Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Dixon Orangenschale
Physik » Atom-, Kern-, Quantenphysik » Spin, Matrix des Hamiltonians, Schrödinger-Gleichung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Spin, Matrix des Hamiltonians, Schrödinger-Gleichung
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 672
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-02


Guten Morgen alle zusammen! Die Aufgabe lautet:

Ein Teilchen mit Spin $S = \frac{1}{2}$ befinde sich in einem homogenen Magnetfeld $\vec{B} \equiv (0,B,0)$. Zur Zeit $t = 0$ sei es im Eigenzustand $|\phi(t=0)\rangle = |\uparrow \rangle$ der $z$-Komponente $S_z$ des Spin-Operators präpariert. Für die Eigenzustände von $S_z$ gilt: $S_z |\downarrow \rangle = \frac{-\hbar}{2} |\downarrow\rangle$ bzw. $S_z|\uparrow \rangle = \frac{\hbar}{2}\uparrow \rangle $.

(a) Wie lautet die Matrix des Hamiltonians in der Basis der Spin-Zustände $\{\downarrow \rangle , \uparrow \rangle\}$?

(Hinweis: Der Hamiltonian eines Teilchens mit Spin $S = \frac{1}{2}$ im Magnetfeld ist $W = -\vec{M} \cdot \vec{B}$ mit dem Operator des magnetischen Moments $\vec{M}$ und dem Magnetfeld $\vec{B}$.)

(b) Stellen Sie die Schrödinger-Gleichung in der Basis $\{|\downarrow\rangle, |\uparrow\rangle\}$ auf und bestimmen Sie die Koeffizienten $\phi_{\downarrow}(t), \phi_{\uparrow}(t)$ des Spin-Zustands $|\phi(t)\rangle = \phi_{\downarrow}(t) |\downarrow\rangle + \phi_{\uparrow}(t) |\uparrow\rangle$ zur Zeit $t$.  


ad (b): Ich habe jetzt eine Matrix, weiß aber nicht, wie ich die SG in der Basis der Spin-Zustände darstellen kann ... Über entsprechende Tipps/Hinweise würde ich mich wirklich sehr freuen!


Beste Grüße
Neymar



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1075
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-02


Hallo Neymar,

2019-02-02 08:30 - Neymar im Themenstart schreibt:
ad (b): Ich habe jetzt eine Matrix

Dann schreib diese Matrix doch mal hier hin.

Und schreibe dazu, wie du diese Matrix aus $W$ abgeleitet hast.

--zippy



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 672
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-02


Hallo zippy,

unsere Matrix lautet wie folgt:

$H \doteq \begin{pmatrix} 0 & \omega_B \frac{\hbar}{2}i \\ -\omega_B \frac{\hbar}{2}i& 0\end{pmatrix}$,

wobei $\doteq$ ,,wird repräsentiert durch" bedeute.

Wie kommen wir darauf? Also $H = W$, laut Aufgabe. Und im Skript hatten wir ein Beispiel, in dem zwar $\vec{B} \equiv (0,0,B)$ war, aber da haben wir dann $W = \omega_B S_z$ erhalten, mit $S_z = \frac{\hbar}{2}\sigma_z$ (mit $\sigma_z$ Pauli-Matrix). Also haben wir in diesem Fall $H = W = \omega_B S_y$ erhalten und weitergerechnet. Evtl. kommst du auf die transponierte Matrix, aber das wäre ja insofern kein Problem, als es von der Reihenfolge der Basiselemente abhängt, und wir haben (so, wie es auch implizit von der Aufgabe vorgeschlagen wird) $|\downarrow\rangle$ als erstes Basiselement gewählt.

Als ein Beispiel: $\langle \uparrow| H | \downarrow \rangle \doteq \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \omega_B \frac{\hbar}{2}\sigma_y \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, wobei $\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$ so geschrieben ist, weil der Bra (formal) aus dem Dualraum stammt.

So, wie kann man jetzt die Schrödinger-Gleichung in der Basis der Spin-Zustände darstellen? Also wir haben die Eigenwerte und Eigenvektoren von $H$ in der Gruppe bestimmt, aber mir leuchtet noch nicht so ganz ein, warum. Andererseits kann man ja wohl kaum etwas anderes machen. Ich bitte um Rückmeldung.


Gruß Neymar



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1075
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-02


Du musst dir nur klarmachen, was genau dieses vage "wird repräsentiert durch" bedeutet. Wenn du das durch "richtige" Gleichungen ersetzt, wird klar, wie die gesuchte Schrödingergleichung auszusehen hat.

Nenne die Matrix, die $H$ darstellt, mal $\tilde H$. Es ist also (ich habe die Basisvektoren möglicherweise in einer anderen Reihenfolge als du geschrieben)$$\langle\mathord\uparrow|H|\mathord\uparrow\rangle = \tilde H_{11}\quad\langle\mathord\uparrow|H|\mathord\downarrow\rangle = \tilde H_{12}\quad\langle\mathord\downarrow|H|\mathord\uparrow\rangle = \tilde H_{21}\quad\langle\mathord\downarrow|H|\mathord\downarrow\rangle = \tilde H_{22}$$ und damit kannst du für einen Zustand$$|\phi(t)\rangle=\phi_\uparrow(t)|\mathord\uparrow\rangle+\phi_\downarrow(t)|\mathord\downarrow\rangle$$die Wirkung von $H$ hinschreiben:$$H|\phi(t)\rangle=
\phi_\uparrow(t)\left(|\mathord\uparrow\rangle\tilde H_{11}+
|\mathord\downarrow\rangle\tilde H_{21}
\right) +
\phi_\downarrow(t)\left(|\mathord\uparrow\rangle\tilde H_{12}+
|\mathord\downarrow\rangle\tilde H_{22}
\right)$$Und das führt zu der Schödingergleichung:$$i\hbar\left(
\dot\phi_\uparrow(t)|\mathord\uparrow\rangle+\dot\phi_\downarrow(t)|\mathord\downarrow\rangle\right)=
\phi_\uparrow(t)\left(|\mathord\uparrow\rangle\tilde H_{11}+
|\mathord\downarrow\rangle\tilde H_{21}
\right) +
\phi_\downarrow(t)\left(|\mathord\uparrow\rangle\tilde H_{12}+
|\mathord\downarrow\rangle\tilde H_{22}
\right)$$Und wenn du jetzt noch $\phi_\uparrow(t)$ und $\phi_\downarrow(t)$ zu dem Vektor$$\phi(t)=\begin{pmatrix}\phi_\uparrow(t)\\\phi_\downarrow(t)\end{pmatrix}$$zusammenfasst, hast du$$i\hbar\dot\phi(t)=\tilde H\phi(t)$$ und diese gekoppelte lineare DGL für zwei Funktionen kannst du leicht lösen.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 672
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-02


und damit kannst du für einen Zustand$$|\phi(t)\rangle=\phi_\uparrow(t)|\mathord\uparrow\rangle+\phi_\downarrow(t)|\mathord\downarrow\rangle$$die Wirkung von $H$ hinschreiben:$$H|\phi(t)\rangle=
\phi_\uparrow(t)\left(|\mathord\uparrow\rangle\tilde H_{11}+
|\mathord\downarrow\rangle\tilde H_{21}
\right) +
\phi_\downarrow(t)\left(|\mathord\uparrow\rangle\tilde H_{12}+
|\mathord\downarrow\rangle\tilde H_{22}
\right)$$

$>$ Jop, bis hierhin kann ich dir noch folgen.



Und das führt zu der Schödingergleichung:$$i\hbar
\dot\phi_\uparrow(t)|\mathord\uparrow\rangle+\dot\phi_\downarrow(t)|\mathord\downarrow\rangle=
\phi_\uparrow(t)\left(|\mathord\uparrow\rangle\tilde H_{11}+
|\mathord\downarrow\rangle\tilde H_{21}
\right) +
\phi_\downarrow(t)\left(|\mathord\uparrow\rangle\tilde H_{12}+
|\mathord\downarrow\rangle\tilde H_{22}
\right)$$

$>$ Aber wie genau? (By the way, ich glaube, dass auf der linken Seite Klammern fehlen, das $i\hbar$ bezieht sich vermutlich auf die gesamte Summe.)

Anyway, also wenn wir von $i\hbar \partial_t |\phi(t)\rangle = H|\phi(t)\rangle$ AUSGEHEN, dann bin ich bei dir, aber du kommst ja auf die von mir angegebene Gleichung, indem du $|\phi(t) \rangle := \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}$ setzt. (Deine Herangehensweise ergibt aber mehr Sinn, da bei mir erst einmal ungeklärt bleibt, was das $|\phi(t)\rangle$ sein soll.  


Die Schrödinger-Gleichung in der Basis der Spin-Zustände lösen wir dann, indem wir die Eigenwerte und Eigenvektoren von $H$ bestimmen, richtig (so hatten wir das in der Vorlesung)?


Gruß
Neymar

 







Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 1075
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-02


2019-02-02 21:49 - Neymar in Beitrag No. 4 schreibt:
(By the way, ich glaube, dass auf der linken Seite Klammern fehlen, das $i\hbar$ bezieht sich vermutlich auf die gesamte Summe.)

Ja klar, die fehlen. Ich werde sie gleich ergänzen.

2019-02-02 21:49 - Neymar in Beitrag No. 4 schreibt:
$|\phi(t) \rangle := \begin{pmatrix} ... \\ ... \end{pmatrix}$ setzt.

Du verwechselst $|\phi(t)\rangle$ (ein Vektor in irgendeinem "abstrakten" Hilbertraum) und $\phi(t)=\begin{pmatrix}\phi_\uparrow(t)\\\phi_\downarrow(t)\end{pmatrix}$ (ein Vektor im $\mathbb C^2$).

Dass für $|\phi(t)\rangle$ die Schrödingergleichung $i\hbar\partial_t|\phi(t)\rangle=H|\phi(t)\rangle$ mit einem Hamilton-Operator in dem abstrakten Hilbertraum gilt, wissen wir. Und daraus können wird dann durch die Einführung einer Basis die Gleichung $i\hbar\dot\phi(t)=\tilde H\phi(t)$ ableiten, worin eine $2\times 2$-Matrix $\tilde H$ auftaucht mit der man konkret rechnen kann.

2019-02-02 21:49 - Neymar in Beitrag No. 4 schreibt:
Die Schrödinger-Gleichung in der Basis der Spin-Zustände lösen wir dann, indem wir die Eigenwerte und Eigenvektoren von $H$ bestimmen, richtig (so hatten wir das in der Vorlesung)?

Das kannst du machen. Du kannst aber das DGL-System auch auf anderen Wegen lösen (z.B., indem du es in eine DGL zweiter Ordnung für eine der beiden Funktionen übersetzt).



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 03.01.2019
Mitteilungen: 672
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-03


Okay, dankeschön. :-)



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Neymar hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neymar hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neymar wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]