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Analysis » Folgen und Reihen » Konvergenz von alternierender Reihe
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Universität/Hochschule Konvergenz von alternierender Reihe
LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-15


Hallo,
ich soll folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:
fed-Code einblenden
Dazu benutze ich das Leibniz Kriterium.

Ich habe gezeigt, dass die Folge gegen Null konvergiert. Nun muss ich zeigen, dass die monoton fallend ist, dazu:
fed-Code einblenden
Meine Frage: ist die Reihe somit divergent, da sie nicht für alle k monoton fallend ist?



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-15


Es ist ausreichend, dass ab einem bestimmten Index die Monotonie erfüllt ist. Man kann das zeigen, indem man die Reihe zerteilt in den endliche Summe bis zu jenem Index, und die unendliche Reihe danach, die dann monoton fallende Summanden besitzt.



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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 16:23 - Pearly in Beitrag No. 1 schreibt:
Es ist ausreichend, dass ab einem bestimmten Index die Monotonie erfüllt ist. Man kann das zeigen, indem man die Reihe zerteilt in den endliche Summe bis zu jenem Index, und die unendliche Reihe danach, die dann monoton fallende Summanden besitzt.

Das mit dem Zerteilen einer Reihe in Summen hatten wir noch nie, wie macht man das denn?

Also kann ich einfach angeben, dass die Ungleichung für ein bestimmtes k gilt (also hier für k > 1) und die Folge somit ab diesem endlichen k monoton fallend ist und dadurch die gesamte Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert?

Danke



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-03-15


Huhu LamyOriginal!

2019-03-15 16:13 - LamyOriginal im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Das sollte aber nicht passieren. Richtig wäre \(k^4 + 2k^3 - 6k^2 \color{red}{-7k} \geq4\).

Gruß,

Küstenkind



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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 16:51 - Kuestenkind in Beitrag No. 3 schreibt:
Huhu LamyOriginal!

2019-03-15 16:13 - LamyOriginal im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Das sollte aber nicht passieren. Richtig wäre \(k^4 + 2k^3 - 6k^2 \color{red}{-7k} \geq4\).

Gruß,

Küstenkind

Oh okay danke, aber das ändert ja nicht daran, dass diese Ungleichung für k=1 nicht stimmt und nur für k > 1 gilt



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-03-15


Hallo,

2019-03-15 16:57 - LamyOriginal in Beitrag No. 4 schreibt:
2019-03-15 16:13 - LamyOriginal im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden


das ist wie schon erwähnt wurde egal. Wenn die Relation ab einem festen N gilt, dann ist die Monotonie ab diesem N gezeigt, und das ist zusammen mit der Tatsache, dass die Summanden eine Nullfolge bilden (und mit den alternierenden Vorzeichen natürlich) hinreichend für die Konvergenz.

Gruß, Diophant



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 16:27 - LamyOriginal in Beitrag No. 2 schreibt:
Das mit dem Zerteilen einer Reihe in Summen hatten wir noch nie, wie macht man das denn?

So?

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ka_k=\sum_{k=1}^{2}(-1)^ka_k+\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^ka_k\)

Gruß,

Küstenkind



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LamyOriginal
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-15


2019-03-15 17:08 - Kuestenkind in Beitrag No. 6 schreibt:
2019-03-15 16:27 - LamyOriginal in Beitrag No. 2 schreibt:
Das mit dem Zerteilen einer Reihe in Summen hatten wir noch nie, wie macht man das denn?

So?

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ka_k=\sum_{k=1}^{2}(-1)^ka_k+\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^ka_k\)

Gruß,

Küstenkind

Okay danke, die hintere Reihe ist dann die konvergente, richtig?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-03-15

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-03-15 17:21 - LamyOriginal in Beitrag No. 7 schreibt:
2019-03-15 17:08 - Kuestenkind in Beitrag No. 6 schreibt:
2019-03-15 16:27 - LamyOriginal in Beitrag No. 2 schreibt:
Das mit dem Zerteilen einer Reihe in Summen hatten wir noch nie, wie macht man das denn?

So?

\(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ka_k=\sum_{k=1}^{2}(-1)^ka_k+\sum_{k=3}^{\infty}(-1)^ka_k\)

Gruß,

Küstenkind

Okay danke, die hintere Reihe ist dann die konvergente, richtig?
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)

Ja. Und die vordere ist endlich, da sie endlich viele Summanden besitzt...

Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Wauzi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-03-15


Hallo,
man kann die Reihe auch durch Zerlegen leicht auf die alternierende harmonische Reihe bringen:
fed-Code einblenden

Gruß Wauzi


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Primzahlen sind auch nur Zahlen



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