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Mathematik » Geometrie » Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf" Kachel
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Universität/Hochschule Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf" Kachel
Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-13


Hi,

das erste Bild zeigt eine sogenannte "Ivy leaf" Kachel, die zusammen mit den beiden Kachel "Starfish" und "Hex" ein aperiodisches Set für eine nicht-periodische Parkettierung bildet. Diese drei Kachel sind auf die beiden Penrose-Kacheln "Dart" und "Kite" zurückzuführen. Siehe auch hier.



Mir ist nun folgendes aufgefallen: Wenn man das "Ivy leaf" an seiner Symmetrieachse halbiert und eine Schnittgerade (rot) durch die beiden gelben Punkte legt, dann ergeben sich zwei neue Kacheln mit drei verschiedenen Seitenlängen (siehe Bild 2).



Ich habe einen sehr einfachen Algorithmus gefunden mit dem sich die Ebene aperiodisch mit diesen beiden (neuen?) Kacheln parkettieren lässt, und zwar spiralförmig. Dazu veröffentliche ich noch einen Artikel, daher möchte ich hier nicht näher darauf eingehen.

Meine Frage ist nun: Lassen sich diese beiden Kacheln, jede für sich, immer noch auf eine bekannte Parkettierung zurückführen, also in kleinere bekannte Kacheln einteilen wie z.B. goldene Dreiecke, etc.? Ich habe nichts derartiges gefunden, da die Penrose Kacheln sehr seltsam zerschnitten werden.

Gruß, Slash



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-14


Aus der größeren Kachel lässt sich noch die kleinere rausschneiden.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-19


Hier nochmal schön mit TikZ. Der goldene Schnitt ist \(\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\). Nachfolgend ein goldenes Dreieck, welches in Robinson Dreiecke geteilt ist: golden gnomon \(AXC\) und golden triangle \(XBC\). "\(ABC\) gespiegelt an \(AB\)" und "\(AXC\) gespiegelt an \(XC\)" bilden die Penrose Kacheln "Kite" und "Dart". Daher lässt sich jede Penrose Parkettierung aus Kites und Darts mit Robinson Dreiecken "verkleinern".

<math>
\begin{tikzpicture}
[y=1.0pt, x=1.0pt, yscale=-1.0, xscale=1.0]
\draw[line cap=round,line width=0.5pt]
(3.0469,1049.5372) -- (153.0448,940.5461)
(3.0469,1049.5372) -- (117.6433,1049.5372)
(117.6433,1049.5372) -- (153.0448,940.5460)
(117.6433,1049.5372) -- (188.4641,1049.5372)
(153.0448,940.5461) -- (188.4641,1049.5372);

\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(-13,1057) node[above right] {$A$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(190,1057) node[above right] {$B$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(148,940) node[above right] {$C$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(127,969) node[above right] {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(142,978) node[above right]{$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(15,1051) node[above right]  {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(148,1065) node[above right] {$1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(171,1005) node[above right]{$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(120,1005) node[above right] {$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(65,1065) node[above right]  {$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(25,995) node[above right] {$\varphi^2=\varphi+1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(107,1067) node[above right] {$X$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(93,1051) node[above right] {$108^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(120,1051) node[above right] {$72^\circ$};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(163,1051) node[above right] {$72^\circ$};
\end{tikzpicture}
</math>



Für die beiden Kachel aus #1 gilt dann:


<math>
\begin{tikzpicture}
[y=0.6pt, x=0.6pt, yscale=-1.0, xscale=1.0]
\draw[line cap=round,line width=0.5pt]
(245.7490,890.6155) -- (425.9520,934.2649)
(611.5687,1048.5289) -- (380.0673,1048.5289)
(380.0673,1048.5289) -- (245.7490,890.6155)
(611.5687,1048.5289) -- (405.7069,942.6026)
(405.7069,942.6026) -- (425.9520,934.2649)
(7.7906,1048.6584) -- (104.9781,890.7566)
(7.7906,1048.6584) -- (239.3061,1048.6584)
(104.9781,890.7566) -- (239.3061,1048.6584);

\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(-20,1060) node[above right] {$A$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(235,1060) node[above right] {$B$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(95,890) node[above right] {$C$};

\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(88,930) node[above right] {$72^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(15,1055) node[above right] {$58,39^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(165,1055) node[above right] {$49,61^\circ$};

\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(0,980) node[above right] {$\varphi+1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(170,980) node[above right]{$\frac{3\varphi+1}{2}$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(110,1070) node[above right] {$y$};


\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(345,1060) node[above right] {$D$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(610,1060) node[above right] {$E$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(390,970) node[above right]{$F$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(415,935) node[above right]{$G$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(230,890) node[above right] {$H$};

\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(330,915) node[above right] {$\varphi+1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(262,1000) node[above right]{$\frac{3\varphi+1}{2}$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(530,950) node[above right]{$\overline{FG}=\frac{\varphi-1}{2}$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(480,1070) node[above right] {$y$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(505,1000) node[above right] {$y$};

\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(372,1055) node[above right] {$130,39^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(520,1055) node[above right] {$27,23^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(265,925) node[above right] {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(415,960) node[above right]{$49,61^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(378,951) node[above right] {$36^\circ$};
\end{tikzpicture}
</math>



Frage 1: Für die Seitelänge \(y\) habe ich einen sehr komplizierten Term ausgerechnet. Findet jemand einen einfachen Ausdruck für \(y\) in Abhängigkeit von \(\varphi\)?

 Es gilt <math>\varphi+1=\varphi^2</math> und mit dem Kosinussatz erhält man

<math>y=\sqrt{(\frac{3\varphi+1}{2})^2+\varphi^4-2\varphi^2(\frac{3\varphi+1}{2})\cos(72)}\approx 3,2689 \approx 2\varphi+\frac{1}{30}</math>.


Frage 2: Findet jemand eine Einteilung der beiden Kacheln in kleinere Robinson Dreicke?

Gruß, Slash



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


Hier mal der Beginn der aperiodischen Parkettierung mit den beiden Kacheln. Besonderheit ist wie gesagt, dass man sie vom Zentrum aus spiralförmig entwickelt. Dazu später mehr.




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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


Hier eine Substitution mit den beiden Robinson Dreiecken. Gefärbt als Darts und Kites (blau, gelb) und golden gnomon und golden triangle (rosa, lila).




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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-20


2019-03-19 22:02 - Slash in Beitrag No. 2 schreibt:
<math>
\begin{tikzpicture}
[y=1.0pt, x=1.0pt, yscale=-1.0, xscale=1.0]
\draw[line cap=round,line width=0.5pt]
(3.0469,1049.5372) -- (153.0448,940.5461)
(3.0469,1049.5372) -- (117.6433,1049.5372)
(117.6433,1049.5372) -- (153.0448,940.5460)
(117.6433,1049.5372) -- (188.4641,1049.5372)
(153.0448,940.5461) -- (188.4641,1049.5372);

\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(-13,1057) node[above right] {$A$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(190,1057) node[above right] {$B$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(148,940) node[above right] {$C$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(127,969) node[above right] {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(142,978) node[above right]{$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(15,1051) node[above right]  {$36^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(148,1065) node[above right] {$1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(171,1005) node[above right]{$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(120,1005) node[above right] {$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(65,1065) node[above right]  {$\varphi$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(25,995) node[above right] {$\varphi^2=\varphi+1$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(107,1067) node[above right] {$X$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(93,1051) node[above right] {$108^\circ$};
\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(120,1051) node[above right] {$72^\circ$};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,line width=0.800pt]
(163,1051) node[above right] {$72^\circ$};
\end{tikzpicture}
</math>

Sehr schöne planimetrische Skizzen.
Das ist natürlich übertrieben kompliziert konstruiert und gut 45% könnte man hier ohne Weiteres rauseditieren; das kommt eben dabei raus, wenn man WYSIWYG-Editoren verwendet...  smile



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


@ Newbert

Ich habe das mit CAD gezeichnet, als DXF gespeichert, in Inkscape geladen, dort beschriftet und als TikZ gespeichert. Ist eine Sache von ein paar Minuten.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


2019-03-19 22:02 - Slash in Beitrag No. 2 schreibt:

Frage 1: Für die Seitelänge \(y\) habe ich einen sehr komplizierten Term ausgerechnet. Findet jemand einen einfachen Ausdruck für \(y\) in Abhängigkeit von \(\varphi\)?

Es gilt <math>\varphi+1=\varphi^2</math> und mit dem Kosinussatz erhält man

<math>y=\sqrt{(\frac{3\varphi+1}{2})^2+\varphi^4-2\varphi^2(\frac{3\varphi+1}{2})\cos(72)}\approx 3,2689 \approx 2\varphi+\frac{1}{30}</math>.


Mit <math>\varphi+1=\varphi^2</math> kann man doch noch etwas vereinfachen:


<math>y=\sqrt{\frac{9}{4}\varphi^4-(\varphi^4+2\varphi^3)\cos72}</math>.



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Hans-Juergen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-20


Hi,

hier der Anfang eines aperiodischen Parketts mit nur einer (und zudem einfachen) Kachelsorte:



Gruß
Hans-Jürgen




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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


Hi Hans-Juergen,

es geht um so etwas hier: List of aperiodic sets of tiles. Mit einem rechtwinkligen Dreieck lassen sich eben auch einfache periodische Parkettierungen erstellen. Bisher sind nur 2er-Sets von aperiodischen Kacheln bekannt mit denen sich kein periodisches Parkett erstellen lässt. Wichtig ist auch immer die Anleitung, falls die Kacheln es nicht durch ihre Form vorgeben. Bei meinen Kacheln ist es der Algortihmus.

Die Tilings Encyclopedia ist ein Referenzwerk.

Einen "Ein-Stein", also eine Mono-Kachel, die eine aperiodische Parkettierung durch ihre Form "erzwingt" gibt es leider noch nicht. Die Socolar–Taylor Kachel ist leider nicht zusammenhängend in der Ebene, und die Hexagonal Aperiodic Mono-Kachel ist eine "dekorierte" Kachel, erzeugt also nur ein aperiodisches Bild wie auf einem Puzzle.

Trozdem Danke für deine Beteiligung. smile


Gruß, Slash



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Yggdrasil
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-20


Hallo,

das wäre dann aber nur eine nicht-periodische Parkettierung. Bei einem Set  von aperiodischen Kacheln müssen alle Parkettierungen nicht-periodisch sein.

Gruß Yggdrasil

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.]



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Hans-Juergen
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Aus: Henstedt-Ulzburg
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-03-20


Hallo Slash,

danke für Deine Informationen. Der Feststellung, dass es eine "Ein-Stein", also eine Mono-Kachel, die eine aperiodische Parkettierung durch ihre Form "erzwingt", nicht gibt, scheint  diese Seite zu widersprechen.

Dort wird auch das bekannte Penrose-Parkett nur als "quasiperiodisch" bezeichnet.

Interessant mag vielleicht noch sein, dass ein weit ausgedehntes, unregelmäßiges Parkett aus gleich großen, rechtwinkligen Dreiecken mit dem Kathetenlängenverhältnis 2:1 hier an einem öffentlichen Gebäude verwendet wurde: http://mathstat.slu.edu/~Federation_Square_Melbourne-SBS.jpg.

Gruß
Hans-Jürgen



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


2019-03-20 23:50 - Hans-Juergen in Beitrag No. 11 schreibt:
Der Feststellung, dass es eine "Ein-Stein", also eine Mono-Kachel, die eine aperiodische Parkettierung durch ihre Form "erzwingt", nicht gibt, scheint  diese Seite zu widersprechen.

Man weiß einfach nicht, ob so eine Mono-Kachel existiert. Bisher gibt es keinen Beweis dafür oder dagegen.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


Meine Kacheln erzeugen auf jeden Fall nicht zwingend ein aperiodisches Muster, wie das folgende Beispiel zeigt. Sie sind damit selbst nicht aperiodisch.



Natürlich geht es auch noch einfacher, da ja zwei rosa und eine lila Kachel ein halbes Ivy Leaf bilden und ganze Ivy Leafs sehr einfach die Ebene parkettieren können.



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


Vielleicht lässt sich aus den beiden Kacheln ein aperiodisches Set aus drei Kacheln erstellen. Das wären dann der rote Pfeil, der grüne Haken und die rosa Dreiecke. Ich muss das aber noch genau prüfen.



EDIT: Kein aperiodisches Set. Mit der folgenden Struktur lässt sich die Ebene periodisch parkettieren.



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