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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Going-up in der algebraischen Geometrie
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Universität/Hochschule J Going-up in der algebraischen Geometrie
Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-19 18:03

\(\begingroup\)
Hallo,

ich kapiert es nicht, warum das Going-up-Theorem folgendes impliziert:

Sei $A\hookrightarrow A'$ ein ganzer injektiver Morphismus von (komm.) Ringen. Dann ist die induzierte Abbildung $Spec(A')\to Spec(A)$ abgeschlossen.

Könnte mir jemand das kurz erklären?
\(\endgroup\)


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supermonkey
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Aus:
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-19 21:03

\(\begingroup\)
Ahh, die trockene Eleganz der kommutativen Algebra :)

Wir müssen zeigen, dass für jede abgeschlossene Teilmenge $M\subset Spec(A')$, das Bild $\varphi(M)$ abgeschlossen in $Spec(A)$ ist.

Die abgeschlossenen Mengen in $Spec(A')$ sind der Form $$V(I)=\{P\in Spec(A') | I\subset P\},$$ wobei $I\subset A'$ ein Ideal ist.

Wir müssen (nur) zeigen, dass ein Ideal $J\subset A$ existiert, so dass $\varphi^\ast(V(I))=V(J)$ , wobei $\varphi^\ast$ die von $\varphi$ induzierte Abbildung ist, d.h. $\varphi^\ast(P):=\varphi^{-1}(P)$ für $P\in Spec(A')$.

Die Idee ist natürlich $J=\varphi^{-1}(I)$ zu wählen.

Klar ist, dass $\varphi^\ast(V(I))\subset V(\varphi^{-1}(I))$, denn $I\subset P \Rightarrow \varphi^{-1}(I)\subset \varphi^{-1}(P)$.

Bleibt noch zu zeigen, dass $V(\varphi^{-1}(I)) \subset \varphi^\ast(V(I))$, bzw. dass $\varphi^\ast$ surjektiv von $V(I)$ nach $V(\varphi^{-1}(I))$ abbildet.

Nun ist die induzierte Abbildung $A/\varphi^{-1}(I) \to A'/I$, $a+\varphi^{-1}(I)\mapsto \varphi(a)+I $ ganz und injektiv.

Jetzt folgt aus going-up, dass die induzierte Abbildung

$Spec(A'/I)\simeq V(I) \to Spec(A/\varphi^{-1}(I))\simeq V(\varphi^{-1}(I)$ surjektiv ist.

\(\endgroup\)


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Saki17
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Aus: Fernost
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-20 00:03

\(\begingroup\)
Erstmals vielen Dank für deine Antwort.

Ich kann allen Argumenten folgen, bis auf das Wichtigste, die Anwendung des Going-up...

Meintest du, dass das Going-up die Surjektion $Spec(A'/I)\to Spec(A/\varphi^{-1}(I))$ liefert?

(Wenn ja) Warum ist das so? Vielleicht bin ich blind für was total triviales oder verstehe ich das Going-up noch nicht wirklich. Ich kenne nur diese Variante von Going-up: en.wikipedia.org/wiki/Going_up_and_going_down#Going-up
\(\endgroup\)


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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-11-20 12:55

\(\begingroup\)
Hi,

ja, es geht um die Aussage

A: Ist $A\hookrightarrow B$ injektiv und ganz, dann ist $Spec(B)\to Spec(A)$ surjektiv.

Sowie ich das sehe, gibt es keine einheitliche Unterscheidung zwischen going up und lying over.

Man kann, wie in Theorem 5.13 hier

people.brandeis.edu/~igusa/Math205bS10/Math205b_S10_52.pdf

die Aussage A beweisen und dann das going-up Theorem das du kennst als Korollar formulieren. Da ist dann deine Frage auch direkt Übungsaufgabe =)

Aber man kann auch Aussage A aus dem dir bekannten going-up schließen, indem man daraus zuerst lying-over (im Sinne deiner Quelle) schließt. Das ganze immer modulo ein paar Hilfsaussagen.

Und nein, du bist nicht blind für was ganz triviales, denn es ist nicht ganz trivial =)




\(\endgroup\)


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supermonkey
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2018-11-20 13:10


Falls du noch mehr ins Detail gehen willst, gerne. Aber ich schreibe lieber erstmal nicht so viel, bevor ich weiß, wo genau wir ansetzen wollen.

Du kannst auch mal hier reinschauen, wie da going up alias lying over bewiesen wird (Lemma 4).

www.math.rwth-aachen.de/~zerz/ast10/dim1.pdf



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Saki17
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-20 19:40


Danke! Meine Frage ist durch das Thm.5.14 vom Skript people.brandeis.edu/~igusa/Math205bS10/Math205b_S10_52.pdf gelöst.

(Ich kenne einen kommutativ-algebraischen Beweis von Going-up, etwa den in Atiyah-Macdonald oder Bosch. Der Beweis im obigen Skript ist aber auch interessant.)



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