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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » punktweise Konvergenz gegen eine stetige Funktion
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Autor
Universität/Hochschule punktweise Konvergenz gegen eine stetige Funktion
lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15 15:51


Aufgabe:

Entscheide für die folgenden Funktionenfolgen von ℝ nach ℝ ob diese punktweise gegen eine stetige Funktion konvergieren:



Aufgaben Ansatz:

Zu a)

Je grösser n wird, desto mehr strebt es gegen unendlich. sollte nicht konvergieren

Zu b)
Verwendung des M-Test, sollte konvergieren.

Zu c)
www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=8528011857461445398
An der Stelle ∏ der x-Achse gibt es einen Wert -1 und 1 bei der y-Achse.

Zu d)
www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=7561503116268121238



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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-15 23:08


Hast du auch eine Frage?



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lisalu
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-16 16:14


2019-03-15 23:08 - targon in Beitrag No. 1 schreibt:
Hast du auch eine Frage?

Die Frage ist: wie löse ich die angegebene Aufgabe (mit meinem Ansatz)?
Stimmt der Ansatz? Wie kann man das Ganze nun beweisen?



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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-16 19:56

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert} \newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
Grundsätzlich gilt, dass Plots kein Ansatz sind. Sie können natürlich aber eine gute Intuition liefern, so zum Beispiel dein Kommentar zur (a), dass die Funktion für große \(n\) gegen \(\infty\) strebt. Das stimmt allerdings nicht für alle \(x\). Mein Tipp ist: betrachte \(a_n(0)\) für jedes \(n \in \N\) und überlege, was in jeder beliebig kleinen Umgebung mit den Punkten links und rechts von \(0\) passiert, also wogegen konvergiert \(a_n(x)\) mit \(x<0\) beispielsweise? So kriegst du die Unstetigkeit der Grenzfunktion (bzw. dass für \(x>0\) die Folge \(a_n(x)\) gar nicht in \(\R\) konvergiert).
Für die b) stimme ich dir zu, dass der M-Test funktionieren sollte. Konkret musst du natürlich noch Schranken angeben.
Bei der (c) würde ich mir analog zur (a) wieder ein \(x \in \R\) suchen, sodass \(c_n(x) = c \in \R\) für alle \(n \in \N\) gilt, also die Funktionenfolge in diesem Punkt immer denselben Wert annimmt und mir dann wieder überlegen, was für beliebige Umgebung \(U \subset \R\) von \(x\) gilt.
\(\endgroup\)


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targon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-16 20:11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\norm}[1]{\mathop{}\left\lVert\,#1\,\right\rVert} \newcommand{\abs}[1]{\mathop{}\left\lvert#1\right\rvert} \newcommand{\eins}[1]{\textbf{1}_{\left\{ #1 \right\}}}\)
bzw. etwas genauer: die Fragestellung besteht ja aus zwei Einzelfragen, zum einen die, ob die Funktionenfolge punktweise konvergiert, die muss man zuerst beantworten, sonst hat man keine Grenzfunktion, die man auf Stetigkeit überprüfen könnte. Und Letzteres ist dann eben die zweite Frage. Stellst du also fest, dass es Mengen \(U \subset \R\) gibt, sodass für die Funktionenfolge \(f_n\) auf \(U\) gilt, dass sie gar nicht punktweise konvergiert, also \(\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)\) existiert nicht für alle \(x \in U\), kannst du auf diesem \(U\) natürlich auch keine Frage nach der Grenzfunktion stellen. Dieser Fall wird unter anderem bei (a) und (c) auftauchen.
\(\endgroup\)


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