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Universität/Hochschule Gemische Zustände
Leonie92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-22


Hallo,

kann mir bitte jemand bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen:

Eine Quelle präperiert Spin-1/2 Teilchen so, dass mit W'keit 0,3 z-polarisiert, mit W'keit 0.7 x-polarisiert sind. Durch welchen Zustandsoperator (Dichtematrix) wird die Quelle beschrieben?

Ich habe folgende Definition für den Dichteoperator gefunden:
\[\rho = \sum p_i |\psi_i><\psi_i|\] wobei \(p_i\) wie W'keit ist, dass \(\psi_i\) im Gemisch vertreten ist.

Mit dieser definition erhalte ich als Lsg:
\[\rho = 0.3 |z> <z| + 0.7 |x><x|\]
mit  \(|x> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|x\uparrow>+|x\downarrow) \) (analoge für |z>).

Ist das die korrekte Lösung?


Grüße
Leonie



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-24


Hallo Leonie,

ich bin leider kein Experte. Aber wenn wir mal davon ausgehen ...

2019-01-22 15:23 - Leonie92 im Themenstart schreibt:
(...) kann mir bitte jemand bei der folgenden Aufgabe weiterhelfen:

Eine Quelle präperiert Spin-1/2 Teilchen so, dass mit W'keit 0,3 z-polarisiert, mit W'keit 0.7 x-polarisiert sind. Durch welchen Zustandsoperator (Dichtematrix) wird die Quelle beschrieben? (...)

... dass die Aufgabenstellung so gemeint ist, dass man nur den Teil der Physik betrachtet, bei dem es um die Zustände des Spins geht (ein Elektron ist ja auch ein Spin-1/2 Teilchen, wenn man die Pauli-Gleichung verwendet, dann ist der Hilbertraum aber $L^2(\mathbb{R}^3) \otimes \mathbb{C}^2$), dann wäre es doch möglicherweise angemessener die Zustände deiner Dichtematrix nicht weiter zu spezifizieren oder?

Also deinen Vorschlag

$\rho = 0.3 | z \rangle \langle z | + 0.7 | x \rangle \langle x |$

würde ich unterschreiben! Aber die genauere Darstellung deiner Zustände ...

2019-01-22 15:23 - Leonie92 im Themenstart schreibt:
(...) mit  \(|x> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|x\uparrow>+|x\downarrow) \) (analoge für |z>). (...)

... geht, finde ich, nicht aus der Aufgabenstellung hervor. (So, wie du es hingeschrieben hast, würde sich ein Teilchen im Zustand $|x \rangle$ ja mit Wahrscheinlichkeit $0.5$ im "Spin-Up" bzw. "Spin-Down" Zustanden befinden. Es könnte doch auch sein, dass die Wahrscheinlichkeit für einen "Spin-Up" Zustand wahrscheinlicher ist, oder irre ich mich da?)


Und was sagst du dazu?


Grüße
Sebastian



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Leonie92
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-24


Hallo Sebastian,

ich glaube bei der Aufgabe muss man die explizite Darstellung der Dichtematrix angeben.


Aber die genauere Darstellung deiner Zustände ...
... geht, finde ich, nicht aus der Aufgabenstellung hervor.

Kann der quantenmechanische Zustand eines Spin 1/2-Teilchen welches z.B. x-Polarisiert (= Spin in x-Richtung) nicht explizit angeben werden?

Entspricht mein Vorschlag (modifiziert) \(|x> = \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha|x\uparrow>+\beta|x\downarrow) \) nicht diesem Zustand? Wobei \(|\alpha|^2,|\beta|^2\) die Wahrscheinlichkeiten festlegen.

Oder muss man Produkzustände verwenden. In diesem Fall der Singulett-Zustand
\[|x> = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(|x\uparrow \quad
 x\downarrow> - |x\downarrow \quad x\uparrow>\right)\] wobei \(|x\downarrow \quad x\uparrow>:= |x\downarrow> \otimes |x\uparrow>\).

Dann bleibt aber noch die Frage, was man explizit für \(|x\downarrow> ,|x\uparrow> \) einsetzt.

Grüße Leonie



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Skalhoef
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-24


Hallo Leonie,

2019-01-24 09:37 - Leonie92 in Beitrag No. 2 schreibt:
(...) ich glaube bei der Aufgabe muss man die explizite Darstellung der Dichtematrix angeben. (...)
ich glaube zu wissen wie das geht!  😄

Ich "stöbere" immer mal wieder durch irgendwelche Skripte und Bücher, dabei traf ich u.A. auch auf die quantenmechanische Beschreibung des Stern-Gerlach-Experiments, z.B. hier ab der zweiten Vorlesung, oder in Sakurai - Modern Quantum Mechanics.
Auch sehr lesenswert ist dazu der Beitrag vom User "jacha2" in diesem Foren-Eintrag von mir.

Wie auch immer... Ich glaube so dürfte es gehen:

Als Hilbertraum wählt man $\mathcal{H} = \mathbb{C}^2$.
(In der Vorlesung des obigen Links wird es nicht mit einem Scheinwerfer beleuchtet, aber die dort gewählten Vektoren um das (modifizierte) Stern-Gerlach-Experiment zu beschreiben entsprechen genau den Eigenvektoren der Pauli-Matrizen (in üblicher Standard-Darstellung). )

(Der Spin-Operator lautet ja gerade

$\hat{\vec{S}} = \frac{\hbar}{2} \hat{\vec{\sigma}}$.)

In deiner Aufgabe sind die Teilchen in $x$- und $z$-Richtung polarisiert, also suchen wir jetzt nach den (Eigen-)Zuständen (der $x$- und $z$-Komponente) des Spin-Operators.

Für die $z$-Komponente des Spin-Operators erhält man als Eigenzustände  der dritten Pauli-Matrix (in der Basis die mit der Darstellung der Pauli-Matrizen kommt und wenn ich mal deine Notation übernehme):

$|z, \uparrow \rangle = \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ \end{array} \right), \quad |z, \downarrow \rangle = \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \end{array} \right)$

und für die $x$-Komponente erhält man die Eigenzustände der ersten Pauli-Matrix

$|x, \uparrow \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ \end{array} \right), \quad |x, \downarrow \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ \end{array} \right)$.

(Diese Zustände kann man z.B. hier in der Wikipedia nachschlagen.)


2019-01-24 09:37 - Leonie92 in Beitrag No. 2 schreibt:
Kann der quantenmechanische Zustand eines Spin 1/2-Teilchen welches z.B. x-Polarisiert (= Spin in x-Richtung) nicht explizit angeben werden?

Entspricht mein Vorschlag (modifiziert) \(|x> = \frac{1}{\sqrt{2}} (\alpha|x\uparrow>+\beta|x\downarrow) \) nicht diesem Zustand? Wobei \(|\alpha|^2,|\beta|^2\) die Wahrscheinlichkeiten festlegen. (...)

Ich finde deinen Vorschlag zur Darstellung eines $x$-polarisierten Vektors gut, denke aber, dass es einfacher wird, wenn man den Vorfaktor $\frac{1}{\sqrt{2}}$ in die Konstanten einfließen lässt.

Konkret würde ich also für einen $x$-Polarisierten Zustand (nennen wir ihn $|x\rangle$) der die Quelle verlässt schreiben:

$|x\rangle = \alpha_x |x, \uparrow \rangle + \beta_x |x, \downarrow \rangle \qquad ( = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} \alpha_x + \beta_x \\ \alpha_x - \beta_x \\ \end{array} \right) )$,

und analog

$|z\rangle = \alpha_z |z, \uparrow \rangle + \beta_z |z, \downarrow \rangle \qquad ( = \left( \begin{array}{c} \alpha_z \\ \beta_z \\ \end{array} \right) )$,

wobei $|\alpha_i|^2 + |\beta_i|^2 = 1$ für $i = x,z$.



Möchten wir jetzt den Dichteoperator

$\rho = 0.3 |z \rangle \langle z | + 0.7 |x \rangle \langle x |$

auswerten, dann könnten wir benutzen, dass für endlichdimensionale Vektorräume (was in diesem Beispiel der Fall ist) ...

1. man den zum Ket-Vektor $|x \rangle$ korrespondierende Bra-Vektor $\langle x |$ erhält, indem man komplex konjugiert und anschließend transponiert,

2. Ausdrücke wie $|z\rangle \langle z |$ sich leicht als Matrizen hinschreiben lassen (die sind nämlich durch das dyadisches Produkt gegeben, was du in der englischen Wikipedia hier nachlesen kannst),

und 3. das dyadische Produkt in beiden Argumenten distributiv ist, was du in der deutschen Wikipedia hier nachlesen kannst.



Der Rest dürfte dann nur noch mühseliges Ausschreiben und Auswerten der verschiedenen Ausdrücke sein!  😄


Zu dem hier:
2019-01-24 09:37 - Leonie92 in Beitrag No. 2 schreibt:
(...) Oder muss man Produkzustände verwenden. (...)
Ich vermute, dass die Aufgabe nicht so gemeint war, dass man Produktzustände benutzen soll.



Grüße
Sebastian

P.S.: Man sollte auch anmerken, dass diese Matrix $\rho$, die man am Ende der Rechnung erhält nicht eindeutig ist! Man könnte ja auch die zur $x$-Richtung (in deiner Aufgabe) korrespondierenden Zustände als Eigenzustände der zweiten Pauli-Matrix identifizieren (und demnach die Zustände der $z$-Richtung in deiner Aufgabe als Eigenzustände der ersten Pauli-Matrix).
Falls du dein Ergebnis mit Anderen vergleichst, dann könnte es also passieren, dass da unterschiedliche Matrizen stehen, weil ihr unterschiedliche Wahlen der (Eigen-)Basen getroffen habt.



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Leonie92
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Danke für deine Hilfe Sebastian.

Ich habe mal alles ausgeschrieben. Leider lässt es sich nicht in kompakter Form darstellen.

Vielleicht könntest du mir noch bei einer anderen Frage weiterhelfen
 Link zum Topic [Interpretation der Dirac-Gleichung]

Bis jetzt hat leider noch niemand darauf geantwortet.

Grüße
Leonie



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