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Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Die Punktspiegelung in den Drehgruppen des Tetraeders, Würfels, etc.
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Universität/Hochschule Die Punktspiegelung in den Drehgruppen des Tetraeders, Würfels, etc.
roxas
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-08


Guten Abend

Ich versuche momentan die verschiedenen Drehgruppen zu verstehen und mir ist etwas nicht ganz klar, dass ich euch am besten an einigen Beispielen erkläre:

Betrachten wir die Drehgruppe des Würfels die laut meiner Vorlesung 24 Rotationen beinhaltet. Diese Gruppe ist isomorph zur Gruppe des Oktaeders. In der Vorlesung haben wir den Fall der Punktspiegelung nicht betrachtet. Ohne Punktspiegelung sind es also 24 Rotationen für beide Objekte und beide diese Drehgruppen sind isomorph zur symetrischen Gruppe S4. Auf Wikipedia finde ich nun, dass wenn wir die Punktspiegelung auch in Betracht ziehen, wir 48 Elemente erhalten. Dies wäre ja aber dann nicht mehr isomorph zu S4.

Betrachten wir denn Fall des Ikosaeders: Gemäss der Vorlesung beinhaltet die Drehgruppe des Ikosaeders exakt 60 Rotationen. Zudem ist diese Gruppe isomorph zur Gruppe des Dodekaeders. Aus einer Rechnung als Beispiel zu Bahnen/Stabilisatoren und der Abzählformel sowie Bahnenformel, kamen wir rechnerisch zum Schluss, dass die Gruppe des Dodekaeders 120 Rotationen beinhaltet. Hier die Rechnung: Hier die Rechnung dazu

Jetzt steht aber bei mir, dass diese Gruppe 60 Rotationen beinhaltet. Ich vermute, dass bei diesen 60 die Punktspiegelung nicht in Betracht gezogen wird.

Meine Frage:

Ist es allgemein so, dass wenn von einer {Objekt}gruppe, z.B. Würfelgruppe, gesprochen wird, und im speziellen wenn es um deren Ordnung geht, die Punktspiegelung allgemein nicht mit einbezogen wird? Weiss nicht, wie ich das sonst anders formulieren kann, wenn ihr versteht, was ich meine.



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Curufin
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Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-10


Hallo,

das ist eine Frage der Definition meines Erachtens:
Betrachtet man nur eigentliche Bewegungen, also Isomorphismen, die in \(\mathrm{SO}(3) \) leben,  oder lässt man auch uneigentliche Bewegungen zu, die in \(\mathrm{O}(3) \) leben.
Das Wort "Drehungen" spricht für mich, dass man nur eigentliche Bewegungen betrachten möchte. Dann sind die Resultate halt auch schöner. Gerade dass die Drehgruppe des Ikosaeders ausgerechnet die \(A_5\) ist, ist halt schon schön.



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