Die Mathe-Redaktion - 23.02.2019 04:25 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt1 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 511 Gäste und 7 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Kategorientheorie » k-lineare Kategorie über einer Kategorie C = C ist Darstellungskategorie über vect
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule k-lineare Kategorie über einer Kategorie C = C ist Darstellungskategorie über vect
Pauline124
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-11 18:06


Hey ihr :)

Ich habe eine Aufgabe von meinem Prof, zu der ich ein einige Fragen habe.
Er schreibt (auf englisch, ich habe es übersetzt):

"Zeige, die Struktur einer k-linearen Kategorie auf einer Kategorie $\mathcal{C}$ (Original: "k-linear category on a category $\mathcal{C}$) ist äquivalent dazu, dass $\mathcal{C}$ eine Darstellungskategorie (vgl. ncatlab.org/nlab/show/module+category) über $\mathrm{vect}$ ist.

Ich habe folgende Fragen dazu:

1) Was genau ist eine k-lineare Kategorie? Ich habe gefunden, dass es heißt, dass die Kategorie angereichert ist über vect. Aber das ist recht abstrakt, ich habe es jetzt so verstanden, dass für alle Objekte $X, Y \in \mathcal{C}$ $\mathrm{Hom}(X, Y)$ ein Vektorraum ist, ist das richtig? Gibt es mehr zu beachten?

2) Was meint er mit k-linear AUF EINER KATEGORIE $\mathcal{C}$? Das habe ich in keiner Definition bisher gefunden. Jemand eine Idee?

3) Er gibt mir als Hilfe folgendes: "Definiere $v.c$ wobei $v \in \mathrm{vect}, c \in \mathcal{C}$ als das Objekt welches den folgenden Funktor repräsentiert $v \otimes \mathrm{Hom}(-, c)$ (Warum ist dieser Funktor repräsentierbar?)"
Also ich schätze damit meint er, dass es ein $c'$ gibt, sodass ich schreiben kann $\mathrm{Hom}(-, c') = v \otimes \mathrm{Hom}(-, c)$ und dass ich das dann mit $c'$ identifiziere, also $v.c := c'$. Hab ich das soweit richtig verstanden?
Wenn ja, wie finde ich denn so ein c'?
Wie spielt da rein, dass $\mathcal{C}$ angereichert über $\mathrm{vect}$ ist?

4.) Bei der Rückrichtung bin ich leider völlig aufgeschmissen. Wie erhalte ich aus der Wirkung, einen Vektorraum $\mathrm{Hom}(X, Y)$?

Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße,
Pauline



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 608
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-12 01:23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\units}[1]{(\Zx{#1})^\times} \newcommand{\KX}{K[X]} \newcommand{\leg}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} \newcommand{\ANF}{K/\Q} \newcommand{\lineb}{\c{L}} \newcommand{\cyclm}{\Q(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\cyclmK}{K(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\clKX}{\overline{K}[X]} \newcommand{\LX}{L[X]} \newcommand{\gfib}[2]{#1_{\cl{#2}}} \newcommand{\OS}{\mathcal{O}_S} \newcommand{\bb}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\OY}{\mathcal{O}_Y} \newcommand{\glX}{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} \newcommand{\glY}{\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)} \newcommand{\finKX}{f\in K[X]} \newcommand{\ser}[1]{\sm{n=0}{\infty}{#1}} \newcommand{\sm}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum}} #3} \newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\sube}{\subseteq} \newcommand{\prou}{\text{ primitive }m \text{-th root of unity }} \newcommand{\hk}{\hookrightarrow} \newcommand{\OYy}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\supe}{\supseteq} \newcommand{\resy}{\kappa(y)} \newcommand{\LK}{L/K} \newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\kn}{k^n} \newcommand{\kvec}{\textbf{vect}(k)} \newcommand{\fkvec}{\textbf{vect}_{<\infty}(k)} \newcommand{\fz}{f(X)=0} \newcommand{\KIsom}{L\underset{K}{\overset{\sim}{\to}} L} \newcommand{\simple}{\text{Let }K'=K(\alpha)\text{ be a simple extension of  }K \text{ with minimal polynomial }\finKX} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \renewcommand{\S}{\mathbb{S}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}_q} \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p} \newcommand{\I}{[0,1]} \newcommand{\In}{[0,1]^n} \newcommand{\Fpn}{\mathbb{F}_{p^n}} \newcommand{\Fpm}{\mathbb{F}_{p^m}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}} \newcommand{\Zx}[1]{\mathbb{Z}/{#1\mathbb{Z}}} \newcommand{\md}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}} \newcommand{\ga}{Gal(L/K)} \newcommand{\aga}[1][k]{Gal(\overline{#1}/#1)} \newcommand{\gal}[2]{Gal(#1/{#2})} \newcommand{\c}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\lim}[1]{\underset{i\in I}{\varprojlim{#1_i}}} \newcommand{\prp}{\text{ proper }} \newcommand{\lnss}{\text{ locally noetherian Schemes}} \newcommand{\lns}{\text{ locally noetherian Scheme }} \newcommand{\ffe}{\text{ finite field extension }} \newcommand{\fge}{\text{ finite Galois extension }} \newcommand{\fne}{\text{ finite normal extension }} \newcommand{\fse}{\text{ finite separable extension }} \newcommand{\fure}{\text{ finite unramified extension }} \newcommand{\frae}{\text{ finite ramified extension }} \newcommand{\ure}{\text{ unramified extension }} \newcommand{\rae}{\text{ ramified extension }} \newcommand{\tarae}{\text{ tamely ramified extension }} \newcommand{\rain}{\text{ ramification index }} \newcommand{\indeg}{\text{ inertia index }} \newcommand{\SS}[2]{E_2^{p,q}=#1\Longrightarrow #2} \newcommand{\Co}[2]{H^p(#1,#2)} \newcommand{\qcqs}{\text{ quasi-compact quasi-separated }} \newcommand{\oft}{\text{ of finite type }} \newcommand{\loft}{\text{ locally of finite type }} \newcommand{\ofp}{\text{ of finite presentation }} \newcommand{\SqcOX}{\text{ Let }\mathcal{M}\text{ be a quasi-coherent} \mathcal{O}_X-\text{module}} \newcommand{\OX}{\mathcal{O}_X} \newcommand{\OC}{\mathcal{O}_C} \newcommand{\Ox}{\mathcal{O}_{X,x}} \newcommand{\OCx}{\mathcal{O}_{C,x}} \newcommand{\OYx}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\OK}{\mathcal{O}_K} \newcommand{\OL}{\mathcal{O}_L} \newcommand{\res}[1]{\kappa_#1} \newcommand{\resx}{\kappa(x)} \newcommand{\pln}{\text{Let } X\overset{f}{\to} Y \text{ be a proper morphism between locally noetherian schemes. }  } \newcommand{\mor}[5]{\text{ Let } #1\overset{#2}{\to} #3 \text{ be a }#4 \text{morphism of }#5} \newcommand{\let}[3]{\text{ Let } #1 \text{ be a } #2 \text{ of } #3} \newcommand{\sk}{\{\tau\}} \newcommand{\Te}{[T]} \newcommand{\Tee}{[T_1,T_2]} \newcommand{\Teee}{[T_1,T_2,T_3]} \newcommand{\Ten}{[T_1,\cdots,T_n]} \newcommand{\Tem}{[T_1,\cdots,T_m]} \newcommand{\pts}{\cdots} \newcommand{\pt}{\cdot} \newcommand{\hm}[3]{Hom_{#1}(#2,#3)} \newcommand{\hom}[2]{Hom(#1,#2)} \newcommand{\Is}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\oIs}[1]{\overset{#1}{\overset{\sim}{\to}}} \newcommand{\tx}[1]{\text{ #1 }} \newcommand{\sp}[1]{Spec(#1)} \newcommand{\prj}[1]{Proj(#1)} \newcommand{\wlog}{\text{ without losing generality }} \newcommand{\ffoc}{\text{ \text{Let } f\colon C\to S \text{ be a flat family of curves of genus } g}} \newcommand{\arr}[3]{#1\overset{#2}{\to} #3} \newcommand{\isom}[3]{#1\overset{#2}{\overset{\sim}{\to}}#3} \newcommand{\nrm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\letgal}{\text{ Let } \ga \text{ be a finite Galois-Extension of degree }[L\colon K]} \newcommand{\ext}[2]{#1/{#2}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\p}{\phi} \newcommand{\bul}{\bullet} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\lmb}{\lambda} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tms}{\times\pts\times} \newcommand{\ot}{\otimes} \newcommand{\ots}{\otimes\pts\otimes} \newcommand{\pls}{+\pts +} \newcommand{\kms}{,\pts,} \newcommand{\op}{\oplus} \newcommand{\ops}{\oplus\pts\oplus} \newcommand{\cr}{\circ} \newcommand{\crs}{\circ\pts\circ}\)
Hallo und herzlich Willkommen auf dem MP.

Ich lese die Definition einer \(k\)-linearen Kategorie zum ersten Mal, aber vielleicht können wir zusammen ja schon einmal ein paar Fragen klären, bis sich jemand meldet der etwas von dem Thema versteht.

Sei \(k\) ein Körper. (sollte auch für Ringe funktionieren, aber bleiben wir mal bei einem Körper.)

Was ist eine \(k\)-lineare Kategorie?

Def'n (\(k\)-lineare Kategorie)
Eine Kategorie \(\c{C}\) heisst \(k\)-linear, falls die hom-Mengen \(hom(c,c')\) alle \(k\)-Vektorraeume sind, und die Komposition
\(hom(c',c'')\times hom(c,c')\to hom(c,c'')\) \(k\)-bilinear ist.
(das ist aequivalent dazu, dass \(hom(c',c'')\otimes_k hom(c,c')\to hom(c,c'')\)\(k\)-linear ist.)

Insbesondere ist jede \(k\)-lineare Kategorie also additiv.
Dem besseren Verstaendnis zu liebe wuerde ich nach einem Beispiel fragen:

Was wäre denn ein Beispiel einer \(k\)-linearen Kategorie?
Sei \(\c{C}=vect_{<\infty}(k)\) die Kategorie der endlich dimensionalen \(k\)-Vektorraeume.
Dann ist \(\c{C}\) offenbar \(k\)-linear.

Was sollen wir zeigen?
Zu zeigen ist, dass es eine Bijektion gibt zwischen \(k\)-linearen Kategorien \(\c{C}\) und Kategorien \(\c{C}\) zusammen mit einem Bifunktor
\(\bullet\colon \textbf{vect}(k)\times \c{C}\to\c{C}\) welcher assoziativ und unital sein soll.

-Assoziativ soll bedeuten, dass es natuerliche isomorphismen
\(W\bullet(V\bullet c)\cong (W\otimes_k V)\bullet c\) geben soll, die natuerlich \(k\)-linear sein sollen(also die angereicherte Struktur respektieren sollen).

-Unital soll bedeuten, dass es natuerliche isomorphismen \(k\bullet V\cong V\) geben soll.

Wie definieren wir die \(vect(k)\)-Modulstruktur auf \(\c{C}\)?
Sei \(\c{C}\) \(k\)-linear und sei \(V\) ein \(k\)-Vektorraum und \(c\) ein Objekt in \(\c{C}\). Wir wollen eine Bi-Verknuepfung \(V\bullet c\) definieren.

Fuer eine beliebige Katgorie \(\c{C}\), zum Beispiel \(\c{C}=Top\) ist absolut nicht klar wie das funktionieren sollte. Jedoch wissen wir, dass \(\c{C}\) \(k\)-linear ist. Das bedeutet, dass die \(hom\)-sets \(k\)-Vektorraeume sind. Das Yoneda-Lemma besagt, dass wir das Objekt \(c\) mit dem Funktor \(hom(-,c)\colon \c{C}^{op}\to Sets\) identifizieren koennen, welcher ueber \(vect(k)\to Sets\) faktorisiert.
Wenn wir also \(c\) mit seinem \(hom\)- Funktor identifizieren, dann koennen wir das Tensorprodukt in \(vect(k)\) benutzen, um die Bi-Verknuepfung \(\bullet\) zu definieren.
Folglich setzen wir \(V\bullet c:=V\otimes_k hom(-,c)\).
Hier gibt es noch zwei Probleme:

Die Schreibweise \(v\otimes_k hom(-,c)\) macht erst Sinn, wenn wir wirklich ein Objekt \(\tilde{c}\) in den hom Funktor einsetzen, denn erst dann ist \(hom(\tilde{c},c)\) wirklich ein \(k\)-Vektorraum und erst dann ist das Tensorprodukt definiert.
Das bedeutet auf der Rechten Seite steht also ein Funktor \(\c{C}^{op}\to vect(k),\tilde{c}\mapsto V\otimes_k hom(\tilde{c},c)\).

Das ist das zweite Problem. Wir wollten eigentlich \(V\bullet c\in \c{C}\) und nicht nur \(V\bullet c\colon \c{C}^{op}\to vect(k)\).

Deshalb funktioniert das nur, wenn \(V\otimes_k hom(-,c)\) darstellbar ist, wie du schon richtig bemerkt hast.
Die naechste Frage ist also:

Warum ist \(V\otimes_k hom(-,c)\) darstellbar
Hierzu wuerde ich mir zuerst das obige konkrete Beispiel anschauen.
Vielleicht gibt es auch ein Darstellungskriterium das weiterhilft.
Vielleicht ist es auch offensichtlich, aber im Moment sehe ich es noch nicht.

Das sollte also die Vorgehensweise für die eine Richtung sein, aber soweit warst du wohl auch schon.

Hoffe es meldet sich jemand der weiterhelfen kann.

Grüße.


-----------------
"Jedes Gehirn kann Fragen beantworten. Es geht darum die richtigen Fragen zu finden."
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pauline124
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.02.2019
Mitteilungen: 8
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-12 09:10


Hallo,

Vielen Dank für deinen Willkommensgruß und für deine Antwort!
Teil 1 ist damit denke ich geklärt. Du hast Recht, das ist ungefähr das, was ich zu Teil 3) auch schon hatte, aber es ist trotzdem immer gut, das noch einmal ausführlich aufgeschrieben zu sehen.

Vielen Dank dafür!
Vielleicht meldet sich ja noch jemand, der ausführen kann, warum es dieses $c'$ gibt!

Lieben Gruß



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Pauline124 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]