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Mathematik » Stochastik und Statistik » Fast sichere Konvergenz eines divergenten Integrals
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Universität/Hochschule J Fast sichere Konvergenz eines divergenten Integrals
Discipulus
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.11.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-12


Guten Morgen liebes Mathe-Forum!

Während der Aufarbeitung zu einer meiner Vorlesungen bin ich auf ein kleines Verständnisproblem gestoßen. Und zwar wurde dort die Aussage gemacht, dass ein bestimmtes Integral fast sicher endlich sei, jedoch ist es ganz sicher nicht endlich.

Meines Verständnisses nach bedeutet "fast sicher", dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewisses Ereignis eintritt = 1. Bzw. die Wahrscheinlichkeit, dass es nicht eintritt = 0. Mit anderen Worten, die Menge an Fällen, in dem es nicht eintritt sollte endlich sein, oder?

Und zwar sei \(f(x) = \frac{1}{(1-x)^3}\) für \(x < 1 \). Dann soll gelten:

\(\int_0^1 f(x) dx < \infty \) f.s.

Allerdings ist für \(a \rightarrow 1\)

\(\lim_{a \rightarrow 1} \int_0^a f(x) dx = \lim_{a \rightarrow 1} [\frac{1}{2(1-x)^2}]_0^a = \infty \)

Verstehe ich hier was falsch? Macht das "fast sicher" das Integral endlich? Ich steh irgendwie auf dem Schlauch und hoffe irgendwer kann mir aushelfen!

VG
Discipulus Desperandus



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Orthonom
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Dabei seit: 02.09.2010
Mitteilungen: 538
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-12


Eigentlich sagt man auch nicht, dass ein Integral
fast sicher endlich ist. Es ist entweder endlich,
oder unendlich oder existiert nicht.
Man sagt zum Beispiel eine Funktion wäre fast
sicher Null, wenn die Außnahmemenge das Maß 0 hat.
Wenn man in Deinem Fall die obere Grenze a aus
dem Intervall [0,1] wählt, dann könnte man natürlich
auch sagen, dass Integral ist für fast alle a aus
[0,1] endlich. So würde man das aber nicht formulieren.
Man würde sagen, dass Integral existiert für alle
a aus [0,1) und man würde sagen für a=1 existiert das
Integral nicht.
Das Integral von 0 bis 1 wäre fast sicher kleiner
unendlich, wie Du schreibst, ist in jedem Fall falsch
und so darf man das nicht schreiben.
Eventuell hast Du etwas nicht richtig aufgeschrieben
und ich würde mir hierzu nicht zu viele Gedanken machen,
insbesondere, wenn das die einzige Stelle in Deinem
Skript ist, die unklar formuliert ist.



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AnnaKath
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Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3199
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-12


Huhu zusammen,

lieber Orthonorm, hier muss ich teilweise widersprechen.
Ist $[0,1]$ mit einem W'Mass $P$ versehen (für das auch noch $P(\{1\})=0$ gilt), so würde m.E. nach schon fast jeder Wahrscheinlichkeitstheoretiker sagen, dass "das Integral f.s. existiert" bzw. "endlich ist".

Allerdings, da gebe ich Dir recht, deutet darauf im Grunde nicht viel im Ausgangspost hin. Wobei andererseits die Verwendung des Begriffs "fast sicher" immer ein W'Mass voraussetzt...

lg, AK.



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Vercassivelaunos
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Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 591
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo AnnaKath,

dass etwas fast sicher gilt, heißt doch immer in irgendeiner Form, dass $P[A]=1$ für das fast sichere Ereignis $A$. Auch so etwas wie fast sichere Konvergenz lässt sich auch darüber definieren, dass ein bestimmtes Ereignis fast sicher ist.
Jetzt ist ein Integral kein Zufallsereignis. Es ist auch keine Zufallsvariable. Ein Integral ist eine fest definierte Zahl. Und die ist entweder wohldefiniert oder nicht. Die Aussage $\int_0^1f(x)\d x<\infty$ ist eine wahre Aussage, oder eben nicht. Und das gilt auch mit einem Maßintegral. $\int_M f\d\mu$ ist entweder wohldefiniert, und dann gibt es keine Zweifel darüber, ob es konvergiert oder nicht. Oder es ist nicht wohldefiniert, und dann gibt es ebenfalls keine Zweifel darüber, ob es konvergiert. Das Anhängsel „fast sicher“ kann da nach meinem Verständnis keine zusätzliche Information liefern.
\(\endgroup\)


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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3199
Aus: hier und dort (s. Beruf)
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Huhu lieber Vercassivelaunos*,

2019-04-12 11:07 - Vercassivelaunos in Beitrag No. 3 schreibt:
Hallo AnnaKath,

dass etwas fast sicher gilt, heißt doch immer in irgendeiner Form, dass $P[A]=1$ für das fast sichere Ereignis $A$. Auch so etwas wie fast sichere Konvergenz lässt sich auch darüber definieren, dass ein bestimmtes Ereignis fast sicher ist.
Jetzt ist ein Integral kein Zufallsereignis. Es ist auch keine Zufallsvariable. Ein Integral ist eine fest definierte Zahl. Und die ist entweder wohldefiniert oder nicht. Die Aussage $\int_0^1f(x)\d x<\infty$ ist eine wahre Aussage, oder eben nicht. Und das gilt auch mit einem Maßintegral. $\int_M f\d\mu$ ist entweder wohldefiniert, und dann gibt es keine Zweifel darüber, ob es konvergiert oder nicht. Oder es ist nicht wohldefiniert, und dann gibt es ebenfalls keine Zweifel darüber, ob es konvergiert. Das Anhängsel „fast sicher“ kann da nach meinem Verständnis keine zusätzliche Information liefern.

angenommen, wir hätten einen W'Raum $([0,1], \mathcal{B}([0,1]), \lambda$). Dann würde die Aussage "Das Integral $I(a)=\int_0^a f(x)dx$ konvergiert fast sicher" schlicht bedeuten, dass die Menge $M=\{ a\in [0,1] : I(a)<\infty\}$ (i) messbar ist und dass (ii) $\lambda (M)=1$ gilt (was in diesem Fall ja auch stimmt).**

Um aber nicht zu viel zu verwirren: Die Aussage im Ausgangspost ist natürlich unsinnig. Das Integral ist in diesem Falle divergent.

lg, AK.

*) was für ein exquisiter Name!
**) leider lehrt die Erfahrung, dass Aussagen/Aufgaben bei neuen Fragen oft verkürzt und ohne Kontext wiedergegeben werden und scheinbare Fehler sich dann bei umfassender Betrachtung in Wohlgefallen auflösen. Deshalb wollte ich nur anmerken, was ggf. gemeint sein könnte. Dies will ich damit aber keineswegs für den vorliegenden Thread unterstellen.

 
\(\endgroup\)


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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 28.02.2019
Mitteilungen: 591
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-12


Ah, ja so macht die Aussage tatsächlich Sinn. Ich war bei einem Integral über einer fest gewählten Menge, eben wegen der Wahl im Eingangspost.

Viele Grüße, Vercassivelaunos



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Discipulus
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.11.2018
Mitteilungen: 16
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-12


Erst einmal vielen Dank für den Input!

Ich muss zugeben, dass ich etwas viel "übersprungen" habe bei meiner Eingangsaussage. Die konkrete Aussage in meinem Skript war:

Sei \(B_t\) eine Brownsche Bewegung und \(f(t,x) = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi (1-t)}}(z-x) e^{-(z-y)^2/2(1-t)} g(z) dz\) für eine reellwertige Funktion g.
Dann ist \(\int_0^1 f^2(t,X_t) dt < \infty \) f.s.

Wir hatten an einer anderen Stelle, dass

\( \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi (1-t)}} \frac{(z-x)}{1-t} e^{-(z-y)^2/2(1-t)} g(z) dz  \) \(\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi (1-s)}(1-s)} \cdot \int_{\mathbb{R}} e^{-z^2/2} g(z)dz \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi (1-s)}(1-s)} \cdot k\), für \(k < \infty \)

Und das eingesetzt in \(\int_0^1 f^2(t,X_t) dt \) führte für mich zur Eingangs beschriebene Aussage. Im Zweifel würde ich eher vermuten, dass ich irgendwo auf dem Weg zu obiger Aussage einen Fehler gemacht habe, aber ich hatte gehofft das Problem simpler fürs Forum formulieren zu können...

VG
Discipulus Desperandus



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Orthonom
Aktiv Letzter Besuch: im letzten Monat
Dabei seit: 02.09.2010
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-12


@AnnaKath
Liebe AnnaKath, ich hätte es nicht besser als Vercassivelaunos
sagen können und schließe mich seinen Ausführungen voll und ganz an.
Ergänzend:
Ja natürlich könnte man das so formulieren, wie Du es getan hast.
Das habe ich auch gesehen liebe AnnaKath, aber das würde so kein Mensch machen, um nicht zu verwirren, wie Du auch sagst. Ich habe
dem TS auch einen Vorschlag gemacht, wie man es normalerweise formulieren
würde.

@Vercassivelaunos
DANKE!

Wie sich jetzt aber zeigt, hatte der TS einiges unterschlagen.





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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-12


Huhu Discipulus,

$Z=\int_0^1 f^2(t,X_t) dt$ ist eine Zufallsvariable. Somit ergibt die Aussage, dass $Z$ fast sicher endlich ist, natürlich einen Sinn.

Alleine deshalb bereits muss Deine Rechnung, die zu dem "verkürzten" Resultat im Ausgangspost führt, fehlerhaft sein.

Um das jedoch konkret nachvollziehen zu können, befürchte ich, dass noch ein paar Informationen fehlen: Wie hängen etwa $B_t$ und $X_t$ zusammen?

lg, AK.

@Orthonorm: Wäre die Frage nicht im Stochastik-Forum aufgeschlagen, wäre ich natürlich auch nicht auf diese zugegeben eigenwillige Interpretation gekommen. Nun hat sich ja herausgestellt, was wirklich gemeint war.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]



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Orthonom
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-12


@AnnaKath
War ein wenig eigenwillig, ja :)
Aber wie Du sagst, das ist jetzt egal.
Schönes Wochenende



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Discipulus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-12


@AnnaKath

Sorry, da sollte natürlich \(X_t = B_t\) stehen! Da hab ich die Notation etwas durcheinander gebracht.

Und ja, ich dachte mir schon, dass dabei irgendein Fehler vorliegen muss, das Wegfallen der \(X_t\) Komponente machte mich auch etwas stutzig, allerdings stimmte es mit den vorherigen Beobachtungen halbwegs überein...

Hoffe mit der Info kann man jetzt mehr anfangen!



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-13


Huhu Discipulus,

leider bin (zumindest) ich nicht in der Lage, die Aussage aus dem gegebenen zu beweisen. Vermutlich fehlt noch weiterer Kontext:
- In der Definition von $f$ taucht ein ziemlich unspezifiziertes $y$ auf. Was ist das für ein Ding?
- In der zitierten Abschätzung erscheint ein $s$, das mir auch unmotiviert scheint.
- Ein paar Mindestanforderungen an $g$ müssen m.E. erfüllt sein (etwa Messbarkeit). Diese kann man sich ggf. noch denken.

lg, AK.



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Discipulus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-14


Ich muss an dem Abend echt müde gewesen sein, dass ich so viele Fehler gemacht habe...

Also:
1) \(x = y\)
2) \(X_t = B_t\)
3) \(t = s\)

Ich habe die Notation aus zwei unterschiedlichen Aufgaben leider gemixt und aufgrund von Müdigkeit entstand dann dieser Murks... Ich schreibe es nochmal korrigiert auf.

Eine andere Anforderung an g neben der Reellwertigkeit wurde noch gestellt und zwar, dass für eine Brownsche Bewegung \(X_t\)

\(E[|g(X_1)|] < \infty \)

Dann (korrigierte Fassung):

\(f(t,x) = \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi (1-t)}}\frac{(z-x)}{1-t} e^{-(z-x)^2/2(1-t)} g(z) dz\)

Es gilt zudem
\( \int_{\mathbb{R}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi (1-t)}} \frac{(z-x)}{1-t} e^{-(z-x)^2/2(1-t)} g(z) dz  \) \(\leq \frac{1}{\sqrt{2\pi (1-t)}(1-t)} \cdot \int_{\mathbb{R}} e^{-z^2/2} g(z)dz \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi (1-t)}(1-t)} \cdot k\), für \(k < \infty \)

Dann soll gelten:

\(\int_0^1 f^2(t,X_t) dt < \infty \) f.s.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-14


Huhu Discipulus,

nun, nachdem Du alles ordentlich zusammen getragen hast - woran hakt es denn noch? Du kannst hier $X_t$ aufgrund der Eigenschaften einer Brown'schen Bewegung gedanklich etwa durch eine stetige Funktion ersetzen (Du willst die Aussage ja nur f.s. zeigen).
Stört Dich, dass das $f$ quadriert vorkommt? Dort könntest Du etwa mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung arbeiten.

lg, AK.



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Discipulus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-14


Mein Problem liegt, wie ich im Eröffnungsposting meinte, der Term

\(\frac{1}{\sqrt{2 \pi (1-t)}(1-t)}\)

Der restliche Teil lässt sich ja als endlich abschätzen durch obiges Argument, aber dieser Teil bleibt bestehen. Um obige Argumentation fortzusetzen hätten wir ja


\(\int_0^1 f^2(t,X_t) dt \leq \int_0^1 \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi (1-t)}(1-t)} \cdot k \right)^2 dt\)

Aber wie in der Eingangs beschriebenen Problematik ist dieses Integral nicht endlich, unabhängig von \(X_t\), oder?



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Discipulus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-16


Hätte vielleicht noch irgendjemand einen Denkanstoß für mich bei dieser Problematik?

Ich kann die (fast sichere) Endlichkeit einfach nicht sehen in diesem Fall.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, eingetragen 2019-04-16


Huhu,

versuche doch einmal, etwas weniger "radikal" abzuschätzen. Insbesondere sollte der Term seinen stochastischen Charakter zunächst nicht verlieren...

lg, AK.



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Discipulus
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-20


Ein spätes erneutes "Hallo" meinerseits!

Ich habe das Problem inzwischen gelöst. Der Grund, warum ich dabei so Schwierigkeiten hatte, war, weil ich den Term \(e^{-(z-X_t)^2/2(1-t)}\) immer lediglich als endlich abgeschrieben und nicht weiter beachtet hatte.

Es hat (viel zu lange) gedauert, bis ich realisiert habe, dass dieser Term sogar ziemlich schnell ziemlich "klein" wird und die Endlichkeit damit herbeiführt...

Vielen Dank besonders an AnnaKath für die Hilfe!



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