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Mathematik » Geometrie » Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf"-Kachel
Thema eröffnet 2019-03-13 14:46 von Slash
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Universität/Hochschule Aperiodische Parkettierung mit geteilter "Ivy leaf"-Kachel
Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.160, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-16


2 dieser Dinger können auch mit Hex, Ivy Leaf und Starfish substituiert werden.

Mit dieser Anordnung (ich habe sie Birne getauft) hatte ich bereits Mitte 2019 experimentiert. Die Birnen allein können kein lückenloses Parkett legen, und zusammen mit den Sternen ist eine einfache periodische Abdeckung möglich. Für eine Quasiperiodische Variante fehlten mir bislang die Regeln. Ich hatte im Mai 2019 diese Bilder an Erich Friedman geschickt, er hatte aber keine Zeit sich damit zu beschäftigen.


Vielleicht findet sich ja doch eine Konstruktion aus diesen 10eck Sicheln, die EinStein-Qualitäten aufweist. Selbst, wenn minimale/wenige Lücken oder Überschneidungen auftreten wäre das für die Fachwelt interessant.

Ich fand diese Birnen damals so gut, dass ich sie mir aus Plexiglas habe Laserschneiden lassen. Ist aber teuer und dauert 2 Wochen bis sie eintreffen. sculpteo.com

...es müssen auch nicht unbedingt Sterne als Lücken bleiben, es gehen auch kleinere. Aber mit den Sternen hat man eben ein 2er Set, wenn auch nicht aperiodisch.


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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.161, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-16


Hier drei weitere tolle Tiling PDFs:

Spiral Tilings by Paul Gailiunas

Some Monohedral Tilings Derived From Regular Polygons by Paul Gailiunas !!!

Voderberg Deconstructed & Triangle Substitution Tiling by Cye H. Waldman

Fast ein EinStein, gefunden 1936!
Voderberg tiling


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.162, eingetragen 2021-02-17


ohne eine weiteres ziel damit zu verfolgen hab ich zwei aufteilungen gefunden die umlegung in rechtecke mit je drei teilen ermöglichen



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.163, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-17


Meine erste Idee dazu: Vielleicht könnten die so entstandenen rosa und orangen Teile selbst (fast) lückenlose Parkette liefern. Mal testen.


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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.164, eingetragen 2021-02-17


glaube kaum, aber man könnte diese teile spasseshalber mal in den inneren kernnahen bereich einzeichnen



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.165, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-17


Was ich auch schon probiert habe (aber nur ganz wenig), mit den beiden Penrose Kacheln (Drachen/Pfeil oder 2 Rauten) ein größeres Teil zu konstruieren, dass wenigstens annähern EinStein Qualitäten besitzt. Dann könnte man analysieren, woran es hapert.

Oder die beiden Kacheln je Set so angleichen, dass sie eine sehr ähnliche Form annehmen. Klar, die Fläche wird immer gleich bleiben, aber neue Ideen könnten es trotzdem geben. Die grüne Variante stammt von mir, ist aber nur ne Skizze.




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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.166, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-17


hier die doch sehr einfache Konstruktionsanleitung für das fantastische Voderberg Tile.



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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.167, eingetragen 2021-02-17


alle meine formen zwischen #92 und ~#120 basieren genau nur auf diesen varianten die du da grün darstellst, alle hatten als basis immer #92

das änderte tatsächlich ja innerhalb der flächen nie etwas, eben nur am freien rand der überschneidung oder leerfläche... darum ging es mir ja immer, zu versuchen die restfläche in die gleiche form oder eben weg zu bekommen

insofern verstehe ich gerade nicht wohin es bei dir gelangen möchte?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.165 begonnen.]



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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.168, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-17


2021-02-17 18:10 - haribo in Beitrag No. 167 schreibt:
insofern verstehe ich gerade nicht wohin es bei dir gelangen möchte?

kann ich dir auch nicht sagen... 🤔


EDIT: Allerdings sind es hier ja zwei Teile, die schon ein aperiodisches Set bilden, die angenähert werden sollen. Nicht nur ein Teil mit dem eine Spirale möglich ist.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.169, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19


Diese Anordnung mit asymmetrischem Zentrum gefällt mir besonders gut.




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.170, eingetragen 2021-02-19



ja sehr schön,
kann man denn diese drei seile weiter verschlaufen? oder erweitern



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.171, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19


Das ist ja nicht von mir, sondern aus dem vierseitigen Artikel*, den ich in meinem Notizbuch verlinkt habe. Dort steht auch was zur Konstruktion.

Eine andere asym. Spirale aus dem Artikel ist links zu sehen. Wenn man den oberen Teil entlang der dunklen Linie ausschneidet und dreht, kann man ihn um eins versetzt zu einer Ringanordnung (konzentrische Kreise) zusammensetzen. Es lässt sich vielleicht aus jeder Ringanordnung eine Spirale mit asym. Zentrum konstruieren. Die Kacheln der Ringe sind aber nicht immer gleich ausgerichtet. Mal im, mal gegen den Uhrzeigersinn. Vielleicht spielt das eine Rolle.


*In dem Artikel wird die Konstruktion n-armiger Spiralen behandelt (n ungerade). Der erste Satz ist wirklich schön formuliert.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.172, vom Themenstarter, eingetragen 2021-02-19


Ein großer Fortschritt Richtung EinStein wäre übrigens schon eine unzusammenhängende Kachel, die keine Dekorationen oder Zusammenfügungsregeln benötigt.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.173, eingetragen 2021-02-20


dann können wir das auch... mit dem versetzen der kreise aus (#151 denke ich)

beliebige einzelne runden können einfach über eine vertikale linie gespiegelt werden  (bild ganz links--->bild mitte

und dann versetzen
die hellgrünen musste ich nochmal extra spiegeln, aus unerfindlichen gründen



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.174, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-27


Kachel mit Heesch-Zahl 5 und Koronen. Entdeckt von Casey Mann.


Eine Parkettierung der Ebene mit einer aperiodischen Monokachel ließe sich als Parkettierung mittels Koronen um eine Ausgangskachel interpretieren, ganz wie bei einer Kachel mit (großer) Heesch-Zahl (siehe oben). Die Parkettierung mit einer Heesch-Kachel endet irgendwann aufgrund der Unausgewogenheit der Kachel (unbalanced tile). Eine aperiodische Monokachel müsste allerdings ausgewogen (balanced) sein, um eine unendliche Parkettierung der Ebene zu erlauben. Eine ausgewogene Kachel erlaubt aber immer auch eine periodische Parkettierung der Ebene. Folglich kann eine aperiodische Monokachel nicht existieren.

Steckt da ein Denkfehler drin?


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.175, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


@ haribo

Wir könnten mal wieder ein offenes Problem von Erich Friedman angehen. Er fragt: Könnte es eine Kachel mit Heesch-Zahl 1 und Umrundungs-Zahl 2 geben?




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.176, eingetragen 2021-04-28


verständnissfrage: whitch can be surounded r times but not r+1 times ?

sein unteres beispiel N=3 kann man auch mit 4 drumherum belegen??? ist das nicht r+1?

er verwendet ja auch schon gespiegelte dass sei also wohl erlaubt





N=2 würde mich wundern wenn das möglich wäre
haribo



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.177, vom Themenstarter, eingetragen 2021-04-28


Gespiegelte Kacheln sind erlaubt. Das andere steht auf der 2. Seite des Papers. Umrundungen mit nur einem gemeinsamen Punkt zählen nicht. Es muss mindestens ein minimale Fläche zusammenschließen.

Bei nur 2 Teilen bleibt die Frage nach einem Beweis. Habe aber bisher keinen Ansatz dafür.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.178, eingetragen 2021-04-28


ungefähr so:

wenn eine fläche von zwei flächen umgeben wäre dann muss eine der beiden berührkanten mindestens den halben umfang erfassen

entweder die kachel oder ihre berührende müssen dabei konkave anteile haben

einen konkave rand den man umhüllt kann man nur mit einem konvexen umhüllen

da beide jeweils an der berührstelle die gleiche länge haben müssen, die eine davon aber mindestens gleich dem halben umfang darstellt müssen beide zusammengenommen den gesamte umfang darstellen

aus einer konvexen grenze und der dazu gegenpassenden gleichlangen konkaven kann man keine fläche herstellen, wenn sie an einem ende sich berühren dann muss man sie aufklappen um eine fläche herzustellen, dabei entsteht weiterer rand, damit ist der erste satz nicht mehr erfüllt

dito fals sie sich an keinem ende berühren, dann kommen zwo rändstücke dazu...


als denkhilfe: versuch eine fläche zu zeichnen die eine lange gerade begrenzung hat, versuch ob diese gerade dem halben umfang entsprechen kann






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Slash
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.179, vom Themenstarter, eingetragen 2021-05-10


Also in deinem Beweis(Beweisidee) muss ein Fehler stecken. Soeben habe ich dieses Paper gefunden: A Tile with Surround Number 2, Amer. Math. Monthly, Vol. 109 (4), April 2002, 383-38



Jetzt könnte man noch versuchen eine einfachere Kachel zu finden.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.180, eingetragen 2021-05-11


Wow, da war also irgendwo ne Lücke im Gedanken, die muss ich finden
Man klappt die beiden grauen um den oberen berührpunkt auf und später schließt es sich unten wieder, beeindruckend

Und natürlich erstmal diese gez. Geometrie nachstellen


also die geometrie ist begreifbar, ungefähr so klappte es auf anhieb: D muss auf einer mittelsenkrechten von A-B liegen, der eingezeichnete winkel >90°sein, und die rechte kante der kachel braucht einen punktsymetrie auf halbem weg A-D...



der begründungsfehler liegt wohl im gedanken dass die dazukommende kante beim aufklappen derart doch wieder zum abschluss führt... grübel grübel
erst nach dem aufklappen ist die rot-grüne trennkante langer als die rot-blaue, vor dem aufklappen sind beide also dann die grün-blaue gleichlang
damit ist wohl dieser satzteil+schluss-daraus falsch gewesen: [da beide jeweils an der berührstelle die gleiche länge haben müssen, die eine davon aber mindestens gleich dem halben umfang darstellt müssen beide zusammengenommen den gesamte umfang darstellen] die rote und grüne trennlinie sind definitiv zusammen mehr als der umfang der kachel

und mit diesen kleinen eckverschlüssen bin ich auch keineswegs klar, bisher
haribo



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Slash
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2021-02-17 18:09 - Slash in Beitrag No. 166 schreibt:
hier die doch sehr einfache Konstruktionsanleitung für das fantastische Voderberg Tile.

Die Grundkonstruktion der Voderberg Kachel ist ja relativ einfach, aber rein optisch wäre ich nicht drauf gekommen.

Diese Eckverschlüsse dienen nur der kompletten Umschließung. Sie können wohl, wie auch die originale Kachel selbst, im Detail verändert werden, doch die Grundkonstruktion muss bleiben.

Es lässt sich bestimmt ein allgemeines Verfahren für die Konstruktion einer solchen Kachel angeben. Ist aber bestimmt nicht einfach.

Die Voderberg Kachel besitzt aber schon von Grund auf eine besondere Umschließungseigenschaft, wie auf dem Bild aus einem Paper (2011) von Chaim Goodman-Strauss zu sehen ist.




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.182, eingetragen 2021-05-11


ok , gemäss deiner anleitung hab ich nur im letzten schritt nicht direkt E-F verbunden sondern noch eine zacke mehr eingebaut, also ist meine kachel diesbezüglich zu komplex... egal ich hatte sie gezeichnet ohne das original daneben zu legen, und dadurch versteh ich jetzt den aufbau besser, und sie funktioniert ja

die verschlüsse sind durchaus genial! gefühlt müssten sie vereinfacht werden können, aber sicher ist das nicht, immerhin verhindern sie dass man dann noch die spirale legen könnte, also sie sind wirklich nur für diesen zpezialfall nützlich, tscheints






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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.183, eingetragen 2021-05-11


ja die zehnfache kann man leicht herstellen auch 1024 fach wäre kein problem

man kann ja zwei mit gerundeten basis nebeneinander legen, dabei geht die basis ineinander über, (hier rot orange)und eine dritte dann mittig darüber (pink) dann hat man durch die überlagerung 4 gleiche schmalere

dass kan man endlos wiederholen und hinterher auf der alten fläche wieder anordnen, aber echt umschlossen sind sie nicht, denn bei A und B ragen immer alle spitzen hinaus



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2021-05-11 14:58 - haribo in Beitrag No. 183 schreibt:
aber echt umschlossen sind sie nicht, denn bei A und B ragen immer alle spitzen hinaus

Da hast du recht. Ist aber dennoch eine gute Methode mit der Verkleinerung.


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.185, eingetragen 2021-05-11


die spizeligen sfissl kann man etwas vereinfachen indem man alle abschneidet...

am besten wäre es wenn man die eckspezialitäten deutlich vergrössern könnte sozusagen derart dass die kachel nur noch aus den 4 spezialitäten besteht...





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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.186, eingetragen 2021-05-11




so brauchts keine detail vergrösserung mehr, ist aber trotzdem ziemlich komplex hey



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sehr schön!


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2021-05-11 15:09 - Slash in Beitrag No. 184 schreibt:
2021-05-11 14:58 - haribo in Beitrag No. 183 schreibt:
aber echt umschlossen sind sie nicht, denn bei A und B ragen immer alle spitzen hinaus

Da hast du recht. Ist aber dennoch eine gute Methode mit der Verkleinerung.
Kann man das umdrehen und zur Verbreiterung benutzen?
Evtl dann auch wieder eckverschlüsse dranbauen,  in dann mehr platz

bild #186 hab ich nochmal konkretisiert

und hiermit ist das spassige ende der vergröberung erreicht



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es ist ziemlich unerwartet wie jeweils die nächste noch reduziertere version aussieht, jedesmal mit den gleichen vier eckpunkten aus #186




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Haben die Bögen eine Bewandtnis? Im Vergleich zu #188 meine ich.


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Kann man sicher glattziehen, die Entwicklung der ersten zwei , siehe #186



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Ließe sich das Teil noch verkürzen? Also #189 in der Breite oder #190 in der Höhe?


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Verkürzen bedeutet den Winkel A-D-B in#180 zu vergrößern, er ist zugleich der verschwenkwinkel zwischen zwei Kacheln und der spitzenwinkel am Kopfende der Figur.  

Versuch mal #168 die Skizze rechts nachzukonstruieren... den schwenkwinkel der dort 20 (bzw 2x10) grad hat kann man auch auf 24 bringen, dann wird es kürzer aber der Enge Hals der Figur wird auch schmaler und dort muss ja der Verschluss hineinpassen... und es darf beim schwenken keine Überschneidungen geben

Arcsin(0.25)=14,xx also 28grad müsste wohl das kürzeste sein, dann braucht man aber sehr perfekte archimedische Spiral Abschnitte oder sonstige komplizierte Begrenzungen und nicht Kreisabschnitte wie ich jetzt benutze.... vorderberg kommt ja sogar noch mit geknickten geraden aus weil der Winkel dort noch kleiner gewählt wurde.(was eben zu verlängerter  gesamt Form führt) ... aus diesen Gründen bin ich derzeit bei  schwenkwinkel 20 grad verblieben und versuchte die kachelfläche zu reduzieren um ihre internen Abhängigkeiten erstmal auszuloten

Ziel war die verschlüsse möglichst zu vergrössern und die Fläche zu verkleinern



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Das ist wirklich sehr interessant wie der Zweck hier das Design bestimmt. Wenn man die schmalen Stellen (rot) noch verbreitert und die welligen Linien (Raupenfraß 😎) als Kurven darstellt, dann hätte man eine Figur, die sich gut als Spielstein herstellen ließe, da relativ stabil. Sie ließe sich dann insgesamt so verkleinern, also in Bezug zur jetzigen Bildgröße, dass eine Herstellung aus Plastik mit ca. 2-3 mm an den dünnsten Stellen möglich wäre und die Figur aber doch nicht insgesamt zu großflächig würde. Eine tolle neue mathematische Spielerei!



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also gut hier den geglätteten, dünnwandigen, etwas verkürzt der verdrehwinkel beträgt jetzt 23°


die kanten sind jetzt archimedische spiralen,



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Hat schon fast etwas von Picasso.


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erklären kann ichs kaum, aber ich komme jetzt ohne die einschlüsse links oben und rechts unten aus... das ist noch nicht das ende der vereinfachung, auch wenn es wieder fieseliger wurde und somit detailvergrösserungen benötigte




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haribo
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.199, eingetragen 2021-05-16


das könnte in diese richtung gehen, kacheln die ungefähr aus nix ausser  4 gleichen spiral-abschnitten zusammengesetzt sind
hier ist es noch etwas übertrieben weit herumgezogen oben... also überschneidet es unten noch



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