann auch in K oder in K dann auch in H.. (ich glaub das stimmt nicht so .. ) naja ich schicks mal ab Helmi ist ja in Urlaub  8-)








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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-14

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2018-11-14 18:09 - juergen007 im Themenstart schreibt:
10.
Show that a group G cannot be the union of two proper subgroups, in other words,
a) if G = H ∪K where H and K are subgroups of G, then H = G or K = G.
b) Equivalently,if H and K are subgroups of a group G, then H ∪ K cannot be a subgroup unless H ⊆ K or K ⊆ H.

Hätten wir ein a aus H aber nicht in K, b aus K aber nicht in H wobei  H,K nichttriviale Untergruppen in G sind.
Dann muss ab zu H oder K gehören. sagen wir $ab=h \in H$.
Dann waere aber $b=a^{-1}h \in H$ durch linkes ranmultiplizieren von $a^{-1}$, was ein Widerspruch zu $b \in K$ ist.
sagen wir $ab \in K$, dann $a=kb^{-1}$. Wieder eine Widerspruch



Hallo juergen007

Das zeigt noch nicht \(H=G\) oder \(K=G\).
Du hast nur gezeigt, dass es ein Paar von Elementen \(a\in (H\setminus K),b\in (K\setminus H)\) nicht geben kann. Hierraus folgt, dass \(H\setminus K=\emptyset\) oder \(K\setminus H=\emptyset\) gelten muss.
Oder wolltest du hier Teil b) beweisen?


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"Jedes Gehirn kann Fragen beantworten. Es geht darum die richtigen Fragen zu finden."
\(\endgroup\)


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juergen007
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-15


als Lösung zum ersten Teil der da ist:

a) if G = H ∪K where H and K are subgroups of G, then H = G or K = G.

In den Lösungen, die ich zugegeben einfach übersetzte steht hierzu:

10. Choose an element a that belongs to H but not K, and an element b that belongs to K but not H, where H and K are subgroups whose union is G. Then ab must belong to either H or K, say ab = h ∈ H. But then b = a−1h ∈ H, a contradiction. If ab = k ∈ K, then a = kb−1 ∈ K, again a contradiction.





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Fornax
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-17


Ich denke, die Aufgabe zielt darauf ab, dass für eine Untergruppen $U\subseteq G$ die folgende Inklusion für Komplexprodukte gilt:
\[
U\cdot\left(G\setminus U\right)\subseteq\left(G\setminus U\right)
\] Wenn man also ein Element aus $U$ mit einem Element aus dem Komplement verknüpft, liegt das Produkt ebenfalls im Komplement.

Hat man nun Untergruppen $H$ und $K$ derart, dass keine der Inklusionen $K\subseteq H$ oder $H\subseteq K$ gilt, so gibt es $k\in K\setminus H$ und $h\in H\setminus K$. Nach der oben genannten Eigenschaft folgt dann für das Produkt $hk\notin H\cup K$. Mithin ist $H\cup K$ nicht abgeschlossen. Die Annahme $H\cup K=G$ würde bedeuten, dass $G$ nicht abgeschlossen wäre.

Gruß
Fornax



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