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Mathematik » Stochastik und Statistik » Wahrscheinlichkeit mehrfacher Würfe eines Würfels
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Kein bestimmter Bereich Wahrscheinlichkeit mehrfacher Würfe eines Würfels
Elster
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Dabei seit: 16.11.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-16 19:45


Hallo ihr lieben Matheliebhaber oder einfachen Könner.

Ich versuche mal mein Problem so gut zu schildern wie es geht.

Ich habe eine Menge von n Würfeln (nehmen wir einmal für das Beispiel 9 Würfel an mit 6 Flächen, ein ganz einfacher Würfel)
Diese Würfel haben für sich alleine gestellt eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 das eine beliebige Zahl gewürfelt wird. Diesbezüglich eine Wahrscheinlichkeit von 2/6 für zwei Zahlen (bitte korrigiert mich wenn meine Denkweise hier schon fehlerhaft ist).

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann rechnet man 2/6 * 2/6 um die Wahrscheinlichkeit für 2 gewofene Würfel zu errechen um herauszufinden, ob diese beiden Würfel eine der gesuchten Zahlen anzeigen.
Für weitere Würfe rechnet man das vorherige Ergebnis wieder mal 2/6 richtig? Dann hätte man z.B. für zwei Würfe eine Wahrscheinlichkeit von 1/9 und für 9 Würfe 1/19683 richtig?

Das jedoch stößt mir doch irgendwie seltsan auf, weil es im Umkehrschluss bedeuten würde, dass egal wie viele Würfel ich werfe, die Wahrscheinlichkeit niemals zuminnt, dass ich die beiden gesuchten Ziffern würfle.
Angenommen ich habe 100 Würfel und werfe sie alle auf einmal, dann würde meine Wahrscheinlichkeit nach meiner Rechnung nicht steigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich 9 mal eine der gesuchten Zahle gewürfelt habe, wäre immer noch utopisch hoch.
Irgendwo habe ich einen Denkfehler aber der einzige welcher mir in den Sinn kommt, ist das die Wahrscheinlichkeit konstant bei 1/6 bleibt, was aber nicht sein kann.
Zur Überprüfung meiner Verwirrtheit habe ich mir extra ein kleines Programm geschrieben, welches mit Math.random (man kann das sehen wie man will mit Math. random) gebaut, welches mit den Würfeln arbeitet und ich habe 1000 Würfe simuliert, wo ich mir die Anzahl der gesuchten Ziffern habe ausgeben lasse. Es waren nie mehr als 7 der gesuchten Ziffern in einem Wurf vorhanden. Das Ergebnis sah z.B. wie folgt aus:
6 5 5 6 5 6 6 4 3 (gut ich habe mir nur die Anzahl ausgeben lassen, zB. 7 aber das ist nebensächlich).

Meine Frage ist jetzt, wie errechne ich hier richtig die Wahrscheinlichkeit, was muss ich wirklich bei einer sich verändernden Anzahl berücksichtigen?
Die Wahrscheinlichkeit muss doch bei zunehmenden Würfeln steigen, oder nicht? Es wäre seltsam wenn nicht.
 



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-16 20:06


Hallo Elster,

willkommen auf dem Matheplaneten!

Ich habe jetzt nicht alles gelesen, aber:

2018-11-16 19:45 - Elster im Themenstart schreibt:
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann rechnet man 2/6 * 2/6 um die Wahrscheinlichkeit für 2 gewofene Würfel zu errechen um herauszufinden, ob diese beiden Würfel eine der gesuchten Zahlen anzeigen.

Das ist nicht richtig (oder ich habe dich falsch verstanden).

Du willst also wissen, ob bei zwei Würfen eines Würfels (mindestens ein mal) eine der beiden Augenzahlen, sagen wir 2 oder 5, vorkommen.

Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist 1 - 4/6 * 4/6 = 20/36, was deutlich größer als 2/6 * 2/6 ist.

Grüße
StrgAltEntf



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2018-11-16 20:12

\(\begingroup\)
Hallo,


Ich habe eine Menge von n Würfeln (nehmen wir einmal für das Beispiel 9 Würfel an mit 6 Flächen, ein ganz einfacher Würfel)
Diese Würfel haben für sich alleine gestellt eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 das eine beliebige Zahl gewürfelt wird.

Du hast also $n$ faire (alle Ereignisse sind gleich wahrscheinlich) Würfel.


Diesbezüglich eine Wahrscheinlichkeit von 2/6 für zwei Zahlen

Das kommt darauf an und ist nicht sorgfältig formuliert.
Ich denke du meinst, dass zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 1 oder 2 dann 2/6 ist.
Das wäre korrekt.
Wenn du allerdings meinst, dass du dann zwei mal würfelst und '1 und 2' meinst, dann ist es falsch.


Wenn ich das richtig verstanden habe, dann rechnet man 2/6 * 2/6 um die Wahrscheinlichkeit für 2 gewofene Würfel zu errechen um herauszufinden, ob diese beiden Würfel eine der gesuchten Zahlen anzeigen.

Wenn nur einer der Würfel eine der beiden Zahlen zeigen muss, ist dies falsch.
Mit $\frac26\cdot\frac26$ berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass beide Würfel eine der gewünschten Zahlen anzeigt.


Für weitere Würfe rechnet man das vorherige Ergebnis wieder mal 2/6 richtig? Dann hätte man z.B. für zwei Würfe eine Wahrscheinlichkeit von 1/9 und für 9 Würfe 1/19683 richtig?

Nein.
Es entspricht auch der Intuition, wie du richtig festgestellt hast.
Wenn nur EINER der Würfel die gewünschte Augenzahl zeigen muss, dann wird es wahrscheinlicher, dass diese Augenzahl auftritt, jemehr Würfel geworfen werden.

Um dieses Problem zu lösen arbeitet man am besten mit der Gegenwahrscheinlichkeit.
Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass keiner der beide Würfel die gewünschte Augenzahl zeigt?



[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Elster
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 5
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-16 20:44


Ah okay dann habe ich mich wirklich missverständlich ausgedrückt.

Was ich versuche herauszufinden ist: wie wahrscheinlich ist es, dass beide Würfel eine 5 oder 6 anzeigen. Also das am Ende n Würfel nur fünfen oder sechsen anzeigen.

Also das ein Ergebnis z.B. wie folgt aussieht: 5 5 6 6 5 (für 5 geworfene Würfel ... 6 6 6 6 6 wäre auch ein passendes Ergebnis).


Ich hoffe das war jetzt verständlicher formuliert und danke für das Willkommen.



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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 4517
Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-16 21:47

\(\begingroup\)
Okay, dann stimmt deine Rechnung. Allerdings verstehe ich jetzt das nicht:

2018-11-16 19:45 - Elster im Themenstart schreibt:
Das jedoch stößt mir doch irgendwie seltsan auf, weil es im Umkehrschluss bedeuten würde, dass egal wie viele Würfel ich werfe, die Wahrscheinlichkeit niemals zuminnt, dass ich die beiden gesuchten Ziffern würfle. Angenommen ich habe 100 Würfel und werfe sie alle auf einmal, dann würde meine Wahrscheinlichkeit nach meiner Rechnung nicht steigen.

Natürlich steigt die W'keit nicht, sondern sie sinkt. Dass bei 100 Würfen alle Würfel fünf oder sechs Augen zeigen, beträgt \(1/3^{100}\). Das ist eine sehr kleine Zahl.
\(\endgroup\)


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Elster
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 5
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-17 19:56


Mein Problem bei den 100 Würfeln ist ein anderes und zwar:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 100 Würfeln neun mal eine 5 oder 6 würfeln.Mit meiner Rechnung geht das natürlich nicht, aber wie errechne ich das?

Entschuldigt die Verwirrungen die ich hier auslöse, aber ich bin kein Mathematiker.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-17 20:13


Es handelt sich hier um ein sogenanntes Bernoulli-Experiment.

Hilft dir das weiter?



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Physics
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-17 20:48


Stells dir so vor: Betrachte erstmal nur 3 Würfe eines Würfels. Beim ersten Wurf hast du 6 Möglichkeiten. Also eine 1/6 Chance eine Zahl zu würfeln - egal welche. Würfelst du jetzt nochmal passiert folgendes: Du hast nun verschiedene Kombinationsmöglichkeiten, die passieren könnten nach dem ersten Wurf.  1 und dann eine 1 wäre eine. Eine 1 dann eine 2. Oder eine 3 und dann eine 4, etc. Will man nun alle Möglichkeiten betrachten, die eintreten können, so sind es bei 2 Würfen 36. Bei 3 216,etc. Also 6^k wobei k für die Anzahl der Würfe steht. Willst du jetzt wissen wie wahrscheinlich es ist eine gewisse Folge zu werfen,so musst du die Pfade betrachten die eingenommen werden könnten. Beispielsweise 1,2,3. Hier wäre die Wahrscheinlichkeit 36/216.



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StrgAltEntf
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Aus: Milchstraße
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-17 22:03


2018-11-17 19:56 - Elster in Beitrag No. 5 schreibt:
Mein Problem bei den 100 Würfeln ist ein anderes und zwar:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 100 Würfeln neun mal eine 5 oder 6 würfeln.Mit meiner Rechnung geht das natürlich nicht, aber wie errechne ich das?

Entschuldigt die Verwirrungen die ich hier auslöse, aber ich bin kein Mathematiker.

Kein Problem, wir helfen auch Nicht-Mathematikern smile

Noch eine Nachfrage, welche W'keit du genau suchst.

- Soll unter den 100 Würfen genau neun Mal (irgendwo) die Augenzahl fünf oder sechs kommen?

- Sollen unter den 100 Würfen mindestens neun Fünfen oder Sechsen kommen?

- Sollen unter den 100 Würfen genau neun Mal hintereinander fünf oder sechs kommen?

- Sollen unter den 100 Würfen mindestens neun Mal hintereinander fünf oder sechs kommen?




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Elster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-20 22:41


@Prinzessin Einhorn
Ich habe schon einmal davon gehört, damals vor langer langer Zeit in der Schule. Gerade hilft es mir nicht weiter, tut mir leid.

@Physics
Ich glaube das könnte die Lösung meines Problems sein... ich glaube nur leider habe ich dich noch nicht so ganz verstanden, aber es klingt so als würde es schon einmal in die richtige Richtung gehen.

StrgAltEntf
- Soll unter den 100 Würfen genau neun Mal (irgendwo) die Augenzahl fünf oder sechs kommen?

DAS wäre genau eines der Beispiele welches ich versuchen würde zu errechnen. Wenn eine Anzahl von X Würfeln gewürfelt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit das X mal irgendwo eine 5 oder 6 liegt.


Es geht darum das ich hier versuche herauszufinden wie sehr mich jemand in einem Spiel versucht zu betrügen. 6 & 5 stellen in dem System Erfolge dar, es interessiert mich also aus einer Summe von X Würfeln wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Spieler Erfolge würfelt (5 und 6).
Da die Anzahl seiner Würfel die er zur Hand hat sich verändert, verändert sich ebenso die Wahrscheinlichkeit auf Erfolge, ich weiß nur nicht wie und daher kommt meine Frage.
Wenn jemand bei weniger als 300 Würfen über 10 mal 8 Erfolge schafft mit 9 Würfeln kann da was nicht angehen und ich würde es ihm gerne genau vorlegen können.



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PrinzessinEinhorn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-20 22:50

\(\begingroup\)
Jedenfalls gibt es eine Formel für solche Probleme (da es ein Bernoulli-Experiment ist).

Ein Bernoulli-Experiment liegt vor, wenn nur zwei Ausgangsmöglichkeiten möglich sind. Hier zeigt der Würfel entweder 5 oder 6, oder eben nicht.
Des Weiteren darf sich die Wahrscheinlichkeit im Laufe des Experiments nicht ändern.
Die Wahrscheinlichkeit bei jedem Würfelwurf ist immer gleich.

Diese beiden Bedingungen müssen erfüllt sein. Dann liegt wie gesagt ein Bernoulli-Experiment vor.

Wenn wir alle Würfel zählen, die eine 5, oder 6 zeigen, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür ja erstmal $p=2/6$. Nicht 5 oder 6 hat die Wahrscheinlichkeit $q=4/6$.

$X$ soll nun alle Würfel zählen die eine 5 oder 6 zeigen.

Dann gilt: $P(X=k)=\binom{100}{k}\left(\frac26\right)^k\cdot\left(\frac46\right)^{100-k}$

Die 100 kommt daher, da du ja sagtest, dass 100 mal geworfen wird.

$P(X=k)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau(!) $k$-mal ein Erfolg eintritt (daher der Würfel zeigt 5 oder 6).
\(\endgroup\)


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Kitaktus
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2018-11-21 14:40

\(\begingroup\)
2018-11-20 22:41 - Elster in Beitrag No. 9 schreibt:
Wenn jemand bei weniger als 300 Würfen über 10 mal 8 Erfolge schafft mit 9 Würfeln kann da was nicht angehen und ich würde es ihm gerne genau vorlegen können.
Das klingt jetzt nach einem mehrstufigen Experiment.
Man wirft 9 Würfel und schaut, ob man 8 (oder 9) Erfolge schafft.
Das ganze wiederholt man 300 mal und schaut, wie oft man mit 9 Würfeln acht (oder mehr) Treffer hatte.

Die Wahrscheinlichkeit mit 9 Würfeln acht Treffer zu erzielen ist $\binom{9}{8}(1/3)^8(2/3)^1$.
Die Wahrscheinlichkeit für neun Treffer ist $\binom{9}{9}(1/3)^9(2/3)^0$.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit für 8 oder 9 Treffer ist damit $19/3^9$. So etwas dürfte in 300 Versuchen im Mittel $300\cdot 19/3^9 = 0.28959...$ mal passieren. Wenn das stattdessen zehnmal passiert, spricht das stark für Manipulation.
\(\endgroup\)


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Elster
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 5
Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-22 21:25


Vielen lieben Dank für eure Antworten PrizessinEinhorn und Kitakus, das ist die Lösung meiner Probleme, damit kann ich ausrechnen ob ich nur langsam paranoid werde, oder man mich wirklich am laufenden Band versucht über den Tisch zu ziehen.

Ich würde sagen, Problem gelöst und auch noch mal vielen lieben Dank an alle anderen.



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