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Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-18


Hallo Community,

ich bräuchte hier einen kleinen Denkanstoß.

Gegeben: $n \in \mathbb{N}$ und M eine Menge mit $\# M = n$.
Gesucht: Alle Paare (A,B) wobei A und B Teilmengen von M sind und $B \subset A$ gilt.

Ich bin mir vor allem unsicher, ob hier mit Partitionen oder mit der Potenzmenge arbeiten sollte.

Bsp: Für $M = \{ 1,2\}, n = 2$ wäre $P(M) = \{ \emptyset, \{ 1 \},\{ 2 \},\{ 1,2 \} \}$.
Die Möglichkeiten für (A,B) wären...
$(\{ 1,2\} ,\{ 1,2\} ), (\{ 1,2\} ,\{ 1\} ), (\{ 1,2\} ,\{ 2\} ),(\{ 1,2\} ,\emptyset), (\{ 1\} ,\{ 1\} ),(\{ 1\} ,\emptyset), (\{ 2\} ,\{ 2\} ),(\{ 2\} ,\emptyset), (\emptyset,\emptyset)$

Sprich: insgesamt 9 Möglichkeiten.

Für n = 1 wären es 3 Möglichkeiten.
Für n = 3 wären es 27 Möglichkeiten.

Scheinbar gibt es immer $3^n$-Möglichkeiten. Aber warum? Gibt es hier ein allgemeines Prinzip?

LG Quotenbanane



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-18


Hallo Quotenbanane,

2018-11-18 15:19 - Quotenbanane im Themenstart schreibt:
Scheinbar gibt es immer $3^n$-Möglichkeiten.

Das ist eine wertvolle Beobachtung!

Es ist ja ebenfalls \(|\{0,1,2\}^n|=3^n\). Nimm oBdA an, dass \(M=\{1,...,n\}\). Versuche, eine Bijektion von Elementen \((x_1,...,x_n)\in\{0,1,2\}^n\) auf die Paare (A,B) anzugeben.



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Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18


Hi StrAltEntf,

mir ist nicht ganz klar, woher das $|\{0,1,2\}^3|=3^n$ kommt...
müsste es nicht $|\{0,1,2\}^n|=3^n$ sein? Ansonsten sehe ich keinen Zusammenhang :/

Die Idee dahinter ist, dass wenn ich eine Bijektion finde, das "Gesetz" $3^n$ auch für meine Bijektion gültig sein muss, oder?



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-18


2018-11-18 16:14 - Quotenbanane in Beitrag No. 2 schreibt:
müsste es nicht $|\{0,1,2\}^n|=3^n$ sein?

Da habe ich mich verschrieben. Habe es oben korrigiert.



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Quotenbanane
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-18


Ich stehe auf der Leitung.
Wenn ich sage n = 1, dann hätte ich Elemente $x_n \rightarrow x_1$ und $x_1 \in \{ 1,2,3\}$. Wäre z.B. $x_1 = \{ 1\}$, was würde mir das helfen? $x_1$ ist dann irgendwas ein-elementiges und müsste auf $\{(1,1),(1,\emptyset),(\emptyset,\emptyset)\}$ abbilden.

Wie soll das gehen?



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xiao_shi_tou_
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-11-18

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\newcommand{\fin}[1]{#1^{\o{fin}}} \newcommand{\infin}[1]{#1^{\infty}} \newcommand{\Ql}{\Q_{\ell}} \newcommand{\dbquot}[3]{{}_{#2}\backslash#1/_{#3}} \)
Fix \(A\) mit \(m\) Elementen. Dann hast du \(A(m)\) verschiedene Teilmengen von \(A\). Nun gibt es \((n,m)\) verschiedene Moeglichkeiten eine \(m\) Elementige Menge aus einer \(n\) Elementigen Menge auszuwaehlen.
Das heisst du hast \(A(m)(n,m)\) Paare \(B\subseteq A\) mit \(\#A=m\).
Folglich hast du insgesamt \(\sum_{m=0}^{m=n}A(m)(n,m)\) verschiedene Paare \(B\subseteq A\).

Du musst nur \(A(m)\) und \((n,m)\) bestimmen.


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2018-11-18


Um die Idee von StrgAltEntf wieder aufzugreifen: Man könnte ja die Abbildungen <math>M \rightarrow \{1,2,3\}</math> betrachten. Sei f eine von diesen. Dann könnte man die Menge aller <math>x\in M</math>, die von f auf 1 abgebildet werden, als A interpretieren, und diejenigen, die auf 1 oder 2 abgebildet werden, als B. (Frage an dich fürs Verständnis: Warum braucht es dann den Funktionswert 3?)

Nun bleibt noch zu klären, warum jede Konstellation <math>A \subseteq B \subseteq M</math> auf diese Art genau einmal erzeugt wird, und festzustellen, wie viele das sind...

Cyrix



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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-11-18


StrgAltEntfens Vorschlag ist interessant, dem TS würde ich allerdings vorerst xiao's Vorschlag nahelegen. Ein kleiner Tipp dazu:

$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom n k x^k$



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viertel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2018-11-18

\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
Hi Quotenbanane

Eine Anmerkung:
Du schreibst
wobei <math>A</math> und <math>B</math> Teilmengen von <math>M</math> sind und <math>B \subset A</math> gilt.
Nach deiner Liste müßte es aber <math>B \subseteq A</math> heißen

Gruß vom ¼


-----------------
Bild
\(\endgroup\)


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Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-11-18


Die Schreibweise ist da nicht eindeutig, manche verwenden die Symbole <math>\subsetneq</math> und <math>\subset</math>, andere <math>\subset</math> und <math>\subseteq</math>.

Wahrscheinlich ist Quotenbanane (bzw. sein Professor) ein Anhänger der ersten Variante, die insbesondere von schreibfaulen Personen gern verwendet wird, weil man "Teilmenge/gleich" viel öfter braucht, als "echte Teilmenge" und dieses Symbol dann jenes ist, das sich am schnellsten schreiben lässt.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2018-11-18


2018-11-18 16:46 - Quotenbanane in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich stehe auf der Leitung.
Wenn ich sage n = 1, dann hätte ich Elemente $x_n \rightarrow x_1$ und $x_1 \in \{ 1,2,3\}$. Wäre z.B. $x_1 = \{ 1\}$, was würde mir das helfen? $x_1$ ist dann irgendwas ein-elementiges und müsste auf $\{(1,1),(1,\emptyset),(\emptyset,\emptyset)\}$ abbilden.

Wie soll das gehen?

Ich gehe jetzt mal gar nicht auf die Vorschläge der anderen Foristen ein, die aber auch gut sind.

Also der Fall n = 1, der aber vielleicht nicht ganz so aufschlussreich ist:

Für n = 1 ist \(\{0,1,2\}^n=\{0,1,2\}\) und es wäre \(M=\{1\}\).

Es ist nun eine Bijektion von \(\{0,1,2\}\) auf $\{(\{1\},\{1\}),(\{1\},\emptyset),(\emptyset,\emptyset)\}$ gesucht. (Beachte, dass die "1" jeweils in Mengenklammern stehen muss.)

Lösung: \(0\mapsto(\emptyset,\emptyset), 1\mapsto(\{1\},\emptyset)\), \(2\mapsto(\{1\},\{1\})\).

Für n = 2 müssen dann Paare \((x_1,x_2)\) mit \(x_1,x_2\in\{0,1,2\}\) auf Paare von Mengen \((A,B)\) mit \(B\subseteq A\subseteq\{1,2\}\) abgebildet werden.

Für n = 3 müssen Tripel \((x_1,x_2,x_3)\) mit \(x_1,x_2,x_3\in\{0,1,2\}\) auf Paare von Mengen \((A,B)\) mit \(B\subseteq A\subseteq\{1,2,3\}\) abgebildet werden.

Für n = 4 müssen Quadrupel \((x_1,x_2,x_3,x_4)\) mit \(x_1,x_2,x_3,x_4\in\{0,1,2\}\) auf Paare von Mengen \((A,B)\) mit \(B\subseteq A\subseteq\{1,2,3,4\}\) abgebildet werden.

Für n = 5 müssen Quintupel \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) mit \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in\{0,1,2\}\) auf Paare von Mengen \((A,B)\) mit \(B\subseteq A\subseteq\{1,2,3,4,5\}\) abgebildet werden.

etc.

Du musst dir jetzt irgendeine Regel ausdenken, nach der einem Element \(i\in\{1,...,n\}\) vorgeschrieben wird, ob i in A, in B oder in keiner der beiden Mengen liegen soll. Sinnvollerweise sollte diese Regel abhängig sein von \(x_i\in\{0,1,2\}\).



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xiao_shi_tou_
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2018-11-18 19:10 - supermonkey in Beitrag No. 7 schreibt:
StrgAltEntfens Vorschlag ist interessant, dem TS würde ich allerdings vorerst xiao's Vorschlag nahelegen. Ein kleiner Tipp dazu:

$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n \binom n k x^k$

Mit diesem Tipp sollte er in der Lage sein \(A(m)\) und \((n,m)\) zu finden :).
\(\endgroup\)


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