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Matroids Matheplanet Forum Index » Rätsel und Knobeleien (Knobelecke) » ** Planimetrie - Dreieckskonstruktion aus den drei Höhen
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Beruf ** Planimetrie - Dreieckskonstruktion aus den drei Höhen
Newbert
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-18


Gegeben seien die drei Höhen <math>h_a,\, h_b</math> und <math>h_c</math> eines Dreiecks <math>ABC</math>.

<math>
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\m}{0.4} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{\m*10.5} %
\pgfmathsetmacro{\hb}{\m*12} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{\m*12.5} %

\pgfmathsetmacro{\h}{1/(1/\ha+1/\hb+1/\hc)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{\h^2*sqrt( (\ha*\hb*\hc)/
((\ha-2*\h)*(\hb-2*\h)*(\hc-2*\h))  )} %

% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\F/\ha} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\F/\hb} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\F/\hc} %

% Innenwinkel
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Alpha-\Beta} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={right}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Höhen einzeichnen
\draw[thick] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha);
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Ha) -- (C);
\draw[thick]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{H_b}] (Hb);
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Hb) -- (A);
\draw[thick]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{H_c}] (Hc);
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Hc) -- (A);
% Winkel
\pgfmathsetlengthmacro{\r}{0.1*min(\ha, \hb, \hc)*1cm} %
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};


% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\ha, \hb,\hc)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}, local bounding box=annotationen]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {ha/h_a, hb/h_b,hc/h_c}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [angle radius=7mm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =R--Q--P};
\end{scope}


%% Annotationen
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of annotationen, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%h_a = \ha \text{ cm}  &  \\
%h_b = \hb \text{ cm}  & (1) \\
%h_c = \hc \text{ cm}  & (3) \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (4) \\
%\gamma= \Gamma^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};



% Punkte
\foreach \P in {Ha,Hb,Hc}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>


(a) Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal.

(b) Gib Bedingungen für die Konstruktion an.

(c) Berechne die Seitenlängen <math>a,\,b,\,c</math> sowie die Innenwinkel <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma</math> aus den gegebenen Größen <math>h_a,\,h_b,\,h_c</math>.








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Caban
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 276
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-03-18


Hallo


Ich würde zuerst ein zum gewünschten Dreieck ähnlichen Ersatzdreieck mit c'=ha, b'=hb und a'=hc, Höhe und Seite sind wegen A=h*g/2 indirekt proportional. Dann würde ich das Dreieck so strecken, dass hc mit dem gegebenen hc übereinstimmt.

Ansatz zur Berechnung: Aus dem ähnlichen Dreieck lassen sich die Innenwinkel bestimmen. Über die Höhen und die Sinusbeziehung am rechtwinkligem Dreieck dann die Seiten.



Gruß Caban



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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4606
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-18


Ich hatte mir das ähnlich überlegt, mit folgender kleinen Ergänzung:


Da sich die Seitenlängen des Dreiecks aufgrund der drei Flächenformeln des Dreiecks (unter Zuhilfenahme je einer Höhe und der dazupassenden Seite!) so verhalten, wie die Kehrwerte der Höhen, sollten diese dann eigentlich den jeweiligen Dreiecksungleichungen genügen, also dann

$\frac1{h_a}+\frac1{h_b}\ge\frac1{h_c}$
$\frac1{h_a}+\frac1{h_c}\ge\frac1{h_b}$
$\frac1{h_b}+\frac1{h_c}\ge\frac1{h_a}$




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Newbert
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.02.2019
Mitteilungen: 160
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-19


Bei (c): Innenwinkel ergänzt.




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Newbert
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.02.2019
Mitteilungen: 160
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-19


2019-03-18 18:52 - Newbert im Themenstart schreibt:
Gegeben seien die drei Höhen <math>h_a,\, h_b</math> und <math>h_c</math> eines Dreiecks <math>ABC</math>.

<math>
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\m}{0.4} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{\m*10.5} %
\pgfmathsetmacro{\hb}{\m*12} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{\m*12.5} %

\pgfmathsetmacro{\h}{1/(1/\ha+1/\hb+1/\hc)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{\h^2*sqrt( (\ha*\hb*\hc)/
((\ha-2*\h)*(\hb-2*\h)*(\hc-2*\h))  )} %

% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\F/\ha} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\F/\hb} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\F/\hc} %

% Innenwinkel
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Alpha-\Beta} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={left}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={right}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Höhen einzeichnen
\draw[thick] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha);
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Ha) -- (C);
\draw[thick]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{H_b}] (Hb);
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Hb) -- (A);
\draw[thick]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{H_c}] (Hc);
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Hc) -- (A);
% Winkel
\pgfmathsetlengthmacro{\r}{0.1*min(\ha, \hb, \hc)*1cm} %
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};


% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\ha, \hb,\hc)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}, local bounding box=annotationen]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {ha/h_a, hb/h_b,hc/h_c}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [angle radius=7mm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =R--Q--P};
\end{scope}


%% Annotationen
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of annotationen, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%h_a = \ha \text{ cm}  &  \\
%h_b = \hb \text{ cm}  & (1) \\
%h_c = \hc \text{ cm}  & (3) \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (4) \\
%\gamma= \Gamma^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};



% Punkte
\foreach \P in {Ha,Hb,Hc}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>


 (a) Konstruiere das Dreieck mit Zirkel und Lineal.
Vorabüberlegung:

Nach der Flächenformel <math>2A = g\cdot h</math> gelten zwischen den Seiten und den Höhen die Beziehungen

<math>a\cdot h_a = b\cdot h_b = c\cdot hc.</math>

Offensichtlich genügen

<math>a' = \dfrac{h_a h_b}{h_a} = h_b</math>        (<math>a'\cdot h_a = h_b\cdot h_a</math>)
<math>b' = \dfrac{h_a h_b}{h_b} = h_a</math>        (<math>b'\cdot h_b = h_b\cdot h_a</math>)
<math>c' = \dfrac{h_a h_b}{h_c}</math>                (<math>c'\cdot h_c = h_b\cdot h_a</math>)

diesem Gleichungssystem; und da damit die Verhältnisse

<math>\dfrac{a}{a'}=\dfrac{a h_a}{a' h_a}=\dfrac{2A}{h_a h_b} \\[1em]
\dfrac{b}{b'}=\dfrac{b h_b}{b' h_b}=\dfrac{2A}{h_a h_b} \\[1em]
\dfrac{c}{c'}=\dfrac{c h_c}{c' h_c}=\dfrac{2A}{h_a h_b}
</math>

konstant und gleich sind (<math>
\dfrac{a}{a'}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}
</math>), sind die Dreiecke <math>ABC</math> (Seitenlängen <math>a,b,c</math>) und <math>A'B'C'</math> (Seitenlängen <math>a',b',c'</math>) ähnlich, d.h. sie gehen durch zentrische Streckung auseinander hervor.

Gehen die Dreiecke <math>ABC</math> und <math>A'B'C</math> durch zentrische Streckung auseinander hervor, dann entliest man folgender Planfigur

<math>% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\m}{0.4} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{\m*10.5} %
\pgfmathsetmacro{\hb}{\m*12} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{\m*12.5} %

\pgfmathsetmacro{\h}{1/(1/\ha+1/\hb+1/\hc)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{\h^2*sqrt( (\ha*\hb*\hc)/
((\ha-2*\h)*(\hb-2*\h)*(\hc-2*\h))  )} %

% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\F/\ha} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\F/\hb} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\F/\hc} %

\pgfmathsetmacro{\k}{\ha/\c} %  0.6
\pgfmathsetmacro{\as}{\k*\a} %
\pgfmathsetmacro{\bs}{\k*\b} %
\pgfmathsetmacro{\cs}{\k*\c} %

% Innenwinkel
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Alpha-\Beta} %

\pgfmathsetlengthmacro{\r}{0.1*min(\ha, \hb, \hc)*1cm} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1, densely dashed,  },
extended line/.default=1cm
]

% Dreieck ABC
\coordinate[Punkt={below}{A=A'}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above=5pt}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
%\path[] (A) -- (B) node[near end, below]{$c$};
%\path[] (A) -- (C) node[near end, left]{$b$};
%\path[] (B) -- (C) node[near start, right]{$a$};

% Dreieck A'B'C'
\coordinate[Punkt={left}{}] (As) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B'}] (Bs) at (\cs,0);
\coordinate[Punkt={left}{C'}] (Cs) at (\Alpha:\bs);
\draw[thick] (As) -- (Bs) -- (Cs) --cycle; %  Dreieck  zeichnen

% Parallele 1
% Hilfslinien
\draw[densely dashed, shorten >=-11mm] (A) -- (B);
\draw[densely dashed, shorten >=-11mm] (A) -- (C);
% Parallele
\draw [extended line=7mm] (C) -- +($1.0*(Bs)-(A)$) coordinate(Cp) node[very near end, sloped, para] {$\parallel_{{}_1}$};
%
\path[] (A) -- (B) node[pos=1.1, sloped, para] {$\parallel_{{}_1}$};
% Abstand
\draw[latex-latex]  (Cp) -- ($(A)!(Cp)!(B)$) coordinate (Cps) node[midway, left] {$h_c$};
%\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =C--Cp--B};
%\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =A--Cps--Cp};
% Parallele 2
\draw[densely dashed, extended line=5mm] (Bs) -- (Cs) node[near start, sloped] {$\parallel_{{}_2}$};
\draw[densely dashed, extended line=5mm] (B) -- (C) node[near start, sloped] {$\parallel_{{}_2}$};


% Höhen einzeichnen
%% ha
%\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha);
%\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Ha) -- (C);
%\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =A--Ha--B};
% hb
%\draw[densely dashed]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{}] (Hb) node[midway, above] {$h_b$};
%\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Hb) -- (A);
%\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
%draw,   "$\cdot$"
%] {angle =A--Hb--B};
% hc
\draw[densely dashed]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{H_c}] (Hc) node[midway, right] {$h_c$};
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Hc) -- (A);
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};



%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\ha, \hb,\hc)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}, local bounding box=annotationen]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {ha/h_a, hb/h_b,hc/h_c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%%% Winkel
%%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%%\draw pic [angle radius=7mm,
%%"$\alpha$", draw,
%%] {angle =R--Q--P};
%\end{scope}


%% Annotationen
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of annotationen, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%%PosUnten,
%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%h_a = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\ha} \text{ cm}  &  \\
%h_b = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\hb} \text{ cm}  & (1) \\
%h_c = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\hc} \text{ cm}  & (3) \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (4) \\
%\gamma= \Gamma^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};



% Punkte
\foreach \P in {As, Bs, Cs, Hc, B, C}   % Ha,Hb,Hc
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>

· Der Punkt <math>C</math> liegt
  1. auf der Geraden durch <math>AC'</math> und
  2. auf der Parallelen zu <math>AB'</math> im Abstand <math>h_c.</math>

· Der Punkt <math>B</math> liegt
  1. auf der Geraden durch <math>AB'</math> und
  2. auf der Parallelen zu <math>B'C'</math> durch <math>C.</math>

Damit verläuft die Konstruktion in zwei Teilen:

(0) Konstruktion der Strecke <math>
c' = \dfrac{h_a h_b}{h_c}
~\Leftrightarrow~
\dfrac{c'}{h_b}=\dfrac{h_a}{h_c}
</math>, die die Punkte <math>A'=:A</math> und <math>B'</math> festlegt, durch eine Strahlensatzfigur mit beliebigem Schenkelpaar.

<math>% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\m}{0.4} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{\m*10.5} %
\pgfmathsetmacro{\hb}{\m*12} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{\m*12.5} %

\pgfmathsetmacro{\h}{1/(1/\ha+1/\hb+1/\hc)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{\h^2*sqrt( (\ha*\hb*\hc)/
((\ha-2*\h)*(\hb-2*\h)*(\hc-2*\h))  )} %

% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\F/\ha} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\F/\hb} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\F/\hc} %

\pgfmathsetmacro{\k}{0.6} %
\pgfmathsetmacro{\as}{\k*\a} %
\pgfmathsetmacro{\bs}{\k*\b} %
\pgfmathsetmacro{\cs}{\k*\c} %

% Innenwinkel
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Alpha-\Beta} %

% Hilfsgrößen
\pgfmathsetlengthmacro{\r}{0.1*min(\ha, \hb, \hc)*1cm} %
\pgfmathsetmacro{\Phi}{20} %
%\pgfmathsetmacro{\Xi}{\Phi+33} %  \Phi+9
% Verlängerungsfaktoren
\pgfmathsetmacro{\M}{1} %
\pgfmathsetmacro{\vSchenkelOben}{\M*2.5} %
\pgfmathsetmacro{\vParalleleNull}{2.1} %
\pgfmathsetmacro{\vParalleleEins}{\M*-0.5} %
\pgfmathsetmacro{\vSchenkelNeu}{\M*6} %
\pgfmathsetmacro{\vParalleleZwei}{\M*-1.3} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
%rotate=180-\Alpha,  x=-1cm, y=-1cm,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1, densely dashed},
extended line/.default=7mm,
para/.style={font=\normalsize}
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5);}

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

% Teil I ==============================
% Strahlensatzfigur 1 - Ermittlung von c'
\coordinate[Punkt={left}{}] (S) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (Ss) at (-\Phi:\hc);
\coordinate[Punkt={below}{}] (Sss) at (-\Phi:\hc+\hb);
\draw[shorten >=-5mm] (S) -- (Sss);

\path[] (S) -- (Ss) node[midway, below]{$h_c$};
% Bogen....
\path[] (Ss) -- (Sss) node[midway, below]{$h_b$};
% Bogen....

\coordinate[Punkt={anchor=north east}{A'=A}] (A) at (\ha,0);
\path[] (S) -- (A) node[midway, above]{$h_a$};
% Bogen ....

% Parallele 0
% 1/2
\draw[extended line] (Ss) -- (A) node[near start, sloped, para] {$\parallel_{{}_0}$};
% 2/2
\pgfmathsetmacro{\v}{\vParalleleNull} %
\draw [extended line, name path=ParalleleNull] (Sss) -- +($\v*(A)-\v*(Ss)$)  node[near start, sloped, para] {$\parallel_{{}_0}$};
% Schnittpunk C'
\pgfmathsetmacro{\v}{\vSchenkelOben} % Horizontale
\draw[shorten >=-5mm, name path=SchenkelOben] (S) -- ($\v*(A)$) coordinate[](Bss);
\path[name intersections={of=SchenkelOben and ParalleleNull, name=Bs}];
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B'}] (Bs) at (Bs-1);
\draw[thick] (A) -- (Bs) node[midway, above]{$c'$};

% Bögen
% Polarkoordinaten des Punktes A im Bezug auf Zentrum S
\path let
\p0 = (S), % Zentrum
\p1 = (A),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{S}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen
% Polarkoordinaten des Punktes Ss im Bezug auf Zentrum S
\path let
\p0 = (S), % Zentrum
\p1 = (Ss),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{S}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen
% Polarkoordinaten des Punktes Sss im Bezug auf Zentrum Ss
\path let
\p0 = (Ss), % Zentrum
\p1 = (Sss),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{Ss}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen
% ======================================




%
%% Teil II ==============================
%% Punkt C'
%\path[name path=kreisA] (A) circle[radius=\ha];
%\path[name path=kreisBs] (Bs) circle[radius=\hb];
%\path[name intersections={of=kreisA and kreisBs, name=Cs}];
%\coordinate[Punkt={above=7pt}{C'}] (Cs) at (Cs-1);
%% Polarkoordinaten des Punktes Cs im Bezug auf Zentrum A
%\path let
%\p0 = (A), % Zentrum
%\p1 = (Cs),
%\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
%in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
%\Bogen[]{A}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen.
%% Polarkoordinaten des Punktes Cs im Bezug auf Zentrum Bs
%\path let
%\p0 = (Bs), % Zentrum
%\p1 = (Cs),
%\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
%in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
%\Bogen[]{Bs}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen.
%
%
%% =>  Neuer Schenkel
%\pgfmathsetmacro{\v}{\vSchenkelNeu} %
%\draw[shorten >=-5mm, name path=SchenkelNeu] (A) -- ($(A)!\v cm!(Cs)$) coordinate[label=] (Ass);
%% Annotation
%\path[] (A) -- (Cs) node[midway, below, sloped]{$b'=h_a$};
%
%% Punkt C
%% Parallele 1
%%Abstand  hc
%\draw[latex-latex] (Bss) -- ($(Bss)!\hc cm!-90:(Bs)$) coordinate[] (Bsss) node[midway, right]{$h_c$};
%% Parallele zeichnen
%\pgfmathsetmacro{\v}{\vParalleleEins} %
%\draw [extended line, name path=ParalleleEins] (Bsss) -- +($\v*(Bss)+\v*(A)$)  node[pos=0.065, sloped, para] {$\parallel_{{}_1}$};
%\path[draw=none] (Bs) -- (Bss) node[near end, sloped, para] {$\parallel_{{}_1}$};
%
%% Punkt C finden
%\path[name intersections={of=SchenkelNeu and ParalleleEins, name=C}];
%\coordinate[Punkt={above=3pt}{C}] (C) at (C-1);
%% Annotation
%\draw[] (Bs) -- (Cs) node[midway, below, sloped]{$a'=h_b$};
%%Bogen ? oder oben schon....
%%\draw[red] (Cs) -- ($(Cs)!\hc cm!(Bs)$); % Test
%
%% Punkt B
%% Parallele 2
%% 1/2
%\draw[extended line=20mm] (Cs) -- (Bs) node[pos=1.3, sloped, para] {$\parallel_{{}_2}$};
%% 2/2  -->  Punkt A finden
%\pgfmathsetmacro{\v}{\vParalleleZwei} %
%\draw [extended line=10mm, name path=ParalleleZwei] (C) -- +($\v*(Cs)-\v*(Bs)$) coordinate(B) node[pos=1.1, sloped, para] {$\parallel_{{}_2}$};
%\path[name intersections={of=SchenkelOben and ParalleleZwei, name=B}];
%\coordinate[Punkt={below=3pt}{B}] (B) at (B-1);
%% ======================================
%
%% Dreieck zeichnen
%\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
%
%% Punkte zeichnen II
%\foreach \P in {Cs, C, B}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

%% Punkte zeichnen I
\foreach \P in {S,Ss,Sss, A, Bs}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);






%% Annotationspunkte anzeigen
%\foreach \P in {S,Ss,Sss, Bs, Cs, Css, Csss, Ass}
%\fill[blue] (\P) circle (1.75pt) node[below] at (\P) {\P};


%% Test
%\draw[red] (B) -- ($(B)!\a cm!(C)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\b cm!(C)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\c cm!(B)$);
%
%
%% Annotationen
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of annotationen, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%%PosUnten,
%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%h_a = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\ha} \text{ cm}  &  \\
%h_b = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\hb} \text{ cm}  & (1) \\
%h_c = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\hc} \text{ cm}  & (3) \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (4) \\
%\gamma= \Gamma^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

\end{tikzpicture}
</math>
(1) Konstruktion des Hilfsdreiecks <math>A'B'C'.</math>
Der Punkt <math>C'</math> ergibt sich als Schnittpunkt der Kreise <math>
\bigodot(A',b') =: \bigodot(A,h_a)
</math> und <math>
\bigodot(B',a') =: \bigodot(B',h_b)
</math>, so dass (nach Konvention) <math>A'B'C'</math> im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden.

(2) Konstruktion des gesuchten Dreiecks <math>ABC.</math>

(2a) Der Punkt <math>C</math> liegt
     1. auf der Geraden durch <math>AC'</math> und
     2. auf der Parallelen zu <math>AB'</math> im Abstand <math>h_c.</math>

(2b) Der Punkt <math>B</math> liegt
     1. auf der Geraden durch <math>AB'</math> und
     2. auf der Parallelen zu <math>B'C'</math> durch <math>C.</math>
<math>% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\m}{0.4} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{\m*10.5} %
\pgfmathsetmacro{\hb}{\m*12} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{\m*12.5} %

\pgfmathsetmacro{\h}{1/(1/\ha+1/\hb+1/\hc)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{\h^2*sqrt( (\ha*\hb*\hc)/
((\ha-2*\h)*(\hb-2*\h)*(\hc-2*\h))  )} %

% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\F/\ha} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\F/\hb} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\F/\hc} %

\pgfmathsetmacro{\k}{0.6} %
\pgfmathsetmacro{\as}{\k*\a} %
\pgfmathsetmacro{\bs}{\k*\b} %
\pgfmathsetmacro{\cs}{\k*\c} %

% Innenwinkel
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Alpha-\Beta} %

% Hilfsgrößen
\pgfmathsetlengthmacro{\r}{0.1*min(\ha, \hb, \hc)*1cm} %
\pgfmathsetmacro{\Phi}{20} %
%\pgfmathsetmacro{\Xi}{\Phi+33} %  \Phi+9
% Verlängerungsfaktoren
\pgfmathsetmacro{\M}{1} %
\pgfmathsetmacro{\vSchenkelOben}{\M*2.5} %
\pgfmathsetmacro{\vParalleleNull}{2.1} %
\pgfmathsetmacro{\vParalleleEins}{\M*-0.5} %
\pgfmathsetmacro{\vSchenkelNeu}{\M*6} %
\pgfmathsetmacro{\vParalleleZwei}{\M*-1.3} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
%rotate=180-\Alpha,  x=-1cm, y=-1cm,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1, densely dashed},
extended line/.default=7mm,
para/.style={font=\normalsize}
]

% \Bogen[Optionen]{Zentrum}{Startwinkel}{Stopwinkel}{Radius}
\newcommand\Bogen[5][]{
\draw[#1] ([shift=(#3:#5)]#2) arc (#3:#4:#5);}

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

% Teil I ==============================
% Strahlensatzfigur 1 - Ermittlung von c'
\coordinate[Punkt={left}{}] (S) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{}] (Ss) at (-\Phi:\hc);
\coordinate[Punkt={below}{}] (Sss) at (-\Phi:\hc+\hb);
\draw[shorten >=-5mm] (S) -- (Sss);

\path[] (S) -- (Ss) node[midway, below]{$h_c$};
% Bogen....
\path[] (Ss) -- (Sss) node[midway, below]{$h_b$};
% Bogen....

\coordinate[Punkt={anchor=north east}{A'=A}] (A) at (\ha,0);
\path[] (S) -- (A) node[midway, above]{$h_a$};
% Bogen ....

% Parallele 0
% 1/2
\draw[extended line] (Ss) -- (A) node[near start, sloped, para] {$\parallel_{{}_0}$};
% 2/2
\pgfmathsetmacro{\v}{\vParalleleNull} %
\draw [extended line, name path=ParalleleNull] (Sss) -- +($\v*(A)-\v*(Ss)$)  node[near start, sloped, para] {$\parallel_{{}_0}$};
% Schnittpunk C'
\pgfmathsetmacro{\v}{\vSchenkelOben} % Horizontale
\draw[shorten >=-5mm, name path=SchenkelOben] (S) -- ($\v*(A)$) coordinate[](Bss);
\path[name intersections={of=SchenkelOben and ParalleleNull, name=Bs}];
\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B'}] (Bs) at (Bs-1);
\draw[thick] (A) -- (Bs) node[midway, above]{$c'$};

% Bögen
% Polarkoordinaten des Punktes A im Bezug auf Zentrum S
\path let
\p0 = (S), % Zentrum
\p1 = (A),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{S}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen
% Polarkoordinaten des Punktes Ss im Bezug auf Zentrum S
\path let
\p0 = (S), % Zentrum
\p1 = (Ss),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{S}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen
% Polarkoordinaten des Punktes Sss im Bezug auf Zentrum Ss
\path let
\p0 = (Ss), % Zentrum
\p1 = (Sss),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{Ss}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen
% ======================================





% Teil II ==============================
% Punkt C'
\path[name path=kreisA] (A) circle[radius=\ha];
\path[name path=kreisBs] (Bs) circle[radius=\hb];
\path[name intersections={of=kreisA and kreisBs, name=Cs}];
\coordinate[Punkt={above=7pt}{C'}] (Cs) at (Cs-1);
% Polarkoordinaten des Punktes Cs im Bezug auf Zentrum A
\path let
\p0 = (A), % Zentrum
\p1 = (Cs),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{A}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen.
% Polarkoordinaten des Punktes Cs im Bezug auf Zentrum Bs
\path let
\p0 = (Bs), % Zentrum
\p1 = (Cs),
\n1 = {veclen(\y1-\y0,\x1-\x0)},    \n2={atan2(\y1-\y0,\x1-\x0)}
in    [savevalue={\Radius}{\n1}, savevalue={\winkel}{\n2}];
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\winkel} % 'pt' abstreifen
\Bogen[]{Bs}{\Winkel+8}{\Winkel-8}{\Radius}% zeichnen.


% =>  Neuer Schenkel
\pgfmathsetmacro{\v}{\vSchenkelNeu} %
\draw[shorten >=-5mm, name path=SchenkelNeu] (A) -- ($(A)!\v cm!(Cs)$) coordinate[label=] (Ass);
% Annotation
\path[] (A) -- (Cs) node[midway, below, sloped]{$b'=h_a$};

% Punkt C
% Parallele 1
%Abstand  hc
\draw[latex-latex] (Bss) -- ($(Bss)!\hc cm!-90:(Bs)$) coordinate[] (Bsss) node[midway, right]{$h_c$};
% Parallele zeichnen
\pgfmathsetmacro{\v}{\vParalleleEins} %
\draw [extended line, name path=ParalleleEins] (Bsss) -- +($\v*(Bss)+\v*(A)$)  node[pos=0.065, sloped, para] {$\parallel_{{}_1}$};
\path[draw=none] (Bs) -- (Bss) node[near end, sloped, para] {$\parallel_{{}_1}$};

% Punkt C finden
\path[name intersections={of=SchenkelNeu and ParalleleEins, name=C}];
\coordinate[Punkt={above=3pt}{C}] (C) at (C-1);
% Annotation
\draw[] (Bs) -- (Cs) node[midway, below, sloped]{$a'=h_b$};
%Bogen ? oder oben schon....
%\draw[red] (Cs) -- ($(Cs)!\hc cm!(Bs)$); % Test

% Punkt B
% Parallele 2
% 1/2
\draw[extended line=20mm] (Cs) -- (Bs) node[pos=1.3, sloped, para] {$\parallel_{{}_2}$};
% 2/2  -->  Punkt A finden
\pgfmathsetmacro{\v}{\vParalleleZwei} %
\draw [extended line=10mm, name path=ParalleleZwei] (C) -- +($\v*(Cs)-\v*(Bs)$) coordinate(B) node[pos=1.1, sloped, para] {$\parallel_{{}_2}$};
\path[name intersections={of=SchenkelOben and ParalleleZwei, name=B}];
\coordinate[Punkt={below=3pt}{B}] (B) at (B-1);
% ======================================

% Dreieck zeichnen
\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) -- cycle;

% Punkte zeichnen II
\foreach \P in {Cs, C, B}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

%% Punkte zeichnen I
\foreach \P in {S,Ss,Sss, A, Bs}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);






%% Annotationspunkte anzeigen
%\foreach \P in {S,Ss,Sss, Bs, Cs, Css, Csss, Ass}
%\fill[blue] (\P) circle (1.75pt) node[below] at (\P) {\P};


%% Test
%\draw[red] (B) -- ($(B)!\a cm!(C)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\b cm!(C)$);
%\draw[red] (A) -- ($(A)!\c cm!(B)$);
%
%
%% Annotationen
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of annotationen, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%%PosUnten,
%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%h_a = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\ha} \text{ cm}  &  \\
%h_b = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\hb} \text{ cm}  & (1) \\
%h_c = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\hc} \text{ cm}  & (3) \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%\beta = \Beta^\circ    & (4) \\
%\gamma= \Gamma^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};

\end{tikzpicture}
</math>


(b) Gib Bedingungen für die Konstruktion an: Siehe Beitrag No.2
Siehe Beitrag No.2



(c) Die Seiten und die Innenwinkel ist ein bisschen viel zu schreiben, daher extra.





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(c) Berechne die Seitenlängen <math>a,\,b,\,c</math> sowie die Innenwinkel <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma</math> aus den gegebenen Größen <math>h_a,\,h_b,\,h_c</math>.

· Seitenlängen.

Nach der Flächenformel ist
<math>2A = a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c</math>.

Sei ferner <math>
s = \dfrac{a+b+c}{2}
</math> der halbe Dreiecksumfang.
Dann ist
<math>
\begin{array}{l l}
2s = a+b+c
&=
\dfrac{2A}{h_a} + \dfrac{2A}{h_b} + \dfrac{2A}{h_c} \\[1em]
&=
2A \cdot \underbrace{\left(\dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}\right)}_{=: \frac1\rho} \\[1em]
&=
\dfrac{2A}{\rho}
\end{array}
</math>

Also <math>\underline{
s = \dfrac{A}{\rho}   }, </math> mit der Abkürzung <math>
\underline{
\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}   }.
</math>


Nach der Heronschen Formel ist <math>
A = \sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)  }.
</math>
Beweis.
Für den halben Dreiecksumfang  <math>s := \dfrac{a+b+c}{2}</math>  gelten die Beziehungen
<math>s-a=\dfrac{b+c-a}{2}</math>,    <math>s-b=\dfrac{a+c-b}{2}</math>,    <math>s-c=\dfrac{a+b-c}{2}.</math>

<math>% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{3} %
\pgfmathsetmacro{\b}{4.3} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Höhe einzeichnen
\draw[red] (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={right}{}] (Hc);
% Winkel
\draw pic [angle radius=0.1*\a cm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$", red
] {angle =C--Hc--A};

% Seiten
\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};

\path[red] (A) -- (Hc) node[midway, above]{$p$};
\path[red] (B) -- (Hc) node[midway, above]{$c-p$};
\path[red] (C) -- (Hc) node[midway, left]{$h$};


%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [angle radius=7mm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =R--Q--P};
%
%
%% Annotationen
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};
%


%% Punkte
%\foreach \P in {Ma}
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (2pt);

\end{tikzpicture}
</math>

Aus der Figur entliest man <math>
b^2=h^2+p^2</math> und <math>
a^2=h^2+(c-p)^2.</math>

<math>\Rightarrow~ a^2-b^2=c^2-2cp
~\Leftrightarrow~
p = \dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2c}
</math>

<math>\begin{array}{l l l}
\Rightarrow~ h^2 = b^2-p^2
&=
b^2 - \left(\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2c} \right) \\[1em]
&=
\left(b+\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2c} \right) \cdot
\left(b-\dfrac{-a^2+b^2+c^2}{2c} \right) &{}\hspace{1cm}\textsf{[3. binom. Formel]} \\[1em]
&=
\dfrac{2bc-a^2+b^2+c^2}{2c} \cdot \dfrac{2bc+a^2-b^2-c^2}{2c} \\[1em]
&=
\dfrac{(b+c)^2-a^2}{2c} \cdot \dfrac{a^2-(b-c)^2}{2c} &{}\hspace{1cm}\textsf{[1./2. binom. Formel]} \\[1em]
&=
\dfrac{(b+c+a)(b+c-a)}{2c} \cdot \dfrac{(a-b+c)(a+b-c)}{2c} &{}\hspace{1cm}\textsf{[3. binom. Formel]} \\[1em]
&=
\dfrac{2s\cdot 2(s-a)}{2c} \cdot \dfrac{2(s-b)\cdot 2(s-c)}{2c} \\[1em]
&=
\dfrac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}
\end{array}
</math>

Damit wird mit der Flächenformel
<math>
A^2 = \dfrac{c^2}{4} \cdot h^2
= s(s-a)(s-b)(s-c)
</math>


<math>\Rightarrow \boxed{
~%\rule{0pt}{1.5em}\rule[-0.5em]{0pt}{1.5em}
A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
~\text{ mit } s=\dfrac{a+b+c}{2}
~}
</math>     (Heronsche Formel)


Damit wird
<math>\begin{array}{l l}
A^2 &= s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)  \\[1em]
&=
\dfrac{A}{\rho}
\left(\dfrac{A}{\rho} - \dfrac{2A}{h_a} \right)
\left(\dfrac{A}{\rho} - \dfrac{2A}{h_b} \right)
\left(\dfrac{A}{\rho} - \dfrac{2A}{h_c} \right) \\[1em]
&=
\dfrac{A^4}{\rho^4}
\left(1 - \dfrac{2\rho}{h_a} \right)
\left(1 - \dfrac{2\rho}{h_b} \right)
\left(1 - \dfrac{2\rho}{h_c} \right) \\[1.5em]
&=
\dfrac{A^4}{\rho^4}
\cdot \dfrac{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}{h_a\, h_b\, h_c}
\end{array}
</math>

Also berechnet sich der Flächeninhalt zu

<math>\boxed{
A = \rho^2 \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   }
\hspace{5mm}\text{mit}\hspace{3mm}
\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}
}
</math>

Anmerkung: Speziell für den Umfang ergibt sich  <math>
2s
= \dfrac{2A}{\rho}
= 2 \rho \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   }.
</math>


Für die Seitenlängen <math>
a = \dfrac{2A}{h_a}</math>, <math>
b = \dfrac{2A}{h_b}</math>, <math>
c = \dfrac{2A}{h_c}</math> wird also

<math>\boxed{%
\begin{array}{l}
\\[0.5em]
a =  \dfrac{2\rho^2}{h_a} \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   } \\[2em]


b =  \dfrac{2\rho^2}{h_b} \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   } \\[2em]


c =  \dfrac{2\rho^2}{h_c} \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   }
\\[2em]
\text{ mit }~
\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}
\end{array}
}%
</math>

Anmerkung: Die hier auftretende Hilfsgröße <math>\rho</math>, mit <math>
\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}
</math>, ist im Übrigen der Inkreisradius des Dreiecks mit den Seiten <math>a,b,c</math>.
Beweis.
Es ist <math>A = \rho\cdot s
~\text{ mit }~
s = \dfrac{a+b+c}{2}.
</math>

Dies folgt sofort aus der Flächenbilanz <math>
A
=
\dfrac{a\cdot \rho}{2} + \dfrac{b\cdot \rho}{2} + \dfrac{c\cdot \rho}{2}
=
\rho\cdot \left( \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{2} \right)
</math>

<math>
\Rightarrow~ A
= \rho\cdot s = \rho\cdot \dfrac{a+b+c}{2}
= \rho\cdot \dfrac{\dfrac{2A}{h_a}+\dfrac{2A}{h_b}+\dfrac{2A}{h_c}}{2}
</math>

<math>\Leftrightarrow~
1 = \rho\cdot \left(  \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}   \right).
</math>

<math>
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6} %

% Inkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};
\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$};

% Inkreis
\pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} %
\pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} %
\pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} %
\coordinate[Punkt={above=4pt}{}] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$);

\draw[thick] (I) circle[radius=\r];
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (I) -- (\P);
% Radien
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(B)$) coordinate(Ic) node[midway, right]{$\rho$};
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(C)$) coordinate(Ia) node[midway, below]{$\rho$};
\draw[] (I) -- ($(B)!(I)!(C)$) coordinate(Ib) node[midway, below]{$\rho$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =A--Ia--I};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =I--Ib--B};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =I--Ic--A};


%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [angle radius=7mm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =R--Q--P};


%% Annotationen
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};



%% Punkte
\foreach \P in {I}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>



· Innenwinkel.

Nach dem Kosinussatz gilt u.a.

<math>\begin{array}{l l}
\cos(\alpha)
=
\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}
&=
\dfrac{\dfrac{4A^2}{h_b^2}+\dfrac{4A^2}{h_c^2}-\dfrac{4A^2}{h_a^2}}{2\cdot \dfrac{2A}{h_b} \cdot \dfrac{2A}{h_c}} \\[2.5em]
&=
\dfrac{4A^2\cdot\left(\dfrac{1}{h_b^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-\dfrac{1}{h_a^2}\right)}{4A^2\cdot \dfrac{2}{h_b\cdot h_c}} \\[3em]
&=
\dfrac{h_b\cdot h_c}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{h_b^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-\dfrac{1}{h_a^2}\right)
\end{array}
</math>


Für die Innenwinkel wird also
<math>\boxed{%
\begin{array}{l}
\\[0.5em]
\cos(\alpha)
=  \dfrac{h_b\cdot h_c}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{h_b^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-\dfrac{1}{h_a^2}\right)    \\[2em]

\cos(\beta)
=  \dfrac{h_a\cdot h_c}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{h_a^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-\dfrac{1}{h_b^2}\right)    \\[2em]


\cos(\gamma)
=  \dfrac{h_a\cdot h_b}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{h_a^2}+\dfrac{1}{h_b^2}-\dfrac{1}{h_c^2}\right)    \\[0.5em]
{}
\end{array}
}%
</math>


Beispiel.
<math>
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\m}{0.4} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{\m*10.5} %
\pgfmathsetmacro{\hb}{\m*12} %
\pgfmathsetmacro{\hc}{\m*12.5} %

\pgfmathsetmacro{\h}{1/(1/\ha+1/\hb+1/\hc)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{\h^2*sqrt( (\ha*\hb*\hc)/
((\ha-2*\h)*(\hb-2*\h)*(\hc-2*\h))  )} %

% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\F/\ha} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\F/\hb} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\F/\hc} %

\pgfmathsetmacro{\k}{\ha/\c} %  0.6
\pgfmathsetmacro{\as}{\k*\a} %
\pgfmathsetmacro{\bs}{\k*\b} %
\pgfmathsetmacro{\cs}{\k*\c} %

% Innenwinkel
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{180-\Alpha-\Beta} %

\pgfmathsetlengthmacro{\r}{0.1*min(\ha, \hb, \hc)*1cm} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1, densely dashed,  },
extended line/.default=1cm
]

% Dreieck ABC
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above=5pt}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[thick, local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
%\path[] (A) -- (B) node[near end, below]{$c$};
%\path[] (A) -- (C) node[near end, left]{$b$};
%\path[] (B) -- (C) node[near start, right]{$a$};

%% Dreieck A'B'C'
%\coordinate[Punkt={left}{}] (As) at (0,0);
%\coordinate[Punkt={anchor=north east}{B'}] (Bs) at (\cs,0);
%\coordinate[Punkt={left}{C'}] (Cs) at (\Alpha:\bs);
%\draw[thick] (As) -- (Bs) -- (Cs) --cycle; %  Dreieck  zeichnen
%
%% Parallele 1
%% Hilfslinien
%\draw[densely dashed, shorten >=-11mm] (A) -- (B);
%\draw[densely dashed, shorten >=-11mm] (A) -- (C);
%% Parallele
%\draw [extended line=7mm] (C) -- +($1.0*(Bs)-(A)$) coordinate(Cp) node[very near end, sloped] {$\parallel_{{}_1}$};
%%
%\path[] (A) -- (B) node[pos=1.1, sloped] {$\parallel_{{}_1}$};
%% Abstand
%\draw[latex-latex]  (Cp) -- ($(A)!(Cp)!(B)$) coordinate (Cps) node[midway, left] {$h_c$};
%%\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
%%draw,   "$\cdot$"
%%] {angle =C--Cp--B};
%%\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
%%draw,   "$\cdot$"
%%] {angle =A--Cps--Cp};
%% Parallele 2
%\draw[densely dashed, extended line=5mm] (Bs) -- (Cs) node[near start, sloped] {$\parallel_{{}_2}$};
%\draw[densely dashed, extended line=5mm] (B) -- (C) node[near start, sloped] {$\parallel_{{}_2}$};


% Höhen einzeichnen
% ha
\draw[] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha)node[near end, above] {$h_a$};
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Ha) -- (C);
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Ha--B};
% hb
\draw[]  (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{H_b}] (Hb) node[midway, below] {$h_b$};
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Hb) -- (A);
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};
% hc
\draw[]  (C) -- ($(A)!(C)!(B)$) coordinate[Punkt={below}{H_c}] (Hc) node[midway, left] {$h_c$};
\draw[densely dashed, very thin, shorten <= -3mm] (Hc) -- (A);
\draw pic [angle radius=\r, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hc--C};



%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\ha, \hb,\hc)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}, local bounding box=annotationen]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {ha/h_a, hb/h_b,hc/h_c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%%% Winkel
%%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%%\draw pic [angle radius=7mm,
%%"$\alpha$", draw,
%%] {angle =R--Q--P};
%\end{scope}


% Annotationen
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of annotationen, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-30mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
PosLinks,
]{
$\begin{array}{l}
h_a = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\ha} \text{ cm}    \\
h_b = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\hb} \text{ cm}   \\
h_c = \pgfmathprintnumber[precision=2, fixed, fixed zerofill]{\hc} \text{ cm}  \\ \hline
a = \a \text{ cm}    \\
b = \b \text{ cm}   \\
c = \c \text{ cm}   \\
\alpha = \Alpha^\circ     \\
\beta = \Beta^\circ     \\
\gamma= \Gamma^\circ     \\
%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};



% Punkte
\foreach \P in {Ha,Hb,Hc}   % As, Bs, Cs, Hc, B, C
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>



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Newbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


2019-03-18 21:40 - Caban in Beitrag No. 1 schreibt:
Über die Höhen und die Sinusbeziehung am rechtwinkligem Dreieck dann die Seiten.

Liegt nahe, ist auch einfacher zu rechnen.
Problematisch dabei ist, dass der Sinus seinen Hauptzweig über <math>
[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]
</math> hat; was bei entsprechender Umkehrung mit dem Arkussinus zu Fallunterscheidungen (im Grunde stumpfer Winkel / spitzer Winkel) führen kann (siehe dazu auch hier).

Daher in No.5 auch der beschwerlichere Weg über den Kosinus, der seinen Hauptzweig über <math>[0,\pi]</math> hat.





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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-03-20


Hallo

Die Sinusbeziehung beim rechtwinkligem Dreieck ist immer eindeutig.

gruß Caban



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Newbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-20


2019-03-20 19:09 - Caban in Beitrag No. 7 schreibt:
Die Sinusbeziehung beim rechtwinkligem Dreieck ist immer eindeutig.

Das stimmt.
Ich war gedanklich schon bei den Innenwinkeln.

Irgendwo hatte ich mit einem Dreiecksrechner zwei Lösungen. Dann habe ich alles mit dem Kosinus umgeschrieben.



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Newbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


2019-03-20 12:09 - Newbert in Beitrag No. 5 schreibt:
(c) Berechne die Seitenlängen <math>a,\,b,\,c</math> sowie die Innenwinkel <math>\alpha,\,\beta,\,\gamma</math> aus den gegebenen Größen <math>h_a,\,h_b,\,h_c</math>.

· Seitenlängen.

Nach der Flächenformel ist
<math>2A = a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c</math>.

Sei ferner <math>
s = \dfrac{a+b+c}{2}
</math> der halbe Dreiecksumfang.
Dann ist
<math>
\begin{array}{l l}
2s = a+b+c
&=
\dfrac{2A}{h_a} + \dfrac{2A}{h_b} + \dfrac{2A}{h_c} \\[1em]
&=
2A \cdot \underbrace{\left(\dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}\right)}_{=: \frac1\rho} \\[1em]
&=
\dfrac{2A}{\rho}
\end{array}
</math>

Also <math>\underline{
s = \dfrac{A}{\rho}   }, </math> mit der Abkürzung <math>
\underline{
\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}   }.
</math>


Nach der Heronschen Formel ist <math>
A = \sqrt{s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)  }.
</math>

Damit wird
<math>\begin{array}{l l}
A^2 &= s\cdot(s-a)\cdot(s-b)\cdot(s-c)  \\[1em]
&=
\dfrac{A}{\rho}
\left(\dfrac{A}{\rho} - \dfrac{2A}{h_a} \right)
\left(\dfrac{A}{\rho} - \dfrac{2A}{h_b} \right)
\left(\dfrac{A}{\rho} - \dfrac{2A}{h_c} \right) \\[1em]
&=
\dfrac{A^4}{\rho^4}
\left(1 - \dfrac{2\rho}{h_a} \right)
\left(1 - \dfrac{2\rho}{h_b} \right)
\left(1 - \dfrac{2\rho}{h_c} \right) \\[1.5em]
&=
\dfrac{A^4}{\rho^4}
\cdot \dfrac{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}{h_a\, h_b\, h_c}
\end{array}
</math>

Also berechnet sich der Flächeninhalt zu

<math>\boxed{
A = \rho^2 \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   }
\hspace{5mm}\text{mit}\hspace{3mm}
\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}
}
</math>

Anmerkung: Speziell für den Umfang ergibt sich  <math>
2s
= \dfrac{2A}{\rho}
= 2 \rho \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   }.
</math>


Für die Seitenlängen <math>
a = \dfrac{2A}{h_a}</math>, <math>
b = \dfrac{2A}{h_b}</math>, <math>
c = \dfrac{2A}{h_c}</math> wird also

<math>\boxed{%
\begin{array}{l}
\\[0.5em]
a =  \dfrac{2\rho^2}{h_a} \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   } \\[2em]


b =  \dfrac{2\rho^2}{h_b} \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   } \\[2em]


c =  \dfrac{2\rho^2}{h_c} \sqrt{\dfrac{h_a\, h_b\, h_c}{(h_a-2\rho)(h_b-2\rho)(h_c-2\rho)}   }
\\[2em]
\text{ mit }~
\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}
\end{array}
}%
</math>

Anmerkung: Die hier auftretende Hilfsgröße <math>\rho</math>, mit <math>
\dfrac{1}{\rho}= \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}
</math>, ist im Übrigen der Inkreisradius des Dreiecks mit den Seiten <math>a,b,c</math>.
Beweis.
Es ist <math>A = \rho\cdot s
~\text{ mit }~
s = \dfrac{a+b+c}{2}.
</math> Dies folgt sofort aus der Flächenbilanz <math>
A
=
\dfrac{a\cdot \rho}{2} + \dfrac{b\cdot \rho}{2} + \dfrac{c\cdot \rho}{2}
=
\rho\cdot \left( \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2} + \dfrac{c}{2} \right)
</math> <math>
\Rightarrow~ A
= \rho\cdot s = \rho\cdot \dfrac{a+b+c}{2}
= \rho\cdot \dfrac{\dfrac{2A}{h_a}+\dfrac{2A}{h_b}+\dfrac{2A}{h_c}}{2}
</math> <math>\Leftrightarrow~
1 = \rho\cdot \left(  \dfrac{1}{h_a} + \dfrac{1}{h_b} + \dfrac{1}{h_c}   \right).
</math> <math>
% Seitenlängen
\pgfmathsetmacro{\a}{4} %
\pgfmathsetmacro{\b}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{6} %

% Inkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
\pgfmathsetmacro{\r}{\F/\s} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen
\path[] (A) -- (C) node[midway, left]{$b$};
\path[] (B) -- (C) node[midway, right]{$a$};
\path[] (A) -- (B) node[midway, below]{$c$};

% Inkreis
\pgfmathsetmacro{\ai}{\a/(2*\s)} %
\pgfmathsetmacro{\bi}{\b/(2*\s)} %
\pgfmathsetmacro{\ci}{\c/(2*\s)} %
\coordinate[Punkt={above=4pt}{}] (I) at ($\ai*(A)+\bi*(B)+\ci*(C)$);

\draw[thick] (I) circle[radius=\r];
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (I) -- (\P);
% Radien
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(B)$) coordinate(Ic) node[midway, right]{$\rho$};
\draw[] (I) -- ($(A)!(I)!(C)$) coordinate(Ia) node[midway, below]{$\rho$};
\draw[] (I) -- ($(B)!(I)!(C)$) coordinate(Ib) node[midway, below]{$\rho$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =A--Ia--I};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =I--Ib--B};
\draw pic [angle radius=3mm,
"$\cdot$", draw,
] {angle =I--Ic--A};


%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {a/a,b/b,c/c}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\AlphaXShift}{\Alpha > 90 ? -cos(\Alpha) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\AlphaXShift,-12mm)$)}] (\Alpha:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
%\draw pic [angle radius=7mm,
%"$\alpha$", draw,
%] {angle =R--Q--P};


%% Annotationen
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & (1) \\
%c = \c \text{ cm}  & (3) \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & (4) \\
%%\beta = \Beta^\circ    & (5) \\
%%\gamma = \Gamma^\circ    & (2) \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};



%% Punkte
\foreach \P in {I}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>



· Innenwinkel.

Nach dem Kosinussatz gilt u.a.

<math>\begin{array}{l l}
\cos(\alpha)
=
\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot b\cdot c}
&=
\dfrac{\dfrac{4A^2}{h_b^2}+\dfrac{4A^2}{h_c^2}-\dfrac{4A^2}{h_a^2}}{2\cdot \dfrac{2A}{h_b} \cdot \dfrac{2A}{h_c}} \\[2.5em]
&=
\dfrac{4A^2\cdot\left(\dfrac{1}{h_b^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-\dfrac{1}{h_a^2}\right)}{4A^2\cdot \dfrac{2}{h_b\cdot h_c}} \\[3em]
&=
\dfrac{h_b\cdot h_c}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{h_b^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-\dfrac{1}{h_a^2}\right)
\end{array}
</math>


Für die Innenwinkel wird also
<math>\boxed{%
\begin{array}{l}
\\[0.5em]
\cos(\alpha)
=  \dfrac{h_b\cdot h_c}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{h_b^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-\dfrac{1}{h_a^2}\right)    \\[2em]

\cos(\beta)
=  \dfrac{h_a\cdot h_c}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{h_a^2}+\dfrac{1}{h_c^2}-\dfrac{1}{h_b^2}\right)    \\[2em]


\cos(\gamma)
=  \dfrac{h_a\cdot h_b}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{h_a^2}+\dfrac{1}{h_b^2}-\dfrac{1}{h_c^2}\right)    \\[0.5em]
{}
\end{array}
}%
</math>


Es wäre -gegenüber dem Gesagten- denkbar, dass es für die Seitenlängen irgendeine elegante Darstellung mit Termen <math>(h-h_a)</math>, <math>(h-h_b)</math>, <math>(h-h_b)</math> gibt, wobei hier <math>h =\dfrac{h_a+h_b+h_c}{2}</math> ist.

Vielleicht das noch als Herausforderung.




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Caban
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-03-21


Hallo

Ich denke nicht, dass das der Fall ist, selbst im rechtwinkligem Fall muss eine Wurzel dabei sein.

gruß Caban



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Newbert
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-21


2019-03-21 23:29 - Caban in Beitrag No. 10 schreibt:
... muss eine Wurzel dabei sein.

Habe ich nicht ausgeschlossen. ;)

Ich meinte sowas wie die Heronformel.




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Caban
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