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Mathematik » Geometrie » Volumen aus Querschnitten berechnen
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Kein bestimmter Bereich Volumen aus Querschnitten berechnen
zooplan
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.02.2019
Mitteilungen: 3
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-12 15:05


Ich habe einen unregelmäßigen Körper und möchte mich dessen Volumen annähern:
Bekannt ist der den Körper umschließenden Quader und zwei Querschnitte
die im 90° Winkel zueinander stehen.

Der umschließende Quader ist 18,4m x 14,8m x 13,5m.
Der erste Querschnitt nimmt 76,86% der Fläche 18,4m x 13,5m ein.

Der zweite Querschnitt nimmt 75,55% der Fläche 18,4m x 14,8m ein.

Wie läßt sich daraus das tatsächliche Volumen, genauer begrenzen, als es durch den umschließenden Quader gegeben ist?

Grundsätzlich stelle ich mir das analog zum Steinmetzkörper- Bizylinder
vor: hier
weiß aber nicht ob diese Berechnung nur für regelmäßige Körper möglich ist.


-----------------
best wishes bis bald ;-D



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viertel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.03.2003
Mitteilungen: 26659
Aus: Hessen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-12 16:33


Hi zooplan

Da der Querschnitt gar nichts darüber hergibt, wie es etwas abseits davon aussieht (z.B. 1mm parallel daneben), dürfte das ziemlich aussichtslos sein.

Du kannst allerdings versuchen, den Umriß der Querschnitte durch Ellipsen zu approximieren und dann das Ellipsoid zu berechnen. Das könnte dem vermuteten Körper einigermaßen nahe kommen – wenn er keine extremen Beulen oder Dellen abseits des Querschnitts hat.

Gruß vom ¼


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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5690
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-02-13 10:13


Wenn die Querschnitte repräsentativ für den gesamten Körper sind, würde ich das Volumen auf etwa zwei Drittel des umgebenden Quaders, also auf etwa 2400m³ schätzen.

Mein Ansatz dafür ist die Frage: Welches Volumen hätte ein kleinerer Quader, von dem ich weiß, dass sein Querschnitt in der einen Richtung 76,86% und in der anderen Richtung 75,55% des umgebenden Quaders beträgt.
Die Frage lässt sich nicht exakt beantworten, weil es verschieden große Quader gibt, die diese Eigenschaft haben
z.B. mit den relativen Kantenlängen
- (1.0000 0.7686 0.8930) ergibt 75.55% des Volumens
- (0.7686 1.0000 0.7555) ergibt 58.07% des Volumens
(das sind gerade die Extremfälle).
Einen "mittleren" Schätzwert für das Volumen dieses Quaders erhält man mit der Rechnung: <math>\displaystyle (0.7686\cdot 0.7555)^{3/4} = 0.6652</math>. Das entspricht dem Quader mit den relativen Kantenlängen
- (0.8805 0.8729 0.8655). Das ist der Quader, bei dem die relative Länge der von beiden Flächen gemeinsam benutzten Kante genau zwischen den anderen beiden relativen Längen liegt.

Sind die beiden Schnittflächen nicht "durchschnittliche" Schnittflächen, sondern diejenigen, bei denen der Schnitt maximal wird, würde ich, wie von Viertel angedacht einen Ansatz wählen, der das Volumen eines Elipsoides mit den angegebenen Schnittflächen bestimmt.
Mit diesem Ansatz kommt man auf einen Elipsoid, dessen Volumen etwa halb so groß ist wie der umgebende Quader, also ca. 1800m³.

Die Wahrheit liegt wohl irgendwo dazwischen.

PS: Mit dem Elipsoid-Ansatz kommt man immer auf einen Elipsoid mit etwa 75% (genau sind es <math>\displaystyle 4/(3\sqrt{\pi}}) = 0.75225\dots</math>) des Volumens des auf obige Weise berechneten Quaders.
0.75225... ist das Volumen einer Kugel mit einem Querschnitt (entlang eines Großkreises) von 1.




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zooplan
Neu Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.02.2019
Mitteilungen: 3
Aus: NRW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-17 12:42


1. Vielen Dank für Eure Antworten.
2. Die Querschnitte stellen die maximalen Schnittflächen
beziehungsweise die Silouetten dar. Darum muss nach meiner
Ansicht das Volumen des Körpers kleiner als 75,55% sein.

In meiner laienhaften Unvernuft hatte ich zunächst gedacht,
ich könnte mich dem tatsächlichen Volumen durch Multiplikation annähern.
0,7555*0,7686=0,5806
und dann gefunden, dass das Volumen eines Bizylinders nicht
0,7854*0,7854=0,6168 sondern 2/3 des umgebenden Würfels ist.
Da der falsch ermittelte Wert jedoch noch über dem eines Trizylinders
(58,58%) und der einer Kugel (52,36% des umgebenden Würfels)liegt, meine Nachfrage:
Ist das für alle näherungsweise ellisoide Körper im Verhältnis zum umgebenden Quader so?
Wobei ich den betrachteten Körper eher als "Ellipsoidenhaufen" oder "-konglomerat" beschreiben würde.



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Kitaktus
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Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-18 11:03


2019-02-17 12:42 - zooplan in Beitrag No. 3 schreibt:
Ist das für alle näherungsweise ellisoide Körper im Verhältnis zum umgebenden Quader so?
Was meinst Du mit "das"?

Wir haben eine Körper, von dem wir die Silhouetten von vorn, von recht und von oben kennen.
Nun nehmen wir einen (genügend großen) Quader und schneiden alles weg, was nicht zur Silhouette von vorn passt. Dann kippen wir den Quader und schneiden alles weg, was nicht zur Silhouette von rechts passt.
Dann kippen wir erneut und schneiden alles weg, was nicht zur Silhouette von oben passt. Was dann noch übrig bleibt, ist mindestens so groß wie der ursprüngliche Körper. "Das" ist immer so.
Das tatsächliche Volumen liegt also immer unterhalb des Volumens des Tri-Zylinders mit gleicher Silhouette.



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