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Moderiert von Curufin epsilonkugel
Analysis » Funktionalanalysis » Spezielles eindeutiges Funktional in Hilbertraum
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Universität/Hochschule J Spezielles eindeutiges Funktional in Hilbertraum
xb2710
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Dabei seit: 06.04.2018
Mitteilungen: 28
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-21


Hallo, ich habe bei folgender Aufgabe Probleme, vielleicht kann ja jemand helfen?


Sei \(H\) ein Hilbertraum, \(F \subset H\) ein abgeschlossener Unterraum sowie \(a \in F^{\mathrm{c}}\). Zeige, dass ein eindeutig bestimmtes lineares, beschränktes Funktional \(f \in H'\) existiert mit \(||f|| = 1, f(x)=0~\forall x\in F\) und \(f(a) = \mathrm{dist}(a, F)\).

Mein Versuch:
Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass ein \(b \in F\) existiert mit \( \mathrm{dist}(a, F) = ||a-b||\). Außerdem wissen wir, dass \(c:=a-b \in F^{\perp}\) ist.
Mit \(y=c/||c||\) und \(f(x):=\langle x, y\rangle\) stimmen auch alle Eigenschaften für \(f\) außer \(f(a) = \mathrm{dist}(a, F)\).

Kann da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!



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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1595
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-22


Hey, xb2710,

bist du dir sicher, dass \(f(a)= \text{dist} (a,F)\) nicht stimmt?



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xb2710
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Dabei seit: 06.04.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-22


Hi Kampfpudel,

habe es nochmal nachgerechnet, es stimmt jetzt doch, danke.

Hast du mir einen Tipp, wie man die Eindeutigkeit zeigen kann?

Ich habe das mit dem Riesz'schen Darstellungsssatz versucht aber komme nicht weiter...



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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-22


Der Riesz'sche Darstellungssatz ist ein guter Ansatz. Man nehme also zwei Funktionale \(f\) und \(g\), die alle Bedingungen erfüllen und betrachte deren Differenz.
Die Eindeutigkeit wird wohl an der Bedingung \(f(a)= \text{dist}(a,F)\) liegen. Dann ist ja \((f-g)(a)=0\). Arbeite mal damit



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xb2710
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-22


Habe es jetzt einige Zeit versucht, schaffe es aber nicht, die Eindeutigkeit zu zeigen.

Mit Riesz gäbe es ja eindeutige \(y, z \in H\) mit
\[\begin{split} f(x) &= \langle x, y \rangle, \\
g(x) &= \langle x, z \rangle. \end{split}\] Ziel ist es nun, \(y=z\) zu zeigen.

[Außerdem gilt dank Riesz \(||f||=||y||=1, ||g||=||z||=1.\)
Wegen \( f(x)=g(x)=0 ~ \forall x\in F\) wissen wir auch, dass \(y, z \in F^{\perp}\).]

Mit der Darstellung \(a = b + c, b\in F, c\in F^{\perp}\) erhalten wir
\[\begin{split}
f(a) &= \langle a, y \rangle = \langle c, y \rangle\\
g(a) &= \langle a, z \rangle = \langle c, z \rangle
\end{split}\] also z.B. \[0 = f(a)-g(a) = \langle c, y-z \rangle.\] Ich sehe nicht wie ich daraus auf \(y=z\) schließen kann?



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AnnaKath
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Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3217
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-22


Huhu xb2710,

setze doch einmal $a=y-z$ in $0=f-g$ ein.

lg, AK.



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xb2710
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-22


Hallo AK, danke für die Antwort.

Nach meinem Verständnis ist \(a \in F^{\mathrm{c}}\) fest vorgegeben, kann also nicht beliebig gewählt werden? Es muss ja nicht \(a=y-z\) sein, oder?
(Eventuell habe ich die Aufgabenstellung da unvollständig wiedergegeben, ich habe es oben verbessert.)



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-23


Vielleicht war es nicht klug von mir zu sagen, man solle zwei beliebige Funktionale \(f\) und \(g\) hernehmen. Nimm lieber als Funktional \(f\) genau das eben berechnete Funktional und \(g\) ist ein beliebiges weiteres Funktional mit den gewünschten Eigenschaften. Dann kannst du aber einsetzen, dass \(c=a-b\) und \(y=\frac{c}{\|c\|}\) ist. Damit kommt man dann weiter



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xb2710
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-23


Es tut mir leid, ich stehe da einfach auf dem Schlauch.
Ich komme natürlich auf so Gleichungen wie:
\[ 0 = (f-g)(a) = \langle a, y - z \rangle = \langle a, y \rangle - \langle a, z \rangle = \langle a, \dfrac{c}{\lVert c \rVert} \rangle - \langle a, z\rangle, \] aber ich sehe einfach nicht wo hin das führt. Naturlich ist \(z=\dfrac{c}{\lVert c \rVert}\) eine Lösung, aber warum ist es die einzige?



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Kampfpudel
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Dabei seit: 02.08.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-01-23


Es ist doch \(\langle b , y-z \rangle=0\).
Subtrahiere diesen Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung (die Gleichheit bleibt dann ja erhalten, da dieser Ausdruck 0 ist) und verwende, dass \(c=a-b\) ist.
Rufe dir dann die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung in Erinnerung und frage dich, wann bei dieser Ungleichung Gleichheit herrscht.



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xb2710
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-23


Jetzt habe ich's auch mal verstanden. Vielen Dank für die Tipps und die Geduld mit mir!



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xb2710 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
xb2710 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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