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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbarkeit und linksseitiger / rechtsseitiger Grenzwert
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Universität/Hochschule Differenzierbarkeit und linksseitiger / rechtsseitiger Grenzwert
X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-11


Hallo zusammen!

Folgender Satz soll bewiesen werden:

Seien $a, \xi, b \in \IR$ mit $a < \xi < b$.
Sei $f: (a,b) \to \IR$. $f$ ist genau dann in $\xi$ differenzierbar, falls für alle $(x_{n}) \subset (a,\xi)$ und $(y_{n}) \subset (\xi, b)$ mit $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} y_{n} = \xi$ die Grenzwerte

$\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{n}) - f(\xi)}{x_{n} - \xi}$ und $\lim_{n \to \infty} \frac{f(y_{n}) - f(\xi)}{y_{n} - \xi}$ existieren und übereinstimmen.


Ist es hier so, dass die eine Richtung $"=>"$ klar ist, da der Grenzwert $\lim_{x \to \xi} \frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi}$ existiert und somit auch für jede beliebige Folge mit $x_{n} \to \xi$ und $y_{n} \to \xi$, oder müsste man hier weiter argumentieren?

Zur Rückrichtung $"<="$. Gelte also, dass für alle $(x_{n}) \subset (a, \xi)$ und $(y_{n}) \subset (\xi, b)$ mit $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} y_{n} = \xi$ die Grenzwerte $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{n}) - f(\xi)}{x_{n} - \xi}$ und $\lim_{n \to \infty} \frac{f(y_{n}) - f(\xi)}{y_{n} - \xi}$ existieren und übereinstimmen.

Wie zeige ich daraus, dass $\lim_{x \to \xi} \frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi}$ existiert?


Ich wäre euch für jede Hilfe sehr dankbar!


Viele Grüße,
X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-11


Hey X3nion,

die Hinrichtung ist in der Tat klar.
Bei der Rückrichtung gebe dir eine beliebige Folge \((x_n)_n\) vor, die gegen \(\xi\) konvergiert. Die Idee ist jetzt diese Folge in zwei Teilfolgen aufzuteilen, die die ganze Folge \((x_n)\) ausschöpfen. Und zwar so, dass die eine TF nur Werte über \(\xi\), die andere nur unter \(\xi\) annimmt.
Überlege dir auch, was los ist, falls nur endlich viele Werte der Folge \((x_n)\) sich oberhalb (resp. unterhalb) von \(\xi\) befinden.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13


Hi Kampfpudel und vielen Dank für deine Antwort!

Hm aber wie ist es in dem Fall, dass die beliebig gewählte Folge ausschließlich Werte über $\xi$ annimmt, was ja der Fall sein kann?
Dann könnte ich ja die Separation in besagte Teilfolgen gar nicht durchführen?


Viele Grüße,
X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-13


Ja, das musst du dann auch gar nicht machen. Denn falls es etwa nur endlich viele Folgenglieder der Folge \((x_n)_n\) (\(x_n \neq \xi\)) gibt, für die \(x_n < \xi\) gilt, dann gibt Index \(n_0\), sodass \(x_n > \xi\) für alle \(n \geq n_0\) gilt. Wenn ich bei einer Folge endlich viele Folgenglieder streiche, ändert sich ja der Grenzwert nicht. Daher können wir o.B.d.A annehmen, in dem Fall zu sein wo alle Folgenglieder \(x_n > \xi\) erfüllen und der Grenzwert \(\lim\limits_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(\xi)}{x_n - \xi}\) existiert nach Voraussetzung.



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13


Hi Kampfpudel,

okay dann würde man OBdA annehmen, dass $x_{n} > \xi \forall n \in \IN$, aber wir wollten ja uns eine beliebige Folge hernehmen und diese in zwei Teilfolgen aufsplitten, die eine immer überhalb und die andere immer unterhalb von $\xi$?
Wenn ich $(x_{n})$ betrachte, so befinden wir uns ja ohne Einschränkung über $\xi$?

Viele Grüße,
X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-13


Also, wenn wir eine beliebige gegen \(\xi\) konvergierende Folge \((x_n)_n\) anschaue, für die \(x_n \neq \xi\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt, dann gibt es drei Möglichkeiten:
1. Für alle bis auf endlich viele Folgenglieder gilt: \(x_n > \xi\)
2. Für alle bis auf endlich viele Folgenglieder gilt: \(x_n < \xi\)
3. Es gibt sowohl unendlich viele \(n \in \mathbb{N}\) mit \(x_n > \xi\) sowie unendlich viele \(n \in \mathbb{N}\) mit \(x_n < \xi\).

Im ersten und zweiten Fall kann man sofort die Voraussetzung anwenden, da wir o.B.d.A annehmen können, dass für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt: \(x_n > \xi\) (resp. \(x_n < \xi\) im zweiten Fall)
Im dritten Fall machst du dann dir Argumentation über die Teilfolgen



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X3nion
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-13


Hi Kampfpudel,

okay alles klar ich verstehe!

Wähle nun eine Folge $(x_{n})$ mit $\lim x_{n} = \xi$, für welche gilt, dass es sowohl unendlich viele \(n \in \mathbb{N}\) mit \(x_n > \xi\) sowie unendlich viele \(n \in \mathbb{N}\) mit \(x_n < \xi\) gibt.
Wir können OBdA annehmen, dass $(x_{n}) \subset (a,b)$, da ein Streichen endlich vieler Summanden das Konvergenzverhalten nicht ändert.
Wähle nun eine Teilfolge $x_{a_{n}}$ von $x_{n}$ mit $x_{a_{n}} > \xi \forall n \in \IN$ und eine Teilfolge $x_{b_{n}}$ mit $x_{b_{n}} < \xi \forall n \in \IN$. Es gilt $(x_{a_{n}}) \cup (x_{b_{n}}) = (x_{n})$.

Es gilt zudem $\lim x_{a_{n}} = \lim x_{b_{n}} = \xi$.

Folglich existieren $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{a_{n}}) - f(\xi)}{x_{a_{n}} - \xi}$ und $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{b_{n}}) - f(\xi)}{x_{b_{n}} - \xi}$ und sind gleich.

Daraus folgt nun aber, dass $\lim_{x_{n} \to \xi} \frac{f(x_{n}) - f(\xi)}{x_{n} - \xi}$ auch für diesen Fall existiert.

Nach Checken von 1, 2 und 3 existiert also $\lim_{x \to \xi} \frac{f(x) - f(\xi)}{x - \xi}$


Ich wüsste nicht, wie ich dies formal korrekt aufschreiben soll. Korrigiere mich bitte, wo es nötig ist smile


Viele Grüße,
X3nion



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-14


Ich würde an folgenden Stellen folgendes ändern:

2019-01-13 18:34 - X3nion in Beitrag No. 6 schreibt:

Wähle nun eine Folge $(x_{n})$ mit $\lim x_{n} = \xi$,


hier solltest du noch ergänzen, dass \(x_n \neq \xi\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) zu gelten hat.


2019-01-13 18:34 - X3nion in Beitrag No. 6 schreibt:

Wähle nun eine Teilfolge $x_{a_{n}}$ von $x_{n}$ mit $x_{a_{n}} > \xi \forall n \in \IN$ und eine Teilfolge $x_{b_{n}}$ mit $x_{b_{n}} < \xi \forall n \in \IN$. Es gilt $(x_{a_{n}}) \cup (x_{b_{n}}) = (x_{n})$.


Hier würde ich schreiben:
Wähle nun eine Teilfolge $x_{a_{n}}$ von $x_{n}$ mit $x_{a_{n}} > \xi \forall n \in \IN$ und eine Teilfolge $x_{b_{n}}$ mit $x_{b_{n}} < \xi \forall n \in \IN$, sodass die Folgen $(x_{a_{n}})$ und $(x_{b_{n}})$ die Folge $(x_n)$ komplett ausschöpfen.

2019-01-13 18:34 - X3nion in Beitrag No. 6 schreibt:

Folglich existieren $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{a_{n}}) - f(\xi)}{x_{a_{n}} - \xi}$ und $\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_{b_{n}}) - f(\xi)}{x_{b_{n}} - \xi}$ und sind gleich.


Hier solltest du nochmal erwähnen, dass diese Grenzwerte (!)nach Voraussetzung(!) existieren und gleich sind

So wäre das dann eine runde Sache



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