Die Mathe-Redaktion - 20.11.2019 17:32 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 915 Gäste und 18 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Wally haerter
Mathematik » Differentialgleichungen » Ist die Lösung einer T-periodischen Differentialgleichung T-periodisch?
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Beruf Ist die Lösung einer T-periodischen Differentialgleichung T-periodisch?
sulky
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1349
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-19


Hallo zusammen,

Sei $x'=A(t)x$ wobei $A(t)=A(T+t)$ eine T-periodische quadratische Matrix sei.

Aus einer Musterlösung habe ich das gefühl, dass die T-periodizität
der Lösung x(t) automatisch angenommen wird.

sei $R(t,t_0)$ die Resolvante und $\Phi(t)=[x_1...x_n]$ die Lösungsmatrix.
Zwischenfrage: Sagt man auf Deutsch wirklich Resolvante, bzw. Lösungsmatrix?


Nun existiert ja eine Matrix B und eine Periodische Funktion P, sd:
$R(T,0)=\Phi(T)=P(T)e^{TB}=P(0)e^{TB}=e^{TB}$
In der letzten Gleichung wird offensichtlich $P(0)=I$ angenommen.
Dies wäre für mich dann nachvollziehbar wenn $x(t)$ T-periodisch wäre.
Dann wäre nämlich $R(T,0)=R(0,0)=I$

Aber ich bin nicht sicher ob x(t) wirklich T-periodisch ist.
Vielleicht beweist man aber auch ganz anders dass $P(0)=I$

Oder vielleich muss ich die ganze Aufgabenstellung posten weil $P(0)=I$
nur unter den Bedingungen der Aufgabenstellung gilt.


Wer weiss das?




  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 45993
Aus: Dresden
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-19


Hi sulky,
im allgemeinen sind die Lösungen periodischer DGLen nicht selbst periodisch.
Es gibt aber Voraussetzungen, unter denen es für periodische DGLen periodische Lösungen gibt. Leider habe ich vergessen, wie ein solcher Satz lautete und wer ihn bewiesen hat.
Gruß Buri



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
shipwater
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2010
Mitteilungen: 437
Aus: Karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-01-19


Hi,

nimm \(n=1\) und \(A(t) \equiv 1\). Die allgemeine Lösung von \(x'(t)=x(t)\) ist gegeben durch \(x(t)=C e^t\). Du siehst insbesondere, dass keine nichttriviale Lösung periodisch ist!

Was genau versteht du unter \(R(t,t_0)\)? Du musst eventuell mehr Infos geben.

Gruß Shipwater

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1349
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19


Hallo Buri,

Ok, danke.
Wir haben ja sogar einen Satz welcher sagt dass
$x(t)=P(t)e^{B(t-t_0)}P(0)^{-1}x_0$

Für den eindimensionalen Fall sieht man doch sofort, dass $x(t)$ nur dann periodisch sein kann, wenn $B$ imaginär ist. Oder mache ich nun einen Fehlschluss?

Aber eben, die Musterlösung behauptet ja gar nicht unbedingt dass $x(t)$ T-periodisch sein muss.
Ich verstehe einfach das $P(0)=I$ nicht

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1349
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19


Hallo Shipwater,

Also $R(t,t_0)$ ist diejenige Matrix, die dazu dient ein Anfangswertsproblem
fed-Code einblenden
zu lösen. Es gilt dann:
$x(t)=R(t,t_0)x_0$

$R(t,t_0)$ ist eine $\mathbb{C}_{n \times n}$ matrix, deren Kolonnen alles Lösungen der DG, aber nicht unbedingt des Anfangswertes sind.


$R(t,t_0)$ hat eigenschaften, welche die Funktion für übungsaufgaben geeignet machen. z.b. $R(a,b)=R(b,a)^{-1}$ oder $R(a,b)R(b,c)=R(a,c)$ oder $R(a,a)=I$

Aber eben, es wird ja nicht unbedingt behauptet dass $x(t)$ T-periodisch ist. Vielleicht gilt aus ganz anderen Gründen dass $P(0)=I$



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 726
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-19


2019-01-19 19:56 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Vielleicht gilt aus ganz anderen Gründen dass $P(0)=I$

Es ist nach dem Satz von Floquet$$R(t,0)=P(t)e^{tB}$$mit einer $T$-periodischen Funktion $P$ und einer Matrix $B$.

Aus $R(0,0)=1$ folgt sofort $P(0)=1$, und wegen der $T$-Periodizität ist dann auch $P(T)=1$.

Das Ganze hat überhaupt nichts damit zu tun, dass eine Lösung $x(t)=R(t,0)x_0$ $T$-periodisch sein müsste.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1349
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19


...und das habe ich nicht gesehen.

Da kann ich nur über mich selber lachen.


Da gibt es eine Beziehung der Wronskideterminante die ich gerade nicht finde.

Es gilt nun:

Der Wronski W ist die Determinante der Wronskimatrix $R(t,0)$
Somit gilt: $det(e^{2\pi B})=e^{-\int_0^{2\pi} -1 ds} det (e^{0B})$

und somit: $det(e^{2\pi B})=e^{2\pi}$


Gibt es da eine Beziehung die ich gerade nicht sehe? Zu bemerken, dass eine sehr einfach Teilaufgabe 1) vorausgeht, die viel mit Wronski und Determinanten zu tun hat. Es ist also denkbar, dass dort die gesuchte Beziehung zu finden ist.

Nebenbei ist noch irgendwo ein Fehler, denn gemäss Aufgabenstellung muss das Endresultat $e^{-2\pi}$ und nicht $e^{2\pi}$ geben.



Woher weisst du das alles, Zippy? Bist du Differenzialgleichungslehrer oder so was ähnliches?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 1349
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-19


Ja, aus der voherigen Teilaufgabe wird alles klar.

Vielen Dank Burri,shipwater und Zippy



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
shipwater
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 27.03.2010
Mitteilungen: 437
Aus: Karlsruhe
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-01-20


Hi,

2019-01-19 19:56 - sulky in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo Shipwater,

Also $R(t,t_0)$ ist diejenige Matrix, die dazu dient ein Anfangswertsproblem
fed-Code einblenden
zu lösen. Es gilt dann:
$x(t)=R(t,t_0)x_0$

du meinst \(x(t_0)=x_0\). \(R(t,t_0)\) nennt sich übrigens Hauptfundamentalmatrix im Punkt \(t_0\). Viele Begrifflichkeiten kannst du hier und hier nachlesen.

Gruß Shipwater



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
sulky hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
sulky hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]