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Differentiation » Taylorentwicklungen » Taylorentwicklung in 3 Dimensionen mit Integralabbildung
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Universität/Hochschule Taylorentwicklung in 3 Dimensionen mit Integralabbildung
Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2018-12-06 08:03


Guten Morgen,
ich habe bis jetzt immer die Aufgaben, welche Teil meiner Frage waren, selber hier verfasst.
Die Aufgabe jetzt wirkt sehr schwierig mit fed oder latex zu verfassen, deshalb greife ich auf die Methode des Bild hochladen zurück.
Zu folgender Aufgabe ist meine Frage:



Nach einigen überlegen bin ich jetzt der Meinung, dass das Taylorpolynom in der dritten Ordnung nicht verschwindet. Dort gibt es ja die Möglichkeit nach allen drei Funktionen hintereinander abzuleiten. Dies passiert ja dreimal weil die Reihenfolge nachdem Satz von Schwarz egal ist.
Wenn nun das integral nicht da wäre, würde ja f1*f2*f3 nach f1,f2,f3 hintereinander abgeleitet einfach 1 ergeben, weil die andere Funktionen ja beim partiellen ableiten zu Konstanten werden. Dort wäre es dann egal, das man für f1,f2,f3 noch 0,0,0 einsetzen muss.

Nun meine Frage ist jetzt hauptsächlich wie verändern sich meine Annahmen, durch das Integral in der Abbildung ?
Oder ist mein Gedankengang komplett sinnlos ?



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2018-12-06 14:03

\(\begingroup\)
Das klingt sinnvoll. Wenn die (lineare) Abbildung $f\mapsto\int_0^1f(x)\,dx$ bezüglich der angegebenen Norm stetig ist, ist sie differenzierbar und du kannst die Kettenregel anwenden.

Ansonsten ist es an der Zeit, die Überlegungen konkreter zu machen. Bisher hast du ja nur eine gut begründete Vermutung.
\(\endgroup\)


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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 15:29


fed-Code einblenden



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2018-12-06 15:39


Tut mir leid, ich verstehe die Frage nicht.

Ist dir klar, dass wir hier eine auf einem unendlichdimensionalen Raum definierte Abbildung ableiten müssen, und kennst du die dafür relevanten Definitionen?



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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 16:10


Anscheinend nicht so wirklich.
Ich dachte ich könnte mehr oder weniger meine normale Taylorentwicklung durchziehen.
Ich finde auch nichts wirklich passendes im Skript oder Internet. Könntest du mir denn erklären,wo da der Unterschied zu einer normalen Funktion liegt oder mir einen dir bekannten Artikel verlinken ?



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2018-12-06 16:44

\(\begingroup\)
Suche nach Frechet-Ableitung (bzw. Frechet-Derivative). Es ist im Prinzip das, was du wahrscheinlich als "totale Differenzierbarkeit" kennst, nur dass es sowas wie die Jacobi-Matrix nicht gibt.

Bei dieser Aufgabe hast du das Produkt von 3 unendlichdimensionalen Räumen, so dass du nach drei Koordinaten "partiell" ableiten kannst. Es muss dir aber klar sein, dass das was anderes ist als im $\mathbb{R}^3$.

Für die Definition (!) der Taylor-Reihe siehe math.stackexchange.com/questions/63255/taylors-theorem-in-banach-spaces

Beachte aber, dass $C[0,1]^3$ mit dieser Norm vermutlich kein Banachraum ist und ich nicht weiß, ob der Satz von Taylor allgemein für normierte Räume gilt. Braucht dich aber nicht zu kümmern, du sollst ja wohl nur ein paar Ableitungen anzugeben.
\(\endgroup\)


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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 21:06


Danke der Begriff Frechet Ableitung scheint wohl wichtig zu sein um diese Aufgabe lösen zu können.
Jedoch fällt es mir schwer diese Art von Ableitung zu verstehen.

fed-Code einblenden

Ist das ansatzweise richtig für das Differential ?
Aber wie leitet man partiell ab ?

Danke für deine Hilfe bis jetzt, aber wie du merkst ist mein Wissen zu diesem Thema leider sehr gering. Du hast es als "paar Ableitungen angeben" beschrieben, daher hoffe ich, dass du mir weiterhin ohne große Mühe helfen kannst.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2018-12-06 21:44


2018-12-06 21:06 - Pavel478 in Beitrag No. 6 schreibt:
Ist das ansatzweise richtig für das Differential ?

Ja, das sollte stimmen.

2018-12-06 21:06 - Pavel478 in Beitrag No. 6 schreibt:
Aber wie leitet man partiell ab ?

Was meinst du damit? Ist für dich "Taylor-Entwicklung" zwangsläufig mit partiellen Ableitungen verbunden?



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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 22:01


Du merkst schon ich kann mich einfach nicht von den Begriffen der "normalen" Funktion lösen.
Also wenn ich jetzt auf dein Taylorlink schaue, sieht es für mich danach aus, als ob es schon das Taylorpolynom im ersten Grad ist.
Nun das würde aber noch 0 werden, weil wir das ganze im Punkt f1=f2=f3=0 betrachten.
Jetzt könnte man schlussfolgern,dass jetzt nach und nach bei jedem weiterer Grad ein f aus der Formel fliegt oder ? Beim dritten Grad dürfte dann kein f mehr drin sein und deshalb liefert es dann auch ein Beitrag ?

Jedoch bin ich gerade etwas verwirrt, wie die zweite Ableitung aussehen wird.



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darkhelmet
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2018-12-06 22:23

\(\begingroup\)
2018-12-06 22:01 - Pavel478 in Beitrag No. 8 schreibt:
Nun das würde aber noch 0 werden, weil wir das ganze im Punkt f1=f2=f3=0 betrachten.
Jetzt könnte man schlussfolgern,dass jetzt nach und nach bei jedem weiterer Grad ein f aus der Formel fliegt oder ? Beim dritten Grad dürfte dann kein f mehr drin sein und deshalb liefert es dann auch ein Beitrag ?

Genau.

2018-12-06 22:01 - Pavel478 in Beitrag No. 8 schreibt:
Jedoch bin ich gerade etwas verwirrt, wie die zweite Ableitung aussehen wird.

Höhere Ableitungen sind in der Tat eklig.

$F$ heißt die Abbildung ja bei dir. Schreiben wir mal $V$ für $C([0,1])\times C([0,1])\times C([0,1])$.

Dann ist $F$ eine Abbildung von $V$ nach $\mathbb{R}$.
$DF$ ist eine Abbildung von $V$ nach $\mathcal{L}(V,\mathbb{R})$ (der Raum der stetigen linearen Abbildungen von $V$ nach $\mathbb{R}$).
Also wird $D^2F$ eine Abbildung von $V$ nach $\mathcal{L}\big(V,\mathcal{L}(V,\mathbb{R})\big)$ sein.
Und $D^3F$ wird eine Abbildung von $V$ nach $\mathcal{L}\Big(V,\mathcal{L}\big(V,\mathcal{L}(V,\mathbb{R})\big)\Big)$ sein, usw.

Die Elemente von $\mathcal{L}\big(V,\mathcal{L}(V,\mathbb{R})\big)$ können auch als bilineare Abbildungen von $V\times V$ nach $\mathbb{R}$ aufgefasst werden. Das passt zu deiner Intuition, dass "ein weiteres $f$ aus der Formel fliegt".
\(\endgroup\)


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Pavel478
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2018-12-06 23:04


Danke
Also weiß ich jetzt was D^2 bzw. D^3 für Arten von Abbildungen sind.
Jetzt muss ich das berechen. Meine erste Intuition dazu war:
fed-Code einblenden

Das dürfte aber Blödsinn sein.
Finde auch im Internet nichts mehr wo explizit so eine 2,3 Ableitung berechnet wird.



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