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Elementare Zahlentheorie » Zahlen - Darstellbarkeit » 2-er-Potenzen als Summe dreier Quadrate
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Universität/Hochschule 2-er-Potenzen als Summe dreier Quadrate
WagW
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 57
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-15


Hallo zusammen,

kann man folgendermaßen zeigen, dass für

fed-Code einblenden

Beweis:
1.) Man sieht zunächst, dass k > 2 sein muss.
2.) Man nehme an, man könnte eine 2er Potenz durch drei Quadrate darstellen.
3.) Dann müssen a,b,c alle gerade sein oder zwei müssen ungerade sein (OBdA seien dies a und b)
4.)Falls alle gerade sind, dann teile ich die Gleichung fed-Code einblenden solange durch vier bis es nicht mehr geht.
5.) Dann wird k entweder Null sein oder auf der linken Seite von fed-Code einblenden steht eine ungerade Zahl und auf der rechten eine gerade. Beide Male erhalte ich also einen Widerspruch.
6.) Sind a und b ungerade und c gerade, so forme ich um und erhalte: fed-Code einblenden .
7.)Die rechte Seite ist immer durch 4 teilbar, da 2 und c gerade Zahlen sind.
8.) Wenn man jetzt für a und b ungerade Zahlen 2m+1 und 2n+1 einsetzt und ausmultipliziert, erhält man: 2(2(m²+n²+m+n)+1).
9.)Man sieht also das dieser Term, also die linke Seite der Gleichung niemals durch 4 teilbar ist. So habe ich erneut einen Widerspruch.

Daher kann man eine 2er Potenz nicht als Summe dreier Quadrate schreiben.

Stimmt das so?

viele Grüße

WagW




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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1053
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-15


Sieht gut aus. Bei 4) würde ich durch 4 teilen und nicht nur durch 2.



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WagW
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 57
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-16


Danke TomTom :)



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4562
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-16


Für mich sieht das nicht wirklich gut aus, sorry TomTom314, wenn ich da widerspreche. Das beginnt schon damit, dass offenbar stillschweigend davon ausgegangen wird, dass 0 keine natürliche Zahl ist, was man aber noch als persönliche Idiosynkrasie abtun kann. Dann wird der Beweis in sage und schreibe 9(!) Punkte unterteilt, was jetzt seine Übersichtlichkeit nicht gerade erhöht und womit ich persönlich ein weiteres Problem habe.

Ich würde ja das Ganze ebenfalls als indirekten Beweis aufbauen, aber etwas anders, soll heißen, wenn die Behauptung hier mit positiven ganzen Zahlen $k,a,b,c$ nicht stimmt, dann müsste es auch ein "kleinstes" Gegenbeispiel - gemessen an der Größe von $k$ - hier geben. In diesem können dann $a,b,c$ nicht alle gerade sein, da man sonst durch Division der Gleichung

$a^2+b^2+c^2=2^k$ (*)

durch 4 sofort ein kleineres Gegenbeispiel hätte. Betrachtet man nun diese Gleichung jedoch mod $4$, so kommt man, da jedenfalls $k>1$ sein muss, auf eine Kongruenz

$x+y+z\equiv 0 \mod 4$ mit $x,y,z\in \{0,1\}$

wobei hier

$x=a^2 \mod 4,\quad y=b^2 \mod 4,\quad z=c^2 \mod 4$

gesetzt wurde, welche aber offensichtlich nur die Lösung

$x=y=z=0$

besitzt, was bedeutet, dass alle Zahlen $a,b,c$ gerade sind, einen Fall, den wir oben schon ausgeschlossen hatten. Dieser Widerspruch zeigt, dass so ein Gegenbeispiel nicht existiert, also die Gleichung (*) keine Lösung in positiven ganzen Zahlen besitzt.



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.05.2017
Mitteilungen: 1053
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-16


Das sehe ich anders. Dass nun stillschweigend $a,b,c>0$ angenommen wird, ist - denke ich - durchaus üblich bei dieser Art von Gleichung, ggf. steht es im Originaltext.

Bei der Darstellung einer korrekten Lösung kommt es mir zunächst darauf an, dass 1) ich es verstehen kann und 2) dass ich davon ausgehen kann, dass WagW weiß von er redet. Beides ist hier für mich gegeben. Wie kleinteilig er die Lösung ausführt hängt vor allem daran, was WagW für nötig hält. Eine Lösung als Fließtext macht es auch nicht unbedingt verständlicher. Letztendlich verwendest Du im wesentlichen dieselben Argumente.



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4562
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-16


2019-02-16 15:05 - TomTom314 in Beitrag No. 4 schreibt:
Das sehe ich anders. Dass nun stillschweigend $a,b,c>0$ angenommen wird, ist - denke ich - durchaus üblich bei dieser Art von Gleichung, ggf. steht es im Originaltext.

Ich ging jetzt eher davon aus, dass für den Aufgabenersteller die natürlichen Zahlen erst bei 1 beginnen, wie dies in meiner Studentenzeit noch durchausaus üblich war, was aber in der Zwischenzeit zu einem Anachronismus geworden ist, was ich sehr begrüße.

Bei der Darstellung einer korrekten Lösung kommt es mir zunächst darauf an, dass 1) ich es verstehen kann und 2) dass ich davon ausgehen kann, dass WagW weiß von er redet. Beides ist hier für mich gegeben. Wie kleinteilig er die Lösung ausführt hängt vor allem daran, was WagW für nötig hält. Eine Lösung als Fließtext macht es auch nicht unbedingt verständlicher. Letztendlich verwendest Du im wesentlichen dieselben Argumente.

Ja, die Lösung ist ja auch soweit in Ordnung, da widerspreche ich nicht. Mir persönlich und ich denke nicht, dass ich jetzt damit allein bin, ging es mehr darum, dass man den Kernpunkt der Argumentation - hier, dass dass die Summe von drei Zahlen, die 0 oder 1 sind, nur dann durch 4 teilbar ist, wenn alle 0 sind - besser herausarbeitet. Es ist normalerweise ein typischer Anfängerfehler, zu glauben, dass "Fließtext", wie du ihn nennst, unmathematisch ist bzw. die Aufteilung in viele Einzelpunkte das Ganze lesbarer machen. In meinen Augen trifft das genaue Gegenteil zu. Aber, wie man so schön sagt, de gustibus non est disputandum, der TS hat ja jetzt zwei Meinungen dazu und kann sich die ausssuchen, welche ihm mehr genehm ist.  cool



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Kornkreis
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Dabei seit: 02.01.2012
Mitteilungen: 662
Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-02-16


Ich habe mir aufgrund der überzeugenden Argumente hier (vorgestellt in diesem Thread Link"a 21st century proof of the sandwich theorem" ) ja vorgenommen, meine Beweise ein bisschen trockener zu schreiben, aber dafür mehr zu strukturieren, um die Referenzierbarkeit zu erhöhen. In diesem Punkt finde ich die Darstellung des Threaderstellers ganz gut, auch wenn sie zugegegebenermaßen prägnanter hätte sein können. Das Betrachten eines kleinsten Gegenbeispiels und die Formulierung mit Kongruenzen, wie du es gemacht hast weird, bringt natürlich eine angenehme Vereinfachung mit sich.



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Kitaktus
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Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5727
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-02-18


Ich finde den Beweis lückenhaft. Nicht aus Gründen der Darstellungsform, sondern aus inhaltlichen Gründen.

Für den ganzen Satz ist essentiell wichtig, dass man nur positive Werte für a, b und c zulässt. Das gehört zwingend mit in die Aufgabe.
Auch wenn man selbst die $0$ nicht zu $\IN$ zählt, muss man sich doch im Klaren sein, dass viele andere (die meisten?) das so machen.

In 5) heißt es: "Dann wird k entweder Null sein oder auf der linken Seite ... steht eine ungerade Zahl und auf der rechten eine gerade."
NEIN! Wir sind von der Gleichheit beider Seiten ausgegangen. Nach der Division beider Seiten durch eine von 0 verschiedene Zahl sind die beiden Seiten immer noch gleich. Wie kann da die Parität unterschiedlich sein?
Richtig wäre: Entweder ist k=0, oder links steht eine gerade Zahl und rechts auch, aber von den drei Summanden auf der rechten Seite sind zwei ungerade. Ein Widerspruch hat sich bis jetzt noch nicht ergeben.
Sinnvoll wäre ein Verweis auf 6)

In 7) fehlt ein Verweis auf k>1.



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weird
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Mitteilungen: 4562
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-02-18


@Kornkreis

Ja, bessere "Referenzierbarkeit", auch in Hinblick auf potenzielle Fehler, wäre natürlich schon ein Punkt, der oft für eine klare Strukturierung spricht, da geb ich dir Recht. Auch bei der Beschreibung von Algorithmen, wie z.B. in den Büchern von D. Knuth, ist eine Aufteilung in viele Einzelpunkte sehr angebracht, da man ja sie oft möglichst 1 zu 1 dann auch in ein Programm übersetzen möchte. Bei einem Beweis - speziell einem noch recht einfachen wie hier - birgt dies halt immer auch die Gefahr in sich, dass dabei die Übersicht über das Ganze verloren geht. Es bleibt sozusagen dem Leser überlassen, für ihn selbst herauszufinden, welcher der Punkte nun wirklich wichtig war und was sozusagen die "Essenz" des Beweises ist. Tatsächlich bin ich mir gar nicht sicher, ob der TS selbst sich diese Fragen überhaupt gestellt, geschweige denn für sich beantwortet hat.

@Kitaktus

Ich bin froh, dass sich hier noch jemand die Mühe gemacht hat, den Beweis im Startposting auch noch inhaltlich genau durchzusehen und auf die von dir erwähnten Schwachpunkte hinzuweisen. Ich selbst hatte ihn ja nur überflogen, muss dir aber in allen Punkten Recht geben.

Wie man also an diesem Beispiel hier sehr schön auch sieht, ist selbst eine "Aufdröselung" eines Beweises in viele kleine und dann leicht überprüfbare Einzelpunkte noch keine Garantie dafür, dass wirklich alles in Ordnung ist bzw. auch nichts übersehen wurde. Da dies andererseits der Übersichtlichkeit des Beweises und auch der Herausarbeitung der Beweisidee nicht gerade zuträglich ist (s.o.), kann man sich hier dann schon fragen, welchem Zweck das eigentlich dienen soll.  cool



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WagW
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-23


Danke Kitaktus, dass Du nochmal drüber geschaut hattest.

Ich habe das noch mal korrigiert:

1.) Man sieht zunächst, dass k > 2 sein muss.
2.) Man nehme an, man könnte eine 2er Potenz durch drei Quadrate darstellen.
3.) Dann müssen a,b,c alle gerade sein oder zwei müssen ungerade sein.
4.) Falls zwei Zahlen ungerade sind, so verfährt man ab 6.) weiter, sind alle gerade, dann teile ich die Gleichung fed-Code einblenden solange durch vier bis es nicht mehr geht.
5.) Jetzt unterscheide ich zwei Fälle, entweder ist k=0 oder k>1
6.) Für k=0 erhalte ich nun die Gleichung fed-Code einblenden und diese kann niemals erfüllt werden, da fed-Code einblenden gilt. Ich habe also einen Widerspruch. Für k=1 erhalte ich ebenfalls einen Widerspruch, da ja fed-Code einblenden
6.) Für k>1 müssen zwei Summanden der linken Seite ungerade sein und einer gerade. Seien fed-Code einblenden und fed-Code einblenden ungerade. Ich forme um und erhalte: fed-Code einblenden .
7.) Die rechte Seite ist immer durch 4 teilbar, da 2 und fed-Code einblenden gerade Zahlen sind und k\(\geq\)2.
8.) Wenn man jetzt für fed-Code einblenden und fed-Code einblenden ungerade Zahlen 2m+1 und 2n+1 einsetzt und ausmultipliziert, erhält man: 2(2(m²+n²+m+n)+1).
9.) Man sieht also, dass dieser Term, also die linke Seite der Gleichung, niemals durch 4 teilbar ist. So habe ich erneut einen Widerspruch.

Passt das dann so?

Was wäre denn für euch die Essenz dieses Beweises bzw. dieser Aufgabe? Ich habe das jetzt für mich gedanklich einfach nur unter Widerspruch bezüglich 2-er Potenzen und Quadratzahlen in Restklassen von fed-Code einblenden abgespeichert.

Und was die Unterteilung in die Einzelschritte angeht, das mache ich hauptsächlich wegen der besseren Referenzierung. Außerdem hat man uns für die Klausuren empfohlen, dass man es besser kleinschrittig unterteilen soll wenn man sich unsicher ist, um dann ggf noch Teilpunkte zu bekommen.

viele Grüße
WagW



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Mitteilungen: 5727
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-02-25 19:12


Der Fall k=1 wird nicht erfasst. Den könnte man im ersten "6." mit abarbeiten.
In 7. muss es $k\geq 2$ heißen.

Der Kern des Beweises ist die Tatsache, dass Quadrate mod 4 nur die Reste 0 oder 1 lassen. Wenn die Summe aus drei Quadraten durch 4 teilbar ist, müssen alle Quadrate durch vier teilbar sein.

Wenn es eine Lösung gäbe, bei der alle Quadrate von 0 verschieden sind, dann müsste die kleinste solche Lösung zwei ungerade Quadrate enthalten. Da man ansonsten den Faktor 4 herausteilen könnte.

Diese beiden Punkte stehen im Widerspruch zueinander.



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