Die Mathe-Redaktion - 16.01.2019 01:01 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt2 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAward-Abstimmung ab 3.1.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 399 Gäste und 7 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Folgen und Reihen » Lösungsweg Kontrolle, Reihe auf konvergent/absolut konvergent untersuchen
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Lösungsweg Kontrolle, Reihe auf konvergent/absolut konvergent untersuchen
JuliusW
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.01.2019
Mitteilungen: 2
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-11 16:29

\(\begingroup\)
Hallo erstmals!

Ich glaube nicht dass ich gegen welche Regeln verstoße, falls doch entfernt meinen Beitrag/Frage bitte.

Wenn ich jetzt diese Reihe untersuchen, stimmt mein Lösungsweg?
\[\sum \limits_{n>0} \frac{2^n(1+x)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2} \forall x\in
 R \]
Jetzt habe ich mir gedacht das Wurzelkriterium zu benützen, da sich die Exponenten schön rauskürzen, also folgt:

\[\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^n(1+x)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2}} =  \lim \limits_{n \to \infty}\frac{(2^n(1+x)^n)^\frac{1}{n}}{((n^\frac{1}{3}3^n)^2)^\frac{1}{n}} = \lim \limits_{n \to \infty}\frac{2(1+x)}{(n^\frac{1}{3n}9)} = \frac{2(1+x)}{9} \]
Dass Wurzelkriterium sagt aus, falls \[\lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} <= q < 1\] , dass die Reihe a_n absolut konvergetn ist.

Nun wird überprüft für welchen Fall es stimmt:
\[\ -9 < 2(x+1) < 9 \Rightarrow -5.5 < x < 3.5\]
Also ist die Reihe für diese Werte abs. konvergent.

Jetzt werden die Rand Werte überprüft:
\[x = -5.5 \Rightarrow \sum \limits_{n>0} \frac{2^n(-\frac{11}{2}+1)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2} = \sum \limits_{n>0} \frac{(-9)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2} = \sum \limits_{n>0} (-1)^n \cdot \frac{(9)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2}\]
Nach Leibnitz ist diese Reihe konvergent, da sie eine alternierende, monoton fallende Nullfolge ist.

Die absolute Konvergenz kann jetzt so untersucht werden, oder?
\[x = -5.5 \Rightarrow \sum \limits_{n>0} |\frac{2^n(-\frac{11}{2}+1)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2}| =  \sum \limits_{n>0} |(-1)^n \cdot \frac{(9)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2}| = \sum \limits_{n>0} \frac{(9)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2}  =\sum \limits_{n>0} \frac{9^n}{n^\frac{2}{3}9^n} =\sum \limits_{n>0} \frac{1}{n^\frac{2}{3}}  \]
Da dies eine harmonische Reihe ist mit einem Exponenten kleiner gleich 1 ist die Summer der Absolutbeträge divergent.
Also ist die Reihe für x = -5.5 nur konvergent, oder?

Für x = 3.5 ergibt sich:
\[x = 3.5 \Rightarrow \sum \limits_{n>0} \frac{2^n(\frac{7}{2}+1)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2}  = \sum \limits_{n>0} \frac{(9)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2}  =\sum \limits_{n>0} \frac{9^n}{n^\frac{2}{3}9^n} =\sum \limits_{n>0} \frac{1}{n^\frac{2}{3}}  \]
Wieder eine harmonische Reihe, also divergiert die Reihe für x = 3.5.

Es ergibt sich also:


\[\sum \limits_{n>0} \frac{2^n(1+x)^n}{(n^\frac{1}{3}3^n)^2} =  \begin{cases} absolut konverget & für -5.5 < x < 3.5 \\ konvergetn & für x = 5.5\\ divergent & für den Rest.\end{cases} x\in R ohne {-1}\]
Stimmt dies überhaupt, oder gäbe es einen besseren Weg?

LG
Julius
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Radix
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.10.2003
Mitteilungen: 6067
Aus: Wien
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-11 17:14


Willkommen auf dem Matheplaneten, Julius!

Du hast beim Wurzelkriterium den Betrag vergessen. Für die meisten Terme spielt er zwar keine Rolle, aber für 1+x schon.

Gruß,
Radix



Wahlurne Für Radix bei den Matheplanet-Awards stimmen
  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
JuliusW
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 10.01.2019
Mitteilungen: 2
Aus: Erde
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-11 17:20


Danke @Radix, habe ich glatt übersehen.

Gruß,
Julius



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
JuliusW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
JuliusW wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]