Die Mathe-Redaktion - 27.01.2020 18:56 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktZur Award-Gala
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 717 Gäste und 16 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Integration » Riemannsche Summen » Mittelwert einer Funktion
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Mittelwert einer Funktion
mhipp
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 254
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-02-19


Hi,

Ich beschäftige mich gerade mit dem im Titel der Frage genannten Thema und habe darüber folgenden Artikel geschrieben, komme aber mit dem Beweis von Lemma 1 nicht weiter, kann mir jemand helfen?


Artikel



Lg
mhipp



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1192
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-02-19

\(\begingroup\)\( \newcommand{\units}[1]{(\Zx{#1})^\times} \newcommand{\KX}{K[X]} \newcommand{\ANF}{K/\Q} \newcommand{\lineb}{\c{L}} \newcommand{\cyclm}{\Q(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\cyclmK}{K(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\clKX}{\overline{K}[X]} \newcommand{\LX}{L[X]} \newcommand{\gfib}[2]{#1_{\cl{#2}}} \newcommand{\OS}{\mathcal{O}_S} \newcommand{\bb}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\OY}{\mathcal{O}_Y} \newcommand{\glX}{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} \newcommand{\glY}{\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)} \newcommand{\finKX}{f\in K[X]} \newcommand{\ser}[1]{\sm{n=0}{\infty}{#1}} \newcommand{\sm}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum}} #3} \newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\sube}{\subseteq} \newcommand{\prou}{\text{ primitive }m \text{-th root of unity }} \newcommand{\hk}{\hookrightarrow} \newcommand{\OYy}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\supe}{\supseteq} \newcommand{\resy}{\kappa(y)} \newcommand{\LK}{L/K} \newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\kn}{k^n} \newcommand{\kvec}{\textbf{vect}(k)} \newcommand{\fkvec}{\textbf{vect}_{<\infty}(k)} \newcommand{\fz}{f(X)=0} \newcommand{\KIsom}{L\underset{K}{\overset{\sim}{\to}} L} \newcommand{\simple}{\text{Let }K'=K(\alpha)\text{ be a simple extension of  }K \text{ with minimal polynomial }\finKX} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \renewcommand{\S}{\mathbb{S}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}_q} \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p} \newcommand{\I}{[0,1]} \newcommand{\In}{[0,1]^n} \newcommand{\Fpn}{\mathbb{F}_{p^n}} \newcommand{\Fpm}{\mathbb{F}_{p^m}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}} \newcommand{\Zx}[1]{\mathbb{Z}/{#1\mathbb{Z}}} \newcommand{\md}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}} \newcommand{\ga}{Gal(L/K)} \newcommand{\aga}[1][k]{Gal(\overline{#1}/#1)} \newcommand{\gal}[2]{Gal(#1/{#2})} \newcommand{\c}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\lim}[1]{\underset{i\in I}{\varprojlim{#1_i}}} \newcommand{\prp}{\text{ proper }} \newcommand{\lnss}{\text{ locally noetherian Schemes}} \newcommand{\lns}{\text{ locally noetherian Scheme }} \newcommand{\ffe}{\text{ finite field extension }} \newcommand{\fge}{\text{ finite Galois extension }} \newcommand{\fne}{\text{ finite normal extension }} \newcommand{\fse}{\text{ finite separable extension }} \newcommand{\fure}{\text{ finite unramified extension }} \newcommand{\frae}{\text{ finite ramified extension }} \newcommand{\ure}{\text{ unramified extension }} \newcommand{\rae}{\text{ ramified extension }} \newcommand{\tarae}{\text{ tamely ramified extension }} \newcommand{\rain}{\text{ ramification index }} \newcommand{\indeg}{\text{ inertia index }} \newcommand{\SS}[2]{E_2^{p,q}=#1\Longrightarrow #2} \newcommand{\Co}[2]{H^p(#1,#2)} \newcommand{\qcqs}{\text{ quasi-compact quasi-separated }} \newcommand{\oft}{\text{ of finite type }} \newcommand{\loft}{\text{ locally of finite type }} \newcommand{\ofp}{\text{ of finite presentation }} \newcommand{\SqcOX}{\text{ Let }\mathcal{M}\text{ be a quasi-coherent} \mathcal{O}_X-\text{module}} \newcommand{\OX}{\mathcal{O}_X} \newcommand{\OC}{\mathcal{O}_C} \newcommand{\Ox}{\mathcal{O}_{X,x}} \newcommand{\OCx}{\mathcal{O}_{C,x}} \newcommand{\OYx}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\OK}{\mathcal{O}_K} \newcommand{\OL}{\mathcal{O}_L} \newcommand{\res}[1]{\kappa_#1} \newcommand{\resx}{\kappa(x)} \newcommand{\pln}{\text{Let } X\overset{f}{\to} Y \text{ be a proper morphism between locally noetherian schemes. }  } \newcommand{\mor}[5]{\text{ Let } #1\overset{#2}{\to} #3 \text{ be a }#4 \text{morphism of }#5} \newcommand{\let}[3]{\text{ Let } #1 \text{ be a } #2 \text{ of } #3} \newcommand{\sk}{\{\tau\}} \newcommand{\Te}{[T]} \newcommand{\Tee}{[T_1,T_2]} \newcommand{\Teee}{[T_1,T_2,T_3]} \newcommand{\Ten}{[T_1,\cdots,T_n]} \newcommand{\Tem}{[T_1,\cdots,T_m]} \newcommand{\pts}{\cdots} \newcommand{\pt}{\cdot} \newcommand{\hm}[3]{Hom_{#1}(#2,#3)} \newcommand{\hom}[2]{Hom(#1,#2)} \newcommand{\Is}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\oIs}[1]{\overset{#1}{\overset{\sim}{\to}}} \newcommand{\tx}[1]{\text{ #1 }} \newcommand{\sp}[1]{Spec(#1)} \newcommand{\prj}[1]{Proj(#1)} \newcommand{\wlog}{\text{ without losing generality }} \newcommand{\ffoc}{\text{ \text{Let } f\colon C\to S \text{ be a flat family of curves of genus } g}} \newcommand{\arr}[3]{#1\overset{#2}{\to} #3} \newcommand{\isom}[3]{#1\overset{#2}{\overset{\sim}{\to}}#3} \newcommand{\nrm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\letgal}{\text{ Let } \ga \text{ be a finite Galois-Extension of degree }[L\colon K]} \newcommand{\ext}[2]{#1/{#2}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\p}{\phi} \newcommand{\bul}{\bullet} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\lmb}{\lambda} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tms}{\times\pts\times} \newcommand{\ot}{\otimes} \newcommand{\ots}{\otimes\pts\otimes} \newcommand{\pls}{+\pts +} \newcommand{\kms}{,\pts,} \newcommand{\op}{\oplus} \newcommand{\ops}{\oplus\pts\oplus} \newcommand{\cr}{\circ} \newcommand{\crs}{\circ\pts\circ}\)
Hi mhipp.

Def'n 1 lässt die Frage offen was überhaupt der "durchschnittliche Wert der Funktion" ist. Normalerweise definiert man den Durschnittswert einer stetigen Funktion \(f\) auf dem Intervall \([a,b]\) gerade durch die rechte Seite von Satz 3.

Nehmen wir also einmal an du definierst den Mittelwert über die Formel welche du angegeben hast. Beachte, dass \((b-a)D_n\) wie du es definiert hast eine Riemann-Summe ist und folglich ist der Grenzwert \((b-a)D\) gleich dem Integral. Das folgt direkt aus der Definition des Riemann Integrals, da dessen Wert nicht von der Wahl der Partitionen abhängt.

Das bedeutet, dass es nichts zu beweisen gibt.

Liebe Grüße

PS: Warum schreibst du beim Beweis "trivial" wenn du ihn gar nicht kennst?
Es gibt dennoch eine beweisbare Aussage die als Mittelwertsatz der Integralrechnung bekannt ist, nämlich die Aussage, dass es ein \(\xi\in (a,b)\) gibt, sodass \(f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) dx\) gilt.
Ein Beweis steht auf Wikipedia.


-----------------
”己所不欲,勿施于人“(Konfuzius)
PS: Falls ich plötzlich aufhöre in einem Thread zu antworten, dann kann es sein, dass ich es vergessen habe. Ihr könnt mir in diesem Fall eine Private Nachricht schicken.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mhipp
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 254
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-02-20


Hi,

mit Mittelwert meine ich den Wert, den man erhalten würde, wenn man den Durschschnitt aller Funktionswertd im Bereich [a;b] nehmen würde (geht ja so nicht, weil es unendlich viele gibt). Das wird ja, wie du sagst, durch Satz 2 definiert.

Das ,,trivial" war einfach nur als Platzhalter für den Beweis gedacht, sorry, falls das verwirrend war/ist.

Aber habe ich deinen Satz ,,Das bedeutet, dass es nichts zu beweisen gibt." richtig verstanden, dass ich das trivial da stehen lassen kann, weil es nichts zu beweisen gibt, also wirklich praktisch trivial ist? Oder soll ich einen Beweis mithilfe der Definition des Riemann-Integrals machen?


Danke schonmal
mhipp



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
xiao_shi_tou_
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.08.2014
Mitteilungen: 1192
Aus: Bonn
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-02-20

\(\begingroup\)\( \newcommand{\units}[1]{(\Zx{#1})^\times} \newcommand{\KX}{K[X]} \newcommand{\ANF}{K/\Q} \newcommand{\lineb}{\c{L}} \newcommand{\cyclm}{\Q(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\cyclmK}{K(\sqrt[m]{1})} \newcommand{\clKX}{\overline{K}[X]} \newcommand{\LX}{L[X]} \newcommand{\gfib}[2]{#1_{\cl{#2}}} \newcommand{\OS}{\mathcal{O}_S} \newcommand{\bb}[1]{\textbf{#1}} \newcommand{\OY}{\mathcal{O}_Y} \newcommand{\glX}{\Gamma(X,\mathcal{O}_X)} \newcommand{\glY}{\Gamma(Y,\mathcal{O}_Y)} \newcommand{\finKX}{f\in K[X]} \newcommand{\ser}[1]{\sm{n=0}{\infty}{#1}} \newcommand{\sm}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum}} #3} \newcommand{\cl}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\sube}{\subseteq} \newcommand{\prou}{\text{ primitive }m \text{-th root of unity }} \newcommand{\hk}{\hookrightarrow} \newcommand{\OYy}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\supe}{\supseteq} \newcommand{\resy}{\kappa(y)} \newcommand{\LK}{L/K} \newcommand{\iso}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\kn}{k^n} \newcommand{\kvec}{\textbf{vect}(k)} \newcommand{\fkvec}{\textbf{vect}_{<\infty}(k)} \newcommand{\fz}{f(X)=0} \newcommand{\KIsom}{L\underset{K}{\overset{\sim}{\to}} L} \newcommand{\simple}{\text{Let }K'=K(\alpha)\text{ be a simple extension of  }K \text{ with minimal polynomial }\finKX} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \renewcommand{\S}{\mathbb{S}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\P}{\mathbb{P}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Zp}{\mathbb{Z}_p} \newcommand{\Qp}{\mathbb{Q}_p} \newcommand{\Qq}{\mathbb{Q}_q} \newcommand{\Fp}{\mathbb{F}_p} \newcommand{\I}{[0,1]} \newcommand{\In}{[0,1]^n} \newcommand{\Fpn}{\mathbb{F}_{p^n}} \newcommand{\Fpm}{\mathbb{F}_{p^m}} \newcommand{\Zn}{\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}} \newcommand{\Zx}[1]{\mathbb{Z}/{#1\mathbb{Z}}} \newcommand{\md}[3]{#1\equiv #2\pmod{#3}} \newcommand{\ga}{Gal(L/K)} \newcommand{\aga}[1][k]{Gal(\overline{#1}/#1)} \newcommand{\gal}[2]{Gal(#1/{#2})} \newcommand{\c}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\lim}[1]{\underset{i\in I}{\varprojlim{#1_i}}} \newcommand{\prp}{\text{ proper }} \newcommand{\lnss}{\text{ locally noetherian Schemes}} \newcommand{\lns}{\text{ locally noetherian Scheme }} \newcommand{\ffe}{\text{ finite field extension }} \newcommand{\fge}{\text{ finite Galois extension }} \newcommand{\fne}{\text{ finite normal extension }} \newcommand{\fse}{\text{ finite separable extension }} \newcommand{\fure}{\text{ finite unramified extension }} \newcommand{\frae}{\text{ finite ramified extension }} \newcommand{\ure}{\text{ unramified extension }} \newcommand{\rae}{\text{ ramified extension }} \newcommand{\tarae}{\text{ tamely ramified extension }} \newcommand{\rain}{\text{ ramification index }} \newcommand{\indeg}{\text{ inertia index }} \newcommand{\SS}[2]{E_2^{p,q}=#1\Longrightarrow #2} \newcommand{\Co}[2]{H^p(#1,#2)} \newcommand{\qcqs}{\text{ quasi-compact quasi-separated }} \newcommand{\oft}{\text{ of finite type }} \newcommand{\loft}{\text{ locally of finite type }} \newcommand{\ofp}{\text{ of finite presentation }} \newcommand{\SqcOX}{\text{ Let }\mathcal{M}\text{ be a quasi-coherent} \mathcal{O}_X-\text{module}} \newcommand{\OX}{\mathcal{O}_X} \newcommand{\OC}{\mathcal{O}_C} \newcommand{\Ox}{\mathcal{O}_{X,x}} \newcommand{\OCx}{\mathcal{O}_{C,x}} \newcommand{\OYx}{\mathcal{O}_{Y,y}} \newcommand{\OK}{\mathcal{O}_K} \newcommand{\OL}{\mathcal{O}_L} \newcommand{\res}[1]{\kappa_#1} \newcommand{\resx}{\kappa(x)} \newcommand{\pln}{\text{Let } X\overset{f}{\to} Y \text{ be a proper morphism between locally noetherian schemes. }  } \newcommand{\mor}[5]{\text{ Let } #1\overset{#2}{\to} #3 \text{ be a }#4 \text{morphism of }#5} \newcommand{\let}[3]{\text{ Let } #1 \text{ be a } #2 \text{ of } #3} \newcommand{\sk}{\{\tau\}} \newcommand{\Te}{[T]} \newcommand{\Tee}{[T_1,T_2]} \newcommand{\Teee}{[T_1,T_2,T_3]} \newcommand{\Ten}{[T_1,\cdots,T_n]} \newcommand{\Tem}{[T_1,\cdots,T_m]} \newcommand{\pts}{\cdots} \newcommand{\pt}{\cdot} \newcommand{\hm}[3]{Hom_{#1}(#2,#3)} \newcommand{\hom}[2]{Hom(#1,#2)} \newcommand{\Is}{\overset{\sim}{\to}} \newcommand{\oIs}[1]{\overset{#1}{\overset{\sim}{\to}}} \newcommand{\tx}[1]{\text{ #1 }} \newcommand{\sp}[1]{Spec(#1)} \newcommand{\prj}[1]{Proj(#1)} \newcommand{\wlog}{\text{ without losing generality }} \newcommand{\ffoc}{\text{ \text{Let } f\colon C\to S \text{ be a flat family of curves of genus } g}} \newcommand{\arr}[3]{#1\overset{#2}{\to} #3} \newcommand{\isom}[3]{#1\overset{#2}{\overset{\sim}{\to}}#3} \newcommand{\nrm}[1]{\left\|#1\right\|} \newcommand{\letgal}{\text{ Let } \ga \text{ be a finite Galois-Extension of degree }[L\colon K]} \newcommand{\ext}[2]{#1/{#2}} \newcommand{\a}{\alpha} \newcommand{\be}{\beta} \newcommand{\g}{\gamma} \newcommand{\de}{\delta} \newcommand{\vp}{\varphi} \newcommand{\p}{\phi} \newcommand{\bul}{\bullet} \newcommand{\t}{\tau} \newcommand{\s}{\sigma} \newcommand{\ze}{\zeta} \newcommand{\lmb}{\lambda} \newcommand{\tm}{\times} \newcommand{\tms}{\times\pts\times} \newcommand{\ot}{\otimes} \newcommand{\ots}{\otimes\pts\otimes} \newcommand{\pls}{+\pts +} \newcommand{\kms}{,\pts,} \newcommand{\op}{\oplus} \newcommand{\ops}{\oplus\pts\oplus} \newcommand{\cr}{\circ} \newcommand{\crs}{\circ\pts\circ}\)
Wie gesagt hast du \(D(f,a,b)\) nicht definiert.
Deshalb fasse ich Satz \(2\) als eine Definition auf. Der Beweis von Satz \(2\) ist kein Beweis, sondern nur eine anschauliche Begründung warum die Definition \(D=lim_n D_n\) "sinnvoll" ist.

Lemma 1 ist die Definition des Riemann Integrals, also gibt es hier auch nichts zu beweisen, wobei es darauf ankommt wie ihr das Riemann-Integral definiert habt.

Wenn ich sage, dass es nichts zu beweisen gibt, dann meine ich nicht, dass der Beweis trivial ist, sondern, dass es nichts zu beweisen gibt, also dass es sich nicht um eine beweisbare Aussage handelt, sondern vielmehr um eine Definition.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1647
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-02-20


Hey mhipp,

für welche Community ist denn dieser Artikel gedacht?

Du sagst es ja selbst: bei unendlich vielen Funktionswerten ist a priori gar nicht klar, was der Durchschnittswert eigentlich sein soll. Daher muss dieser definiert werden und die Definition dafür steht gerade in Satz 2 (bzw. Satz 3), wie xiao schon sagte.

Vielmehr könntest du durchaus einen Artikel schreiben und motivieren, wieso man den Mittelwert einer integrierbaren Funktion auf einem Intervall \([a,b]\) gerade durch die Formel in Satz 3 definiert.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
doglover
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 20.02.2015
Mitteilungen: 324
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-02-20


Hallo an alle,

ich würde gerne noch etwas ergänzen.

@mhipp du solltest bei Teil 1 noch \([a,b] \subseteq K\) fordern, da sonst alles, was du danach machst, nicht so viel Sinn ergibt.

Du definierst den Durchschnitt einer Funktion \(f\) als \(D(a,b,f):=\lim_{n\rightarrow \infty}D_n(a,b,f)\). An der Stelle stellt sich schon die Frage, ob das ganze wohldefiniert ist, also ob der Limes, den du auf der rechten Seite schreibst, überhaupt existiert. Da du keinerlei Voraussetzungen an \(f\) stellst, ist das im Allgemeinen gar nicht der Fall. Wenn man zusätzlich fordert das \(f\) Riemann integrierbar ist, dann existiert der Grenzwert und stimmt mit der gängigen Definition überein, wie bereits gesagt wurde. Bei deiner anschaulichen Begründung der Definition hast du wahrscheinlich an stetige Funktionen gedacht. Wenn das der Funktionentyp ist, den du im Speziellen betrachten möchtest, müsstest du beweisen, dass jede stetige Funktion Riemann integrierbar ist, damit Lemma 1 folgt.

Viele Grüße

doglover



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
mhipp hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]