Die Mathe-Redaktion - 25.03.2019 07:17 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAnmeldung MPCT Sept.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 248 Gäste und 9 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Gruppen » Faktorgruppe Q/Z - Nur eine Untergruppe der Ordnung n
Druckversion
Druckversion
Autor
Universität/Hochschule J Faktorgruppe Q/Z - Nur eine Untergruppe der Ordnung n
Ralip
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-13 12:19


Hi,
folgende Aufgabe:
(Z = ganze Zahlen, Q = rationale Zahlen)

Man betrachte Z als additive Untergruppe von Q und zeige:
(i) Jedes Element von Q/Z ist von endlicher Ordnung.
(ii) Für jedes n Element von N ohne {0} besitzt Q/Z genau eine Untergruppe der Ordnung n, und diese ist zyklisch.

(i) habe ich bereits gezeigt und den Teil, dass jede Untergruppe von Q/Z zyklisch ist von (ii) auch [in (ii) ist von endlichen Untergruppen die Rede, mein Beweis zeigt es für alle Untergruppe - macht mich ein wenig unsicher].
Für den Teil von (ii), in welchem die Eindeutigkeit einer jeden endlichen Untergruppe gezeigt werden soll, habe ich bereits viel probiert, aber bin nie zu etwas Sinnvollem gekommen.

Nun bin ich gerade zu einem Beweis zur Eindeutig bis auf Isomorphie gekommen, eig. ein ganz leichter. Aber ist in der Aufgabe nun Eindeutigkeit bis auf Isomorphie gefordert oder "wirkliche" Eindeutigkeit?

Mein Beweis/bzw. -versuch:
Seien H und H' Untergruppen von Q/Z mit ord(H) = ord(H') = n Element von IN.
Wie wir bereits wissen sind H und H' also zyklisch und somit isomorph zu entsprechenden Z/mZ (Sei H ~= Z/hZ und H' ~= Z/h'Z). Somit muss die Ordnung von von Z/hZ auch gleich n sein und die von Z/h'Z ebenso. Also h = n = h', denn ord(Z/mZ) = m.
Das heißt man erhält die Isomorphiekette H ~= Z/nZ ~= H' und da die Isomorphierelation transitiv ist auch H ~= H'.

Das war aber wirklich kein Meisterwerk, das scheint ein Indiz für mich zu sein, dass die Aufgabe nicht auf Eindeutigkeit bis auf Isomorphie abzielt sondern "wirkliche" Eindeutigkeit.

Wie ist die Aufgabe also gemeint?



Vielen Dank!
Ralip



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-13 13:10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
Hallo Ralip,

es wird nach echter Eindeutigkeit gefragt, denn alle zyklischen Gruppen gleicher Ordnung sind immer isomorph zueinander. Die Forderung wäre also wirklich trivial. Vielleicht hilft es, wenn du dir nochmal verdeutlichst, wie man auf diesem Ring rechnen kann. Es gilt ja

\[\bar r+\bar s:=\overline{r+s},\]
insbesondere heißt das, dass

\[\sum_{i=1}^n \bar r=\overline{\sum_{i=1}^n r}=\overline{nr}\]
Wenn du nun die zyklischen Untergruppen der Ordnung $n$ suchst, musst du alle $\bar r\in\Q\backslash\Z$ finden, sodass $\overline{nr}=\overline 0$ ist, sprich: Alle $r\in\Q$, sodass $nr\in\Z$. Da wir für jedes $r\in\Q$ eine maximal gekürzte Darstellung als Bruch finden ($r=\frac{p}{q}$), müssen wir also alle teilerfremden $p,q\in\Z$ finden, sodass $\frac{np}{q}\in\Z$ und sodass kein $m<n$ existiert, mit dem $\frac{mp}{q}\in\Z$.

Von hier aus solltest du weiterrechnen können: Zeige, dass für jedes $n$ nur ein $q$ diese Bedingung erfüllt, und anschließend, dass für jedes $p<q$, das $q$ nicht teilt, $\overline{\frac{p}{q}}$ die selbe Gruppe erzeugt. Das funktioniert sehr ähnlich dazu, wie man die erzeugenden Elemente von $\Z\backslash n\Z$ findet.

(Bemerkung: warum reicht es hier $p<q$ zu betrachten?)
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ralip
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15 08:04


Hey Vercassivelaunos,
vielen großen Dank für deine Antwort!

Mein Ansatz ging in eine ähnliche Richtung.
Er war folgendermaßen:
Sei also ord <a/b + IZ> = n = ord <c/d + IZ>. <=> n*a/b + IZ = IZ = n*c/d + IZ. Also (n*(a-c))/d Element von IZ.

Dann habe ich beide auf den gleichen Nenner gebracht und wollte zeigen, dass die gleiche Gruppe erzeugt wird. Doch das ganze Umformen etc war alles nicht erfolgreich. So habe ich überlegt, ob die Aufgabe evtl auf Isomorphie bezogen war.

Jedoch denke ich mit deinem Ansatz und der entscheidenden Idee den Bruch teilerfremd, also ausgekürzt zu machen und zu zeigen, dass es dann nur einen Nenner geben kann, eine Lösung gefunden zu haben.


Seien also (a und b) und (c und d) teilerfremd. Seien nun a/b+IZ und c/d+IZ von der Ordnung n. <=> n*a/b , n*c/d Element von IZ und es gibt kein kleineres solches n. Das kleinste n, das das erfüllt ist beim ersten Bruch b und beim zweiten ist es d (man kann über die Primfaktorzerlegung argumentieren). Somit ist b = d und wir definieren q := b = d und schreiben der Übersicht halber: a/b =: x/q und c/d =: y/q.

x und y sind nun jeweils teilerfremd zu q.
Somit gilt <x+qZ> = Z/qZ = <y+qZ> =: (i)
"Teilt" man nun jedes Element von Z/qZ durch q erhält man also alle Elemente der Form z/q + Z mit z Element von Z. Also die zyklische Gruppe <1/q + Z> Untergruppe von Q/Z.

Teilt man also in der Gleichheit von (i) auch die anderen Gleichungsseiten durch q so erhält man also:
<x/q + Z> = <y/q + Z>.

Damit wäre gezeigt, dass die Untergruppen der Ordnung n also gleich sind (da a/b und c/d (bzw. x/q und y/q) die gleiche Untergruppe erzeugen). Also wäre auch die Eindeutigkeit bewiesen.

---


Ist das so in Ordnung?

Bedenken habe ich bei dem Teil, in dem ich "durch q teile". Das ist natürlich formal inkorrekt bzw. müsste nachgewiesen werden, dass es korrekt ist.


Das -da bin ich mir sicher- ließe sich aber relativ unkompliziert über die beiden Inklusionen tuen.


Mit besten Grüßen
Ralip



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ralip
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15 12:04


Wo wir schon dabei sind:
Ich poste mal meine Lösungen für die anderen Aufgabenteile - bin mir ja wie gesagt unsicher bei einem Teil.



Für alle \((\frac{q}{q'} + \mathbb{Z})\in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) gilt:
\( q' \cdot (\frac{q}{q'} + \mathbb{Z}) = q + \mathbb{Z} = \mathbb{Z} \). Damit ist jedes Element von \(\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\) von endlicher Ordnung.
Aber ist es wirklich so trivial oder verstand ich erneut etwas falsch?


Weiter, sei U Untergruppe von Q/Z und endlicher Ordnung n.
Seien \(\frac{a_{1}}{a'{_1}} + \mathbb{Z} , ... , \frac{a_{n}}{a'{_n}} + \mathbb{Z}\)  die Elemente von U. Man bringe  nun alle auf einen Nenner:

Sei \(P := a'_{1} \cdot ... \cdot a'_{n}\):
Dann gilt für a_i/a'_i + Z Element von U:

\( \frac{a_{i}}{a'_{i}} + \mathbb{Z} = \frac{(a_i \cdot \prod \limits_{i \in \{1, ..., n\}\setminus\{i\}} a'_{i})}{P} + \mathbb{Z}\)

Man kann so auf jeden Fall alle auf den gleichen Nenner bringen und argumentiert dann wie bei dem Beweis, dass alle Untergruppen von \(\mathbb{Z}\) zyklisch von der Form \(m\mathbb{Z}\) sind über die Division mit Rest und dem Fakt, dass der Rest auch in der Gruppe sein muss und daher, da zuvor das kleinste Element gewählt wurde, dieser nicht kleiner sein kann, sondern gleich 0 sein muss und damit die Gruppe vom kleinsten Element erzeugt wird.

Die Kleiner-Relation gibt es auch hier und der Nenner tut dem Ganzen keinen Abbruch. Es ist also so, dass U vom kleinsten enthaltenen Bruch von den Elementen \(\frac{a_{1}}{a'{_1}} + \mathbb{Z} , ... , \frac{a_{n}}{a'{_n}} + \mathbb{Z}\) ohne jeweils das Z erzeugt wird.

Korrekt ausgedrückt, unter dem Urbild des kanonischen Epimorphismus' sei der kleinste Bruch a/b, dann gilt U = <a/b + Z> zyklisch.


Ist das so korrekt?

Was mich stutzig macht:
1. Es ist ziemlich leicht
2. Könnte man letzteres auch für nicht endliche Untergruppen beweisen (mit einem unendlichen Produkt im Nenner) - das aber war in der Aufgabe nicht gefordert.


Vielen Dank!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-15 16:44

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}}\)
2019-03-15 08:04 - Ralip in Beitrag No. 2 schreibt:
Das -da bin ich mir sicher- ließe sich aber relativ unkompliziert über die beiden Inklusionen tuen.

Dann tu das doch ;)
Es ist nämlich tatsächlich nicht schwierig, vor allem da du ja schon gesagt hast, wie man dabei vorgeht. Ansonsten stimmt das alles, soweit ich es sehen kann.

Zur Endlichkeit der Ordnung jedes Elements: Das ist so richtig. Wenn man ganz genau sein möchte, kann man noch definieren, was genau man mit $q'\cdot(r+\Z)$ meint, aber eigentlich ist auch das klar.


Und zu den zyklischen Untergruppen:
Diesen Teil konnte ich nicht ganz verstehen:
Man kann so auf jeden Fall alle auf den gleichen Nenner bringen und argumentiert dann wie bei dem Beweis, dass alle Untergruppen von Z zyklisch von der Form mZ sind über die Division mit Rest und dem Fakt, dass der Rest auch in der Gruppe sein muss und daher, da zuvor das kleinste Element gewählt wurde, dieser nicht kleiner sein kann, sondern gleich 0 sein muss und damit die Gruppe vom kleinsten Element erzeugt wird.

Ich kann nicht so ganz nachvollziehen, was hier dividiert wird, und entsprechend auch nicht, welcher Rest noch in der Gruppe enthalten sein muss. Deshalb kann ich als Hinweis nur geben, wie ich es machen würde, auch wenn das wahrscheinlich in eine andere Richtung geht:

Wenn wir deine $a_i$ und $a_i'$ teilerfremd wählen, dann haben wir im Prinzip schon gezeigt, dass $<\frac{a_i}{a_i'}>$ die Gruppe $\{\frac{m}{a_i'}~\vert~m<a_i\}$ ist, von der auch $\frac{1}{a_i'}$ ein Erzeuger ist. Wenn wir also die Untergruppe $U=<\frac{a_1}{a_1'},\dots,\frac{a_n}{a_n'}>$ anschauen, dann muss sie identisch zur Gruppe $<\frac{1}{a_1'},\dots,\frac{1}{a_n'}>$ sein (hier braucht es noch eine kurze Begründung). Hier ist es dann schon deutlich leichter zu zeigen, dass es sich um eine Untergruppe von $<\frac{1}{\prod_{k=1}^na_k'}>$ handelt. Damit kannst du zeigen, dass $U$ zyklisch ist. Dass die zyklischen Untergruppen eindeutig sind, hast du ja schon gezeigt.
\(\endgroup\)


  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ralip
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15 19:10


Hey,
mein Ansatz war so gemeint:

Nachdem man also alle Brüche in U auf einen Nenner gebracht hat, nehme man sich den kleinsten von denen raus, außer 0/P. (Kleinerrelation ist gemeint).
Wir können annehmen, dass ein solcher existiert, denn {0/P + IZ} ist offensichtlich zyklisch.

Sei dies a/P, da wir den gemeinsamen Nenner zuvor als P definiert haben.
Nun gilt für jedes b/P in U Folgendes:

Sei b = q*a + r die Division mit Rest von b durch a. Also ist auch 0 =< r < a.

Weiter gilt auch, aufgrund der Inversenbildung (in dem Fall -a) und der algebraischen Abgeschlossenheit von U, dass

r/P = b/P - q * a/P auch ein Element von U ist (okay, um genau zu sein r + Z ist dies). Da 0 =< r < a gilt unterscheide man zwei Fälle:

Fall 1: r != 0:
=> Falsum, da anngenommen wurde, dass a/P das kleinste Element ist und r/P ist jedoch kleiner.

Fall 2: r = 0:
Somit: b = q*a und damit b/P + Z = q*(a/P + Z)
Es lässt sich also jedes Element in U als Potenz von a/P darstellen, also <a/P + Z> = U und somit U zyklisch.


Das war meine Beweisidee.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 129
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-15 19:15


Ah, ja das sieht gut aus. Zumindest sehe ich keinen Haken.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ralip
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.03.2019
Mitteilungen: 24
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16 18:38


Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe! Großartig.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ralip hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Ralip hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
Neues Thema [Neues Thema]  Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]