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Mathematik » Strukturen und Algebra » Welche Struktur bilden die symmetrisch positiv-definiten Matrizen?
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Autor
Universität/Hochschule J Welche Struktur bilden die symmetrisch positiv-definiten Matrizen?
Loesungsmenge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-11-25


fed-Code einblenden



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-11-25


Hallo Loesungsmenge,
zum Inhalt Deiner Frage kann ich leider nicht viel sagen. Die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation verstehe ich nicht, wie definierst Du das Produkt etwa für fed-Code einblenden ?

2018-11-25 11:45 - Loesungsmenge im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden
Wenn Du den Exponenten + durch array(+) ersetzt und ein stilles Multipikationszeichen (\.) nach fed-Code einblenden einfügst, wird der folgende Text richtig dargestellt:
fed-Code einblenden
Servus,
Roland



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Loesungsmenge
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-11-26


fed-Code einblenden



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Triceratops
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-09-09


Ja, es ist kein Vektorraum, aber ein (Semi-)Modul. Üblicherweise betrachtet man Moduln nur über Ringen. Man kann sie aber viel allgemeiner betrachten.

Sei $(C,\otimes)$ eine monoidale Kategorie. Ein Monoidobjekt in $(C,\otimes)$ ist definiert als ein Objekt $X \in C$ zusammen mit Morphismen $1 \to X$ ("Eins") und $X \otimes X \to X$ ("Multiplikation"), die drei Eigenschaften erfüllen (linksunital, rechtsunital, assoziativ). Wenn man so ein Objekt hat, ist ein Modul darüber definiert als ein Objekt $M \in C$ zusammen mit einem Morphismus $X \otimes M \to M$, der zwei Bedingungen erfüllt (Verträglichkeit mit Eins und Multiplikation). Für Details siehe hier und hier.

Nehmen wir jetzt die Kategorie $C$ der kommutativen Halbgruppen. Das Tensorprodukt von zwei kommutativen Halbgruppen $(X,+)$, $(Y,+)$ wird erzeugt von Symbolen der Form $x \otimes y$ mit $x \in X$, $y \in Y$ und es gelten die Relationen $(x+x') \otimes y = x \otimes y + x' \otimes y$ und $x \otimes (y+y') = x \otimes y + x \otimes y'$. Das Einsobjekt ist $(\IN^+,+)$ (die freie kommutative Halbgruppe auf einem Erzeuger). Wir können nun also sagen, was ein Monoid hier ist: dies ist eine Menge $X$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$ und einem Element $1$, sodass $(X,+)$ eine Halbgruppe, $(X,\cdot)$ ein Monoid (im üblichen Sinne) und zusätzlich noch die beiden Distributivgesetze gelten. Es ist sozusagen ein "Ring ohne Minus und ohne Null". Manche Quellen verwenden dafür den Begriff Semiring bzw. Halbring, aber Achtung: manchmal wird dafür doch noch eine Null gefordert (sprich, man startet mit der Kategorie $C$ der kommutativen Monoide, mit einem ähnlichen Tensorprodukt, in dem noch $x \otimes 0 = 0$ und $0 \otimes y = 0$ gilt), und manchmal wird sogar die Eins weggelassen. Es scheint eher eine inkonsistente Bezeichnung zu sein und ist daher mit vorsichtig zu genießen.
 
Jedenfalls ist ein Modul über einem solchen "Ring ohne Minus und ohne Null" gemäß der allgemeinen kategorientheoretischen Definition oben nun eine kommutative Halbgruppe $(M,+)$ zusammen mit einer Verknüpfung $ * : X \times M \to M$, welche zunächst einmal die beiden Distributivgesetze bezüglich der Addition erfüllt (damit sie eben zu einem Morphismus auf dem Tensorprodukt $(X,+) \otimes (M,+) \to (M,+)$ liftet!) und dann auch noch mit der multiplikativen Struktur verträglich ist, also $1 * m = m$ und $(a \cdot b) * m = a * (b * m)$ gilt. Dafür ist entsprechend der Begriff Semimodul bzw. Halbmodul gebräuchlich, wobei hier teilweise in der Literatur eine Null gefordert wird.

In deinem Beispiel ist der Semiring $(\IR^{+},+,\cdot)$ und der Semimodul die Menge der symmetrischen positiv-definiten Matrizen über $\IR$ mit den von dir genannten Operationen.
 
Wo wir schon bei der Null sind: In deinem Beispiel kann man auch die Menge der symmetrischen positiv-semidefiniten betrachten. Dann hat man einen Semimodul "mit Null" über dem Semiring "mit Null" $(\IR^{\geq 0},+,\cdot)$.

Ein wichtiges Beispiel für einen Halbring ist übrigens der tropische Halbring $(\IR,\oplus,\otimes)$ mit $a \oplus b = \min(a,b)$ und $a \otimes b = a + b$. Er spielt in der tropischen Geometrie eine Rolle.



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Loesungsmenge
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
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Mitteilungen: 316
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-09-09


Hallo Triceratops,
vielen Dank für die hilfreiche und ausführliche Antwort. Ja, dass man durch die Hinzunahme der Null in den Zahlenkörper und die Erweiterung auf die positiv semidefiniten wieder auf eine neue Struktur kommt, hatte ich mir auch schon überlegt. (Bin als Nicht-Mathematiker leider noch nicht so mit Moduln vertraut, aber jetzt weiß ich, wo ich weitergraben muss.)
Besten Dank!
Jan



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