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Analysis » Stetigkeit » Beweis von Stetigkeit einer Folge
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Universität/Hochschule J Beweis von Stetigkeit einer Folge
Hugenotte585
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.04.2019
Mitteilungen: 10
  Themenstart: 2019-04-10

Hallo! Ich verstehe grundsätzlich was Stetigkeit bedeutet, allerdings fallen mir die Beweise auf Uni Niveau ein wenig schwer. Ich bereite mich zur Zeit auf meine Prüfung vor und kann bei einigen Schritten meiner Übungsleitung leider nicht mithalten. Wir sollen die Stetigkeit der Wurzelfunktion beweisen und meine Lösung dazu war einfach: \[ Definitionsbereich: \mathbb{D} = \left[0, \infty\right) \\\text{Es kann jede Zahl z} \in \mathbb{R}\text{ getroffen werden, indem z =}x^{2} \text{ wählt.} \] Die Lösung der Übungsleitung ist natürlich formaler: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/b/51430_sqrt.png Meine konkreten Fragen dazu sind folgende: 1) Warum ist der Teil bis zu dem "Formal:" nötig? 2) Wie kommt man auf diese Limes Umformungen? 3) Habt ihr Tipps/ ein Muster wie ich an solche Stetigeits-Beweise rangehen kann? (Den "Formalen" Teil des Beweises konnte ich nachvollziehen. Kann man da so grundsätzlich vorgehen?) Vielen Dank falls sich jemand dafür die Zeit nimmt! Liebe Grüße Lukas


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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-10

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\) Hallo Lukas und herzlich Willkommen hier auf Matroids Matheplanet! Ich versuche mich mal an einer schnellen Antwort. Zu 1): Es ist eine Version der Definition von Stetigkeit reeller Funktionen, dass für jedes \(\xi\) aus dem Definitionsbereich und für alle rellen Folgen \(x_n\) mit Grenzwert \(\xi\) die Folge \(f(x_n)\) gegen \(f(\xi)\) strebt. Und genau das wird in dem fraglichen Abschnitt nachgerechnet, mit Ausnahme der Stelle \(x=0\). Zu 2): Für die Gleichheit wird mit dem Term \(\sqrt{x_n}+\sqrt{x}\) erweitert. Die anschließende Abschätzung ist einfach: verkleinert man den Nenner eines (positiven) Bruchs, so vergrößert sich der Bruch selbst. Das wird hier einfach durch Weglassen des Summanden \(\sqrt{x_n}\) erreicht. Zu 3) kann ja vielleicht noch jemand anderes etwas schreiben. Darauf wird in der folgenden Antwort näher eingegangen. :-) Ich hoffe, das hilft dir schonmal ein Stück weiter. Gruß, Diophant \(\endgroup\)


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Conny42
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-10

Huhu Hugenotte, im Teil vor dem "Formal" wird zunächst gezeigt, dass die Wurzelfunktion folgenstetig für $x>0$ ist: Ist $x>0$ und $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine nichtnegative Folge mit $x_n \longrightarrow x$ für $n\longrightarrow \infty$, dann gilt auch $\sqrt{x_n} \longrightarrow \sqrt{x}$ für $n\longrightarrow \infty$. Für die Rechnung wurde im ersten Schritt die binomische Formel $(\sqrt{x_n}-\sqrt{x})\cdot (\sqrt{x_n}+\sqrt{x}) = x_n-x$ verwendet und im zweiten Schritt, dass $\sqrt{x_n}\geq 0$ ist und der Bruch deshalb größer wird, wenn $\sqrt{x_n}$ im Nenner weggelassen wird. Deshalb gilt: $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} |\sqrt{x_n}-\sqrt{x}| = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \dfrac{|\sqrt{x_n}-\sqrt{x}|\cdot (\sqrt{x_n}+\sqrt{x})}{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}} = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \dfrac{|(\sqrt{x_n}-\sqrt{x})\cdot (\sqrt{x_n}+\sqrt{x})|}{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}}$ $\qquad\qquad\qquad\;\;\quad= \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \dfrac{|x_n-x|}{\sqrt{x_n}+\sqrt{x}}$ $\qquad\qquad\qquad\;\;\quad \leq\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \dfrac{|x_n-x|}{\sqrt{x}}$ $\qquad\qquad\qquad\;\;\quad = 0$, wobei im letzten Schritt verwendet wurde, dass $x_n \longrightarrow x$ für $n\longrightarrow \infty$. So können wir natürlich nur vorgehen, wenn $x>0$ ist, da wir sonst durch 0 dividieren würden. Also wurde bis zu dieser Stelle nur die Folgenstetigkeit und damit die Stetigkeit der Wurzelfunktion für $x>0$ gezeigt. Um die Stetigkeit in $x=0$ zu zeigen, muss man eine nichtnegative Folge $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ mit $x_n \longrightarrow 0$ für $n\longrightarrow \infty$ betrachten und zeigen, dass dann auch $\sqrt{x_n} \longrightarrow \sqrt{0}=0$ gilt. Und genau das wird dann in dem Teil nach "Formal" mithilfe der Definition des Grenzwerts einer Folge gezeigt. Und damit ist die Wurzelfunktion dann auch folgenstetig und damit stetig in $x=0$. Bei Aufgaben wie dieser hier ist es meistens am angenehmsten, die Stetigkeit über das Folgenkriterium zu zeigen und nicht mit dem $\varepsilon-\delta$-Kriterium, das man hier natürlich auch verwenden könnte, das aber den Beweis nicht gerade vereinfachen würde ;-) Liebe Grüße, Conny [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Hugenotte585
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-10

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