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Logik, Mengen & Beweistechnik » Aussagenlogik » Eine gültige unendliche Formelmenge
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Autor
Universität/Hochschule J Eine gültige unendliche Formelmenge
hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-01-22


Hey Leute!

Ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen.



M = {Fi| i ∈ N} = {F0, F1, F2, . . .} eine abzählbar unendliche Menge aussagenlogischer Formeln.

Hab versucht ein Gegenbeispiel zu finden:

Angenommen jede echte Teilmenge ist gültig. Dann gibt es eine Formel mit dem größten Index der in keiner dieser echten Teilmengen vorkommt, da es sonst zu einer unechten Teilmenge wird. Sei k der größte Index einer Formel die in M vorkommt.
Setzen F(k) = !A(0). Sei F(0) = !A(0) v A(0) .... F(r) = !A(r) v A(r) für alle 0<= r <= k-1

Alle diese echten Teilmengen sind gültig unter der Belegung:
A(A(0)) = 1 .... A(A(n)) = 1 für alle 0<=n<=k-1

Aber unter diser Belegung ist F(k) nicht erfüllbar, also ist M nicht erfüllbar.
Falls aber A(A(0)) = 0 gilt so ist F(k) erfüllbar. Also ist F(k) nicht gültig.
Demnach ist M erfüllbar, aber nicht gültig und die Behauptung stimmt nicht.


Lieg ich damit richtig oder stimmt die Aussage und es gibt einen anderen Lösungsansatz?


Viele Grüße



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-22


Die Aussage stimmt, jedenfalls, wenn $|M|=\infty$ ist.



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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-04


Hallo tactac,

wie könnte man das zeigen, dass es stimmt?
Das es zwei größtmögliche endliche Teilmengen gibt und die gültig sind?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-05


In der einen Richtung ist zu zeigen, dass, wenn alle unendlichen echten Teilmengen von $M$ gültig sind, dann auch M. Dafür kann man z.B. ausnutzen, dass wir $M$ als unendlich annehmen, weswegen zwei Formeln $\phi,\psi \in M$ existieren mit $\phi \neq \psi$. Mit denen haben wir dann die unendlichen echten Teilmengen von $M$:  $M\setminus\{\phi\}$ und $M\setminus\{\psi\}$ , die vereinigt $M$ ergeben.
In der anderen Richtung kann man ausnutzen, dass, wenn $N \subseteq M$ und $M$ gültig, so $N$ gültig.



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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-05


Also du meinst, dass wir M in zwei Teile spalten. In einer wo das ϕ und in der anderen das ψ drinne ist, da es sonst keine echte unendliche Teilmenge wäre. Weil sonst N = M gelten kann.

Wenn wir zeigen wollen, das M gültig ist wenn jede echte Teilmenge gültig ist. Muss doch nach dem Endlichkeitssatz jede endliche Teilmenge von M gültig sein?





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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-09

\(\begingroup\)\( \newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}\)
2019-02-05 17:48 - hudiabssfsjdkfb89 in Beitrag No. 4 schreibt:
Also du meinst, dass wir M in zwei Teile spalten. In einer wo das ϕ und in der anderen das ψ drinne ist, da es sonst keine echte unendliche Teilmenge wäre. Weil sonst N = M gelten kann.
So in etwa. Wichtig ist bei dem Vorgehen, dass die eine Formel, die wir aus $M$ herausnehmen, um eine echte Teilmenge von $M$ zu erhalten, in der anderen echten Teilmenge drin ist.

Wenn wir zeigen wollen, das M gültig ist wenn jede echte Teilmenge gültig ist. Muss doch nach dem Endlichkeitssatz jede endliche Teilmenge von M gültig sein?
Nicht relevant.
\(\endgroup\)


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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-09


Alles klar.
Noch eine abschließende Frage:

Nicht relevant.

Warum ist es nicht relevant? Weil N unendlich ist?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-09


Ja.



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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-10


Danke für die Hilfe tactac.

Könntest du mal drüberschauen?

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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-02-11


Mit m.E.n. nicht übermäßig viel gutem Willen akzeptabel.



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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Dein Satz les ich etwas schwer. Was genau meinst du :`). Fehlt da evtl. ein Satzzeichen?

Wie könnte es dann ordnungsmäßig aussehen?



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tactac
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-02-11


2019-02-11 18:52 - hudiabssfsjdkfb89 in Beitrag No. 10 schreibt:
Dein Satz les ich etwas schwer. Was genau meinst du :`). Fehlt da evtl. ein Satzzeichen?
Es fehlt kein Satzzeichen, sondern vielleicht ein Subjekt und ein Verb. Mein Satz hat dieselbe Form wie "Gut." oder "Schlecht."

Wie könnte es dann ordnungsmäßig aussehen?
Mit nicht außergewöhnlich viel gutem Willen ist dein Beweis in Ordnung. Was jedoch nicht heißen soll, dass nicht doch viel guter Willen erforderlich ist.



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hudiabssfsjdkfb89
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-11


Alles klar. Hast du evtl. noch eine kleineren Tipp was ich noch einbauen könnte?



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