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Mathematik » Stochastik und Statistik » Spektraler Radius - Abschätzung für Produkt zweier substochastischer Matrizen
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Universität/Hochschule Spektraler Radius - Abschätzung für Produkt zweier substochastischer Matrizen
kevkos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-03-25


Hallo zusammen,

ich suche nach einer guten Abschätzung nach oben und nach unten für den spekatralen Radius fed-Code einblenden eines Matrixprodukts aus beliebig vielen substoachstischen Matrizen.

Bsp.: Seien die n x n Matrizen A und B substochastisch (Zeilensummen sind alle >0 und <1).

Dann ist :

fed-Code einblenden

Hat vielleicht jemand eine Beschreibung der Grenzen parat, die möglichst nahe am gesuchten spektralen Radius liegen?

 



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kevkos
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Mitteilungen: 11
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-25


Sofern ich rausfinden konnte, sind die naheliegendesten Grenzen die kleinste bzw. größte Zeilensumme der Matrix AB.



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-03-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo kevkos,

für diagonalisierbare Matrizen kommt $\rho(A)\rho(B)$ als obere Grenze in Frage, wobei die Abschätzung nicht besonders gut sein muss (zum Beispiel bei $A=\operatorname{diag}(1,0), B=\operatorname{diag}(0,1)$ ist die Abschätzung sehr schlecht). Das Produkt der Beträge der betragsmäßig kleinsten Eigenwerte wäre eine analoge Abschätzung nach unten.
\(\endgroup\)


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kevkos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-03-25


Hi Vercassivelaunos,

danke für den Tip. Sind diese Abschätzungen auch für mehr als zwei Matrizen, gültig? Z.B. mit einer zusätzlichen Matrix C:

fed-Code einblenden



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Vercassivelaunos
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 272
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-03-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Zumindest wenn alle drei diagonalisierbar sind gilt das. Eine weitere Abschätzung: wenn $\Vert\cdot\Vert$ eine Matrixnorm ist, dann ist $\rho(A)\leq\Vert A\Vert$. Da es auch submultiplikative Matrixnormen gibt (also $\Vert AB\Vert\leq\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert$) kann man sich eine solche auswählen und abschätzen:$\rho(AB)\leq\Vert AB\Vert\leq\Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert$.

Edit: Wobei allgemein eine gute Abschätzung schwierig wird, da man Matrizen mit beliebigem Spektralradius finden kann, deren Produkt den Spektralradius 0 hat.
\(\endgroup\)


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