Die Mathe-Redaktion - 23.11.2019 00:43 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 388 Gäste und 14 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Zum letzten Themenfilter: Themenfilter:
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Curufin epsilonkugel
Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » lokale gleichmäßige Konvergenz, Kotangens, Partialbruchentwicklung
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule lokale gleichmäßige Konvergenz, Kotangens, Partialbruchentwicklung
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-16


Hallo,

ich setze mich grade in einem Seminar in Analysis mit der Partialbruchentwicklung des Kotangens auseinander. Hierzu muss ich in einem ersten Schritt zeigen, dass
<math>\ g(x)=\frac{1}{x} - {\sum_{n=1}^\infty (\frac{2x}{n^{2}-x^{2}})</math>
für alle nicht ganzzahligen Werte definiert ist und stetig ist.
Ich weiß, dass ich hier zeigen muss, dass die Summe
<math>{\sum_{n=1}^\infty (\frac{2x}{n^{2}-x^{2}})</math>
für jedes <math>x\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}</math> gleichmäßig konvergiert, also das die Reihe für jedes <math>x\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}</math> in einer Umgebung von x gleichmäßig konvergiert.
Hierzu schaue ich mir <math>n=1</math> oder <math>2n-1 \leq x^{2}</math> an und weiß, dass die oben genannte Reihe gleichmäßig konvergent ist, da es nur endlich viele Summanden gibt  und für <math>n \geq 2</math> und <math>2n-1 > x^{2}</math>  mache ich eine Abschätzung um das Majorantenkriterium anwenden zu können (Abschätzung mit Eulers Reihe).
Leider habe ich wirklich Probleme das ganze nachvollziehen zu können..sowohl warum ich mir diese einzelnen Abschätzungen angucken, als auch wie ich zu der Vorgehensweise komme.

Über Hilfe oder Denkanstöße wäre ich wirklich sehr dankbar!



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-16


2019-04-16 11:30 - steffi07 im Themenstart schreibt:
Hierzu muss ich in einem ersten Schritt zeigen, dass
\[ g(x)=\frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2-x^2}\] für alle nicht ganzzahligen Werte definiert ist und stetig ist.
Ich weiß, dass ich hier zeigen muss, dass die Reihe
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2-x^2}\] für jedes $x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}$ in einer Umgebung von $x$ gleichmäßig konvergiert.

Für $x\notin\mathbb{Z}$ sind alle Summanden definiert. Für $n>2|x|$ kannst du die Summanden durch \[\left|\frac{2x}{n^{2}-x^{2}}\right|<2|x|\cdot\frac{1}{n^2-(n/2)^2} = 2|x|\cdot \frac{4}{3n^2}\] abschätzen. Damit kannst du die Wohldefiniertheit zeigen.



Hierzu schaue ich mir $n=1$ oder $2n-1 \leq x^{2}$ an und weiß, dass die oben genannte Reihe gleichmäßig konvergent ist, da es nur endlich viele Summanden gibt und für $n \geq 2$ und $2n-1 > x^{2}$  mache ich eine Abschätzung um das Majorantenkriterium anwenden zu können (Abschätzung mit Eulers Reihe).

Das verstehe ich nicht :(



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-26


Ich versuche nochmal mein Problem zu erklären..
Ich soll zeigen, dass die Funktion <math>\displaystyle g(x) = \frac{1}{x} - {\sum_{n=1}^\infty\ (\frac{2x}{n^{2}-x^{2}})</math> stetig ist. Hierzu weiß ich, dass ich zeigen muss, dass die Summe  <math>{\sum_{n=1}^\infty\ (\frac{2x}{n^{2}-x^{2}})</math> für jedes <math>x\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}</math> gleichmäßig konvergiert, da aus der Analysis gilt:
Wenn die die Reihe <math>{\sum_{n=1}^\infty\ (\frac{2x}{n^{2}-x^{2}})</math> für jedes <math>x\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}</math> in einer Umgebung von x gleichmäßig konvergiert, so ist die Funktion <math>g(x)</math> stetig.
Die Definition von lokaler gleichmäßigen Stetigkeit habe ich mir auch schon rausgesucht und angeschaut, dieses haben wir wie folgt definiert:
<math>(f_{v})</math> heißt auf einem Bereich <math>U</math> lokal gleichmäßig konvergent gegen <math>f</math>, wenn jeder Punkt <math>z_{0} \in U</math> eine Umgebung <math>V(z_{0}) \subset U</math> hat, auf der <math>(f_{v})</math> gleichmäßig gegen <math>f</math> konvergiert.

Laut meinen Vorgaben weiß ich, dass ich mir anschauen muss, wie die Summe aussieht für <math>n=1</math> oder <math>2n-1 \leq x^{2}</math>:
Die oben genannte Reihe soll hier gleichmäßig konvergent sein, weil es nur endlich viele Summanden gibt?

-> hier schon mein erstes Problem: Warum ist die Reihe dann gleichmäßig konvergent?

Die zweite Abschätzung die man vornimmt:
<math>n \geq 2</math> und <math>2n-1 > x^{2}</math> gilt:
Hier nehme ich eine Abschätzung vor und nutze das Majorantenkriterium:

<math>n^{2}-x^{2} > n^{2}-2n+1=(n-1)^{2} > 0</math> so dass dies die Absch\"atzung <math>0 < \frac{1}{n^{2}-x^{2}} < \frac{1}{(n-1)^{2}}</math> liefert, das heißt wir haben eine obere Schranke, genannt Majorant, gefunden. Die Summanden sind somit durch <math>0 < \frac{1}{n^{2}-x^{2}} < \frac{1}{(n-1)^{2}}</math> beschränkt. Diese Schranke gilt nicht nur für <math>x</math> , sondern auch für Werte in der Umgebung von <math>x</math>. Wir wissen, dass <math>{\sum_{n=1}^\infty\ \frac{1}{(n-1)^{2}}</math> gegen <math>\frac{\pi^{2}}{6}</math> (Eulers Reihe) konvergiert.

Wie ich diese Abschätzung vornehme ist mir soweit klar, meine Probleme jedoch:

1. Also wieso bei der ersten Abschätzung klar ist, dass Reihe gleichmäßig konvergiert wenn es nur endlich viele Summanden gibt?
2. Wie ich genau zu den Abschätzungen komme. Also wieso nehme ich n=1 (Ich schätze mal weil die Summe dort startet) und <math>n \geq 2</math>  (weil das wohl die restlichen bis unendlich sind), aber wieso dann die beiden Abschätzungen mit x? Schaffe ich mir damit meine Umgebung??
3. Wieso gilt die Schranke im zweiten Teil nicht nur für x sondern auch in einer Umgebung von x?

Ich hoffe mein Problem ist etwas klarer geworden und mir kann jemand helfen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-26


Die Summe enthält nicht nur endlich viele Summanden. Gleichmäßig konvergent bedeutet aber gerade, dass nur endlich viele Summanden von einer wesentlichen Bedeutung sind und man die restlichen unabhängig von $x$ abschätzen kann. Das ist sehr lax ausgedrückt, nimm es nicht so wörtlich.

Wir machen es mal konkret und gucken uns $x\in (0,1)$ an. Da $x\mapsto \frac{1}{x}$ stetig ist, spielt es keine Rolle für unsere Betrachtungen.
Wir betrachten die Funktionenfolge $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ mit $f_n\colon (0,1)\to\mathbb{R}$ und
\[f_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{2x}{k^{2}-x^{2}}.\] Für jedes feste $x\in (0,1)$ konvergiert die Folge $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$, da $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ monoton wachsend ist und beschränkt ist.

Sie ist monoton wachsend, da
\[\frac{2x}{k^{2}-x^{2}}>0\] für alle $k\geq 1$ und $x\in(0,1)$ ist.

Sie ist beschränkt, da
 \[|f_n(x)|\leq \frac{2|x|}{1-x^{2}}+2|x| \cdot  \sum_{k=2}^n\frac{4}{3k^2}\leq \frac{2|x|}{1-x^2}+\frac{4|x|\pi^2}{9}\] gilt.

Siehe

Für $x\notin\mathbb{Z}$ sind alle Summanden definiert. Für $n>2|x|$ kannst du die Summanden durch \[\left|\frac{2x}{n^{2}-x^{2}}\right|<2|x|\cdot\frac{1}{n^2-(n/2)^2} = 2|x|\cdot \frac{4}{3n^2}\] abschätzen. Damit kannst du die Wohldefiniertheit zeigen.

Also konvergiert  $(f_n(x))_{n\in \mathbb{N}}$ für jedes $x\in(0,1)$, das bedeutet, dass wir $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ sinnvoll definieren können. Man sagt auch, dass die Folge $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ punktweise konvergiert.  Wir wollen nun eine obere Schranke an $|f_n(x)-f_m(x)|$ finden, die aber nicht mehr vom $x$ abhängen darf.
Wir erhalten für $m<n$
\[|f_n(x) - f_m(x)|\leq 2|x| \cdot  \sum_{k=m+1}^n\frac{4}{3k^2}\leq   \sum_{k=m+1}^n\frac{8}{3k^2}.\]  Von der Folge $(s_n)_{n\in \mathbb{N}}$ mit
\[s_n=\sum_{k=1}^n\frac{8}{3k^2}\] wissen wir, dass sie konvergiert und somit insbesondere eine Cauchyfolge ist. Kannst du damit auf die gleichmäßige Konvergenz von $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ schließen?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-27


Vielen Dank für deine Hilfe, das hilft mir wirklich schon sehr weiter!

Darf ich am Ende dann das Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz anwenden? Dieses besagt ja:
<math>\displaystyle f_n : D\subsetequal\ \IK ->\IK</math>
<math>\displaystyle (f_n )_n</math> ist gleichmäßig konvergent auf D
<math>\displaystyle <=> |(f_n (x) -f_m (x) | < \epsilon </math>


Und ich bin etwas verwirrt..mir hätte es ja gereicht die lokale gleichmäßige Konvergenz zu zeigen..Habe ich das jetzt gemacht indem ich mir nur das Intervall <math>x \in (0,1)</math> angeguckt habe?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-27


Du bist noch lange nicht fertig, wenn du dir nur das Intervall $(0,1)$ angeguckt hast. Es sollte dir erst einmal nur eine Intuition für die Problemstellung geben. Versuche den Beweis allgemein auf ein Intervall $(k,k+1)$ zu übertragen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-27


Leider verstehe ich das nicht ganz confused
Also das ich den Beweis hier nur für das Intervall (0,1) gezeigt habe verstehe ich, aber wie ich das jetzt ausweite auf (k,k+1) ist mir nicht ganz klar.
Wie muss ich mein k denn in diesem Fall wählen? Ist <math>k \in \mathbb{Z}</math> so habe ich doch das gleiche Problem wie wenn ich mein <math>x \in \mathbb{Z}</math> wählen würde oder nicht? Ist mein k dann in diesem Fall <math>k \in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}</math>?
Tut mir leid aber ich stehe wirklich grade auf dem Schlauch confused



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-27


Hm, also $k$ soll schon eine ganze Zahl sein. Was genau ist dein Problem? Hast du alles nachvollziehen können, was bisher geschrieben wurde?

Mal eine ähnliche aber doch andere Frage: An welchen Stellen ist die Funktion $f\colon x\mapsto \sum_{k=0}^\infty x^{k^2}$ wohldefiniert und an welchen Stellen ist sie stetig? Diese Frage ist eigentlich nicht ganz korrekt, da zu einer Funktion immer noch der Definitionsbereich dazugehört. Aber dieses Problem ist einfacher als deins, da wir hier eine Potenzreihe haben.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-29


Bei dem k hatte ich einen Denkfehler, das habe ich nun verstanden. Den Rest aus dem vorherigen Beitrag kann ich für das Intervall (0,1) auch nachvollziehen, wobei ich nun Probleme habe das ganze auf (k,k+1) zu übertragen.

Um die Wohldefiniertheit zu überprüfen müsste ich doch prüfen, ob es Stellen gibt, an denen meine Funktion nicht definiert ist, bzw das meine Funktion f:A->B so definiert ist, dass die Funktionswerte auch wirklich in B enthalten sind, also zb bei der Funktion (1/x), dass mein A nicht den Wert Null enthalten dürfte..
Dieses Problem habe ich bei deiner angegebenen Potenzreihe aber doch nicht oder, sodass die Reihe wohldefiniert ist?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-04-29


Das reicht nicht fuer die Wohldefiniertheit.

Betrachte beispielsweise $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto \sum_{k=0}^\infty x^k$. Diese Funktion ist nicht wohldefiniert, obwohl es keine Gefahr gibt, irgendwo durch Null zu teilen. Warum ist sie nicht wohldefniert?

Hast du punktweise und gleichmaessige Konvergenz verstanden?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-30


Punktweise und gleichmäßige Konvergenz habe ich wie folgt verstanden:
Eine Funktion heißt punktweise konvergent, falls für jedes <math>x \in I</math> der Grenzwert <math>f(x)= {\lim\limits_{n \to \infty}} f_{n}</math> existiert.
Vorraussetzung für die gleichmäßige Konvergenz ist die punktweise Konvergenz. Gleichmäßig konvergent heißt, dass es zu einer Funktionenfolge <math>f_{n}</math> die auf dem Intervall <math>I</math> punktweise mit der Grenzfunktion <math>f(x)</math> konvergiert, zusätzlich eine Nullfolge <math>a_{n}</math> gibt mit: <math>|f_{n}(x)-f(x)| \leq a_{n} \forall n \in \mathbb{N} , x \in I</math>.

Bzgl. der Funktion:
Die Potenzreihe muss für x konvergieren damit sie wohldefiniert ist.
Für <math>|x|=1</math> ist <math>x^{k}</math> jedoch keine Nullfolge woraus die Divergenz folgt.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-04-30


2019-04-30 11:51 - steffi07 in Beitrag No. 10 schreibt:
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz habe ich wie folgt verstanden:
Eine Funktion heißt punktweise konvergent, falls für jedes $x \in I$ der Grenzwert $f(x)= {\lim\limits_{n \to \infty}} f_{n}$ existiert.

Die beiden Objekte passen nicht zusammen. Links steht eine reelle Zahl und  rechts moeglicherweise eine Funktion. Du meinst aber wahrscheinlich das richtige:  Für jedes $x \in I$ soll der Grenzwert ${\lim\limits_{n \to \infty}} f_{n}(x)$ existieren.


Voraussetzung für die gleichmäßige Konvergenz ist die punktweise Konvergenz. Gleichmäßig konvergent heißt, dass es zu einer Funktionenfolge $f_{n}$ die auf dem Intervall $I$ punktweise mit der Grenzfunktion $f(x)$ konvergiert, zusätzlich eine Nullfolge $a_{n}$ gibt mit: $|f_{n}(x)-f(x)| \leq a_{n} \forall n \in \mathbb{N} , x \in I.$
Den Satz verstehe ich inhaltlich nicht so richtig. Man braucht nicht unbedingt zusaetlich eine Nullfolge $(a_n)_n$. Wichtig ist, dass eine obere Schranke an die Differenz $|f_{n}(x)-f(x)|$ nicht von der Wahl des $x$ abhaengt. Sie sollte nur von $n$ abhaengen.


Bzgl. der Funktion:
Die Potenzreihe muss für $x$ konvergieren damit sie wohldefiniert ist.
Für $|x|=1$ ist $x^{k}$ jedoch keine Nullfolge woraus die Divergenz folgt.
Was ist mit $|x|>1$ oder $|x|<1$? Genau, fuer die Wohldefiniertheit ist wichtig, dass $f_n$ konvergiert. Inwiefern? Gleichmaessig oder punktweise?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-30


Ah okay verstehe!

Für $|x|>1$ divergiert die Reihe, für $|x|<1$ konvergiert die Reihe absolut.

Die gleichmäßige Konvergenz da ich bei einer Potenzreihe ja den Konvergenzradius bestimme um zu schauen ob diese konvergiert, oder bin ich jetzt komplett falsch?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-04-30


Nein, alles gut. Mich interessiert vor allem, ob die Potenzreihe auf dem Intervall $(-1,1)$ gleichmäßig oder nur punktweise konvergiert.

Das gleiche wüsste ich auch gern für die Potenzreihe auf dem Intervall $[0,\frac{1}{2}]$.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-02


Also auf dem Intervall (-1,1) konvergiert die Reihe zwar punktweise, jedoch nicht mehr gleichmäßig, da <math>\limsup_{n\rightarrow\infty} |f_{n}(x)|=1 \neq 0 </math> mit <math>x \in (-1,-1)</math> ist.
Auf dem Intervall [0,1/2] ist die Reihe auch gleichmäßig konvergent, da $|f_{k}(x)-f(x)|=|x^{k}-0| \leq (1/2)^{k}$ ist.
Ist das so richtig?



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-05-02


Nein, das stimmt so nicht :( Wieso stehen dort gar keine Summen mehr.

Was sind $|f-f_n|$ bzw. $|f_m-f_n|$? Diese musst du nach oben abschaetzen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 16.04.2019
Mitteilungen: 9
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-04


Oh, ja okay, das mit der Summe macht Sinn!

Ich bin mittlerweile ehrlich gesagt total verwirrt und weiß nicht genau was ich und wie ich dies zeigen soll confused

Ich hab im Internet nur noch zusätzlich dazu gefunden, dass eine Potenzreihe lokal gleichmäßig im Inneren ihres Konvergenzintervalls konvergiert. Da wir hier den Konvergenzradius 1 haben würde das heißen für alle <math>x \in (-1,1)</math>. Damit habe ich dann ja aber nicht wie von dir vorgegeben eine Abschätzung gemacht.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 2476
Aus: der Nähe von Schwerin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-05-04


Es ist gar nicht so wichtig, dass du irgendwelche Sätze dazu kennst. gerade geht es tatsächlich darum, die Definition der gleichmäßigen und lokalen Konvergenz zu verinnerlichen.

Betrachte also die Folge von Funktionen $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ mit
\[ f_n\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\ f_n(x)=\sum_{k=0}^nx^k.\] Ist jede der Funktionen wohldefiniert?

Seien nun $x=\frac{1}{2}$ und natürliche Zahlen $n>m\geq 10$.

Wie groß ist $|f_m(x)-f_n(x)|$ höchstens?


Vergessen wir, dass wir $x=\frac{1}{2}$ gesetzt hatten, behalten aber, dass $n>m\geq 10$ sind. Wie groß ist $|f_m(x)-f_n(x)|$ höchstens?


Ohne irgendetwas zu rechnen wird es nicht gehen.



  Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
steffi07 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
steffi07 wird per Mail über neue Antworten informiert.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]