Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionentheorie » Holomorphie » Holomorphes f ist konstant wenn |f| konstant ist
Autor
Universität/Hochschule Holomorphes f ist konstant wenn |f| konstant ist
Potheker
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.11.2017
Mitteilungen: 79
  Themenstart: 2019-01-26

f sei holomorph auf dem Gebiet G und |f| sei auf G konstant. Zeige dass dann f konstant auf G ist. Wenn man sich klar macht was Holomorphie zu bedeuten hat, ist die Eigenschaft schon logisch. Aber ich kriege keinen formalen Beweis zusammen.


   Profil
Bai
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1248
  Beitrag No.1, eingetragen 2019-01-26

Hi, das folgt unmittelbar aus dem Maximumprinzip.


   Profil
Potheker
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.11.2017
Mitteilungen: 79
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-26

\quoteon(2019-01-26 12:08 - Bai in Beitrag No. 1) Hi, das folgt unmittelbar aus dem Maximumprinzip. \quoteoff In unserem Funktionentheorie-Script ist das eine Aufgabe in Kapitel 1.2, zu dem Zeitpunkt war also grade mal nur holomorphie und Kurvenintegrale sowie die allersimpelsten Sätze bekannt.


   Profil
Bai
Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 11.09.2014
Mitteilungen: 1248
  Beitrag No.3, eingetragen 2019-01-26

\quoteon(2019-01-26 12:24 - Potheker in Beitrag No. 2) [...] holomorphie und Kurvenintegrale sowie die allersimpelsten Sätze bekannt. \quoteoff Welche Sätze denn z.B.? Was hast du bisher probiert? Es ist schwierig, zu erraten, was du schon weißt/kannst und was nicht.


   Profil
Potheker
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.11.2017
Mitteilungen: 79
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-26

\quoteon(2019-01-26 13:22 - Bai in Beitrag No. 3) Welche Sätze denn z.B.? Was hast du bisher probiert? Es ist schwierig, zu erraten, was du schon weißt/kannst und was nicht. \quoteoff Eigentlich nur die Grundlegenden Sachen wie Produktregel u.Ä., die C-R-Dgleichungen und zu Kurvenintegralen nur so ziemlich die Sachen die man sich im Beweis auch selbst herleiten kann: dass man die Kurve aufteilen kann, dass man die Werte in eine Stammfunktion einsetzen kann, Standardabschätzung Bis jetzt habe ich nur versucht anhand der C-R-Dgl. irgendwie hinzukriegen dass die Ableitung überall null sein muss, ich weiß auch nicht wie ich es sonst versuchen könnte


   Profil
Ex_Senior
  Beitrag No.5, eingetragen 2019-01-26

Ein bischen mehr hattet ihr schon. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=239750 würde mir zu dieser Aufgabe z.B. einfallen.


   Profil
Potheker
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 26.11.2017
Mitteilungen: 79
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-01-26

\quoteon(2019-01-26 17:06 - TomTom314 in Beitrag No. 5) Ein bischen mehr hattet ihr schon. https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=239750 würde mir zu dieser Aufgabe z.B. einfallen. \quoteoff Das ist aber alles viel später passiert, ich gehe gerade die Aufgaben vom Anfang des Scripts durch, diese Stammt aus der vielleicht zweiten oder dritten Vorlesungswoche.


   Profil
Ex_Senior
  Beitrag No.7, eingetragen 2019-01-26

Man kann recht gut die CR-DGLn dafür verwenden. Sei $u = \Operatorname{Re}(f)$ und $v = \operatorname{Im}(f)$. Die Bedingung ist, dass $u^2+v^2$ konstant ist. Ableiten der Bedingung ergibt $\displaystyle u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+v\cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 0$ und $\displaystyle u \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+v\cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 0$ Beides quadrieren, in einer der Gleichungen im gemischten Teil die DGLn benutzen und dann aufaddieren (dann fällt der gemischte Teil weg). Schau mal, ob du damit weiterkommst. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]


   Profil
Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Gestath
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 22.07.2013
Mitteilungen: 214
  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-05

Hi, Man kann die Behauptung zurückführen auf: Sei g: G -> \IC holomorph und g(G)\subsetequal\ \IR dann ist g konstant. Beweis: Für jedes z \el\ G und h \el\ \IR gilt: g'(z)=lim(h->0,(g(z+h)-g(z))/h=lim(h->0,(g(z+i*h)-g(z))/(i*h)=-i*lim(h->0,(g(z+i*h)-g(z))/h Ganz rechts steht etwas rein Imaginäres und der erste Grenzwert ist reell. Da beide gleich sind, folgt g'(z)=0 -> g=const. Sei nun abs(f)=r= const.<>0 (der Fall 0 ist trivial) Sei g: G -> \IC mit g(z) =f(z)/r -> abs(g)=1 -> 1/g=g^- ist holomorph -> re(g)=(g+g^-)/2 und im(g)=(g-g^-)/2i sind holomorph und nehmen nur reelle Werte an -> re(g) und im(g) und damit g sind konstant -> f ist konstant


   Profil
Potheker wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]