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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1360, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-21


Hallo,
vielen Dank für die vielen neuen Lösungen.
Jetzt haben wir 1449 von 1553, d.h. wir nähern uns dem "Ende", wobei mir klar ist, dass die noch offenen Fragen sehr anspruchsvoll sind.

Wundert euch bitte nicht, dass die Datei auf einmal gute 50 Seiten länger geworden ist. Ich habe begonnen, Dank der Hilfe von mawi, die Aufgaben der I. Stufe der Klassenstufe 9 aufzunehmen.
Das bedeutet aber nicht, dass es noch mehr zum Rechnen gibt. Ich tippe die Musterlösungen kontinuierlich ab, wobei die "Malerei" die meiste Zeit kostet.
Natürlich sind alternative Lösungen sehr schön, d.h., wer will, kann sich natürlich versuchen.
Perspektivisch hoffe ich alle Aufgaben der Klassenstufen 9-12 in die Datei zu bekommen. Das sind dann etwa 2000. Mal sehen.

LG Steffen



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1361, eingetragen 2019-07-21


Huhu,





ich würde einmal folgende Lösung bieten - vll noch mal prüfen, ob ich zu später Stunde nichts übersehe:

Zunächst stellen wir fest, dass das Dreieck \(ABP\) unabhängig von der Wahl des Punktes \(P\) immer flächeninhaltsgleich ist und \(A_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}ab\) gilt. Nun können wir die Punkte \(R\) und \(Q\) wählen und definieren einmal die Länge der Strecken \(|\overline{CR}|=:x\) und \(|\overline{CQ}|=:y\). Der Flächeninhalt des Dreiecks \(AQR\) ist somit \(A_{\triangle AQR}=ab-\frac{xy}{2}-\frac{(a-x)b}{2}-\frac{(b-y)a}{2}=\frac{1}{2}\left(ay+bx-xy\right)\). Nun überprüfen wir einmal Ulrike: Aus \(F_1<F_2\) folgt somit:

\(\displaystyle \frac{1}{2}ab<\frac{1}{2}\left(ay+bx-xy\right)\)

\(\displaystyle ab<ay+bx-xy\)

\(\displaystyle ab-bx<y(a-x)\)

\(\displaystyle b(a-x)<y(a-x)\)

Da \(x\neq a\) laut Voraussetzung (\(R\) ist innerer Punkt der Strecke) und \(a>x\) folgt somit \(b<y\). Dieses ist also unmöglich. Analog folgt für Vera \(b=y\), was auch unmöglich ist, da auch \(Q\) ein innerer Punkt sein soll. Für Waltraud folgt \(y<b\), was möglich ist.

Gruß,

Küstenkind  

edit sagt noch: @cyrix: Schöne Alternativlösung - da brauchte es wohl garnicht so ein schweres Geschütz wie Menelaus.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1362, eingetragen 2019-07-22



...Unsinn gelöscht
LG Olga



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1363, eingetragen 2019-07-22

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)

Eine Lösung aus der Rubrik "Wer braucht schon geometrische Intuition, wenn man es mit Vektoren nachrechnen kann?".
Lösung
Es seien $x,y,z$ die Längen der erwähnten Lote. Für den Umkreisradius $R$ des Dreiecks $ABC$ gilt bekanntlich $R=\frac{abc}{4F}$. Die zu zeigende Behauptung ist daher äquivalent zu
\[x+y+z = \frac{a^2+b^2+c^2}{2R}\]
Wir betrachten ein Koordinatensystem, bei dem der Umkreismittelpunkt $O$ von $ABC$ im Ursprung liegt. Auf diese Weise haben die Ortsvektoren $A,B,C$ alle die Länge $R$. Es sei $D=\frac 12(A+B)$ der Mittelpunkt von $AB$. Schließlich sei $X$ der Fußpunkt des Lotes von $D$ auf die durch $C$ verlaufende Tangente an den Umkreis von $ABC$.
<math>
\begin{tikzpicture}
%Umkreisradius und Positionen von A,B,C auf dem Umkreis
\pgfmathsetmacro\R{2}
\pgfmathsetmacro\alpha{-35}
\pgfmathsetmacro\beta{-145}
\pgfmathsetmacro\gamma{50}
\draw (0,0) coordinate (O) circle (\R);
\draw (\alpha:\R) coordinate(A) -- (\beta:\R)coordinate (B) --(\gamma:\R) coordinate (C) --cycle;
\draw ($(C)!-1!90:(O)$)--($(C)!2!90:(O)$) coordinate(T);
\draw ($(A)!0.5!(B)$) coordinate(D)--($(C)!(D)!(T)$) coordinate(X) node[midway, below]{$x$};
\draw (O)--(C) node[midway,below]{$R$};
\foreach \P/\p in {A/below right,B/below left,C/above right,D/below,O/below,X/above right}
{
\draw[fill=white] (\P) node[\p]{$\P$} circle (2pt);
}
\end{tikzpicture}
</math>

Die Strecken $CO$ und $XD$ sind parallel und haben die gleiche Orientierung. Daher gibt es ein $\lambda\geq 0$, so dass $X-D = \lambda C$, also $X=\lambda C +\frac 12(A+B)$ gilt.
Außerdem steht $CX$ senkrecht auf $CO$. Somit gilt für das Skalarprodukt
\[
\begin{align*}
0&= \langle X-C, C\rangle\\
&= \langle (\lambda-1)C+\frac 12(A+B), C \rangle\\
&= (\lambda-1)\langle C,C\rangle + \frac 12(\langle A,C \rangle + \langle B,C\rangle)\\
&= (\lambda-1)R^2 + \frac 12(\langle A,C \rangle + \langle B,C\rangle)
\end{align*}
\] Also gilt $\lambda = 1- \frac 1{2R^2}(\langle A,C \rangle + \langle B,C\rangle)$. Somit folgt
\[x = |X-D| = \lambda R =  R -\frac 1{2R}(\langle A,C \rangle + \langle B,C\rangle).\] Analog erhalten wir für die Längen der anderen beiden Lote
\[\begin{align*}
y&= R -\frac 1{2R}(\langle B,A \rangle + \langle C,A\rangle),\\
z&= R -\frac 1{2R}(\langle C,B \rangle + \langle A,B\rangle).
\end{align*}\]
Somit gilt
\[x+y+z = 3R-\frac 1R (\langle A,B\rangle +\langle B,C\rangle + \langle C,A\rangle).\]
Andererseits gilt
\[\begin{align*}
\frac{a^2+b^2+c^2}{2R} &= \frac 1{2R}(|A-B|^2+|B-C|^2+|C-A|^2)\\
&= \frac 1{2R} (|A|^2+|B|^2-2\langle A,B\rangle + |B|^2+|C|^2-2\langle B,C\rangle + |C|^2+|A|^2-2\langle C,A \rangle) \\
&= 3R-\frac 1R (\langle A,B\rangle +\langle B,C\rangle + \langle C,A\rangle),
\end{align*}\] womit die Behauptung gezeigt ist.



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1361 begonnen.]
\(\endgroup\)


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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1364, eingetragen 2019-07-22


Dann geht es jetzt in Richtung von nur noch 100 offene Aufgaben:


Aufgabe 121234: Es seien <math>a</math> und <math>b</math> natürliche Zahlen, für die <math>0\leq b<a</math> gilt. Ferner sei durch <math>z_n=an+b</math> (<math>n=0,1,2,\dots</math>) eine Folge natürlicher Zahlen gegeben.
Ein Element <math>z_m</math> dieser Folge habe mit <math>a</math> den größten gemeinsamen Teiler <math>d</math>.
Es ist festzustellen, ob dann alle Elemente dieser Folge mit <math>a</math> den größten gemeinsamen Teiler <math>d</math> haben.

Lösung:

Nach dem euklidischen Algorithmus ist für alle natürlichen Zahlen <math>n</math>
<math>\mathop{ggT}(z_n,a)=\mathop{ggT}(an+b,a)=\mathop{ggT}(b,a),</math>
also unabhängig vom Index <math>n</math>. Damit besitzen alle Folgenglieder den gleichen größten gemeinsamen Teiler <math>d</math>.





edit: @OlgaBarati: Es ist nicht klar, wie du auf Gleichung (2) kommst. So jedenfalls ist dies noch nicht ausreichend. Ich habe über die Aufgabe auch schon mal nachgedacht, aber bisher außer einer unhandlich umfangreich werdenden Fallunterscheidung noch keine schöne Idee gesehen...

Cyrix



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cyrix
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1365, eingetragen 2019-07-22


Jetzt aber auf 100 Aufgaben:


Aufgabe 141234: Es ist zu untersuchen, ob es eine Funktion <math>y=\log_a(bx+c)</math> mit <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> reell; <math>a >1</math> gibt, deren Graph in einem <math>x,y</math>-Koordinatensystem durch die Punkte <math>(2; 2)</math>, <math>(?1; 0)</math> und <math>(0; 1)</math> verläuft. Man gebe, falls es eine solche Funktion gibt, alle reellen geordneten Zahlentripel <math>(a,b,c)</math> an, für die das zutrifft.

Lösung:

Wegen <math>1=y(0)=\log_a(c)</math> ist <math>c=a</math>. Wegen <math>0=y(-1)=\log_a((1-) \cdot b+c)=\log_a(c-b)</math> ist <math>c-b=1</math>, also <math>b=c-1=a-1</math>. Und wegen <math>2=y(2)=\log_a(2b+c)=\log_a(3a-2)</math> ist <math>a^2=3a-2</math>, also <math>a^2-3a+2=0</math> bzw. <math>a=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}-2}=\frac{3\pm 1}{2}</math>, wobei die Lösung der quadratischen Gleichung mit negativem Vorzeichen der Wurzel entfällt, da sie auf <math>a=1</math> führt, was im Widerspruch zur Aufgabenstellung steht. Also muss <math>a=c=2</math> und <math>b=1</math> gelten. Einsetzen dieser Werte bestätigt, dass die entsprechende Funktion durch die drei Punkte verläuft, sodass es genau eine solche Funktion gibt, nämlich die mit den Parametern <math>(a,b,c)=(2,1,2)</math>.

Cyrix



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HyperPlot
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Aus: Kneedeep in the Dead
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1366, eingetragen 2019-07-22

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-22 00:57 - Nuramon in Beitrag No. 1363 schreibt:
<math>
\begin{tikzpicture}
%Umkreisradius und Positionen von A,B,C auf dem Umkreis
\pgfmathsetmacro\R{2}
\pgfmathsetmacro\alpha{-35}
\pgfmathsetmacro\beta{-145}
\pgfmathsetmacro\gamma{50}
\draw (0,0) coordinate (O) circle (\R);
\draw (\alpha:\R) coordinate(A) -- (\beta:\R)coordinate (B) --(\gamma:\R) coordinate (C) --cycle;
\draw ($(C)!-1!90:(O)$)--($(C)!2!90:(O)$) coordinate(T);
\draw ($(A)!0.5!(B)$) coordinate(D)--($(C)!(D)!(T)$) coordinate(X) node[midway, below]{$x$};
\draw (O)--(C) node[midway,below]{$R$};
\foreach \P/\p in {A/below right,B/below left,C/above right,D/below,O/below,X/above right}
{
\draw[fill=white] (\P) node[\p]{$\P$} circle (2pt);
}
\end{tikzpicture}
</math>



Eine Lösung aus der Rubrik "Wer braucht schon geometrische Intuition, wenn man es mit Vektoren nachrechnen kann?".
Lösung
Es seien $x,y,z$ die Längen der erwähnten Lote. Für den Umkreisradius $R$ des Dreiecks $ABC$ gilt bekanntlich $R=\frac{abc}{4F}$. Die zu zeigende Behauptung ist daher äquivalent zu
\[x+y+z = \frac{a^2+b^2+c^2}{2R}\]
Wir betrachten ein Koordinatensystem, bei dem der Umkreismittelpunkt $O$ von $ABC$ im Ursprung liegt. Auf diese Weise haben die Ortsvektoren $A,B,C$ alle die Länge $R$. Es sei $D=\frac 12(A+B)$ der Mittelpunkt von $AB$. Schließlich sei $X$ der Fußpunkt des Lotes von $D$ auf die durch $C$ verlaufende Tangente an den Umkreis von $ABC$.
<math>
\begin{tikzpicture}
%Umkreisradius und Positionen von A,B,C auf dem Umkreis
\pgfmathsetmacro\R{2}
\pgfmathsetmacro\alpha{-35}
\pgfmathsetmacro\beta{-145}
\pgfmathsetmacro\gamma{50}
\draw (0,0) coordinate (O) circle (\R);
\draw (\alpha:\R) coordinate(A) -- (\beta:\R)coordinate (B) --(\gamma:\R) coordinate (C) --cycle;
\draw ($(C)!-1!90:(O)$)--($(C)!2!90:(O)$) coordinate(T);
\draw ($(A)!0.5!(B)$) coordinate(D)--($(C)!(D)!(T)$) coordinate(X) node[midway, below]{$x$};
\draw (O)--(C) node[midway,below]{$R$};
\foreach \P/\p in {A/below right,B/below left,C/above right,D/below,O/below,X/above right}
{
\draw[fill=white] (\P) node[\p]{$\P$} circle (2pt);
}
\end{tikzpicture}
</math>

Die Strecken $CO$ und $XD$ sind parallel und haben die gleiche Orientierung. Daher gibt es ein $\lambda\geq 0$, so dass $X-D = \lambda C$, also $X=\lambda C +\frac 12(A+B)$ gilt.
Außerdem steht $CX$ senkrecht auf $CO$. Somit gilt für das Skalarprodukt
\[
\begin{align*}
0&= \langle X-C, C\rangle\\
&= \langle (\lambda-1)C+\frac 12(A+B), C \rangle\\
&= (\lambda-1)\langle C,C\rangle + \frac 12(\langle A,C \rangle + \langle B,C\rangle)\\
&= (\lambda-1)R^2 + \frac 12(\langle A,C \rangle + \langle B,C\rangle)
\end{align*}
\] Also gilt $\lambda = 1- \frac 1{2R^2}(\langle A,C \rangle + \langle B,C\rangle)$. Somit folgt
\[x = |X-D| = \lambda R =  R -\frac 1{2R}(\langle A,C \rangle + \langle B,C\rangle).\] Analog erhalten wir für die Längen der anderen beiden Lote
\[\begin{align*}
y&= R -\frac 1{2R}(\langle B,A \rangle + \langle C,A\rangle),\\
z&= R -\frac 1{2R}(\langle C,B \rangle + \langle A,B\rangle).
\end{align*}\]
Somit gilt
\[x+y+z = 3R-\frac 1R (\langle A,B\rangle +\langle B,C\rangle + \langle C,A\rangle).\]
Andererseits gilt
\[\begin{align*}
\frac{a^2+b^2+c^2}{2R} &= \frac 1{2R}(|A-B|^2+|B-C|^2+|C-A|^2)\\
&= \frac 1{2R} (|A|^2+|B|^2-2\langle A,B\rangle + |B|^2+|C|^2-2\langle B,C\rangle + |C|^2+|A|^2-2\langle C,A \rangle) \\
&= 3R-\frac 1R (\langle A,B\rangle +\langle B,C\rangle + \langle C,A\rangle),
\end{align*}\] womit die Behauptung gezeigt ist.



Das dürfen die LaTeX-Typographer aber nicht sehen:
\pgfmathsetmacro\alpha{-35}
überschreibt ohne Warnung $\alpha$ mit $-35$.

Ich nehme meistens Großbuchstaben \pgfmathsetmacro\Alpha{-35}, was auch nicht unbedingt optimal ist, aus der Gewissheit, dass Graphiken bei mir grundsätzlich externe Dokumente sind.  
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1367, eingetragen 2019-07-22


Aufgabe 4 - 181224
Thomas stellt Jürgen folgende Aufgabe:
(1) In meiner Klasse betätigen sich genau 15 Schüler im außerschulischen Sport, und zwar kommen nur die Sportarten Fußball, Schwimmen, Turnen bzw. Leichtathletik vor.
(2) Jede der genannten Sportarten wird von mindestens einem Schüler betrieben.
(3) Kein Schüler betreibt mehr als zwei dieser Sportarten.
(4) Jeder Schüler, der Schwimmen oder Leichtathletik betreibt, betätigt sich auch in einer zweiten Sportart.
(5) Genau 3 Schüler betreiben sowohl Fußball als auch Schwimmen, genau 2 Schüler sowohl Schwimmen als auch Leichtathletik; kein Schüler betreibt sowohl Fußball als auch Turnen.
(6) Die Anzahl der Fußballer ist größer als die Anzahl der Schwimmer, diese wiederum ist größer als die Anzahl der Turner und diese größer als die Anzahl der Leichtathleten.
(7) Die Anzahl der Fußballer ist gleich der Summe der Anzahl der Turner und der Leichtathleten.
In (6) und (7) bezeichnet Fußballer, Schwimmer usw. jeweils einen Schüler, der die betreffende Sportart (allein oder neben einer zweiten Sportart) betreibt. Gib die Anzahl der Fußballer, der Schwimmer, der Turner und der Leichtathleten in meiner Klasse an!
Nach einiger Überlegung sagt Jürgen, dass diese Aufgabe nicht eindeutig lösbar sei. Man ermittle alle Lösungen dieser Aufgabe.


Für eine einfachere Sprechweise verwenden wir im Folgenden die Kurzbezeichnungen F,S,T,L für die $4$ Sporten Fußball, Schwimmen, Turnen und Leichtathletik und auch für ev. Kombinationen derselben. Ferner seien $f,s,t,l$ die Anzahlen der Schüler, welche eine der Sportarten F,S,T,L (ev. in Kombination mit einer anderen) gewählt haben.

Wir denken uns dann der Einfachheit halber die $15$ Schüler so durchnummeriert, dass die Schüler mit den Nummern $1-5$ alle S in der Kombination SF bzw. SL gewählt haben, womit diese Kombinationsmöglichkeiten von S lt. Angabe dann "ausgeschöpft" sind und für die restlichen $10$ Schüler dann nur mehr die $5$ Möglichkeiten
F,T,FL,ST,TL zur Auswahl stehen. Insbesondere muss als dann von diesen $10$ Schülern entweder F oder T (aber nicht beide!) auf jeden Fall gewählt werden, was als dann schon mal auf die wichtige Beziehung
\[(f-3)+t=10\] zwischen $f$ und $t$ hier führt. Eingesetzt in $t+l=f$, was ja laut (7) gelten soll, ergibt sich daraus weiter die Gleichung
\[2t+l=13\quad (*)\] welche gewissermaßen den "Dreh- und Angelpunkt" für diese Aufgabe hier darstellt. Da nämlich nach jedenfalls (5) $l\ge 2$ gilt, $l\ge 5$ sofort auf den Widerspruch $t\le 4<l$ zu (6) führen würde und $l$ außerdem nach (*) ungerade sein muss, bleibt als dann nur mehr als einzige Möglichkeit
\[l=3,\ t=5,\ f=t+l=8\quad (**)\] Von den restlichen $10$ Schülern muss also genau einmal L (jeweils in Kombination mit F oder T) gewählt werden, und ein- oder zweimal S (jeweils in Kombination mit T), was unter Berücksichtigung von (**) dann alle Bedingungen der Aufgabe hier erfüllt. Insgesamt gilt somit
\[f=8,\ s\in\{6,7\},\ t=5, \ l=3 \] mit der einzigen Mehrdeutigkeit, was $s$ betrifft.


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1365 begonnen.]



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ochen
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Aufgabe 1 - 181221
Man  untersuche,  ob  es  reelle  Zahlen $b,c,d$ so  gibt,  dass  durch $a_n=\frac{n+b}{cn+d},\ (n=1,2,3,\ldots)$  eineZahlenfolge definiert ist, für die $a_1=\frac{1}{2}$, $a_2=\frac{3}{8}$ und  $\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}$ gilt. Wenn es derartige $b,c,d$ gibt, so stelle man fest, ob sie durch diese Forderungen eindeutig bestimmt sind, und gebe sie in diesem Fall an.

Eine solche Folge kann es nicht geben. Aus
\[\frac{1}{2}=\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{c}\] folgt $c=2$. Weiter folgt $2+2b=c+d=2+d$  aus
\[\frac{1}{2}=a_1=\frac{1+b}{c+d}=\frac{1+b}{2+d}.\] Wir erhalten also $2b=d$. Setzen wir dies ein, bekommen wir
\[a_n=\frac{n+b}{cn+d}=\frac{n+b}{2n+2b}=\frac{1}{2}\] Aus $a_1=\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}$ folgt also bereits, dass die Folge konstant 2 ist. Somit kann insbesondere nicht mehr $a_2=\frac{3}{8}$ gelten.



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ochen
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Hallo,

das ist bisher nur eine Teillösung zu


Aufgabe 4 - 251244
Es sei $A_1A_2A_3A_4$ ein  Tetraeder  mit  gegebenen  Kantenlängen $A1A2=a$, $A_1A_3=b$, $A_1A_4=c$, $A_2A_3=d$, $A_2A_4=e$, $A_3A_4=f$.
Man untersuche, ob es einen Punkt $P$ im Raum gibt, so dass die Summe $s$ der Quadrate des Abstandes des Punktes $P$ von den Eckpunkten des Tetraeders einen kleinsten Wert annimmt. Falls das zutrifft, ermittle man jeweils zu gegebenen $a,b,c,d,e,f$ diesen kleinsten Wert von $s$.

Für $1\leq i\leq 4$ bezeichnen wir mit $(x_i,y_i,z_i)$ die Koordinaten des Punktes $A_i$ und mit $(x_P,y_P,z_P)$ die Koordinaten des Punktes $P$.

So gilt
\[s=\sum_{i=1}^4(x_i-x_P)^2+\sum_{i=1}^4(y_i-y_P)^2+\sum_{i=1}^4(z_i-z_P)^2.\] Wir definieren
\[
s_x=\sum_{i=1}^4(x_i-x_P)^2, s_y=\sum_{i=1}^4(y_i-y_P)^2\quad\text{und}\quad s_z=\sum_{i=1}^4(z_i-z_P)^2.
\] Wir können jede der drei Summennach unten mit Hilfe von quadratischer Ergänzung  abschätzen. Es gilt
\[s_x=\sum_{i=1}^4(x_i-x_P)^2=\sum_{i=1}^4x_i^2-2x_P\sum_{i=1}^4x_i+4x_P^2=\sum_{i=1}^4x_i^2+\left(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4x_i\right)^2-2x_P\sum_{i=1}^4x_i+4x_P^2-\left(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4x_i\right)^2=\sum_{i=1}^4x_i^2+\left(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4x_i-2x_P\right)^2-\left(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4x_i\right)^2\geq \sum_{i=1}^4x_i^2-\left(\frac{1}{2}\sum_{i=1}^4x_i\right)^2.\] Gleichheit gilt genau dann, wenn $x_P=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4x_i$ gilt. in diesem Fall wird $s_x$ minimal. Analog können wir auch die anderen beiden Summen abschätzen.
Die Koordinaten des Punktes $P$ sind also
\[P=\left(\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4x_i,\ \frac{1}{4}\sum_{i=1}^4y_i,\ \frac{1}{4}\sum_{i=1}^4z_i\right). \]
Somit gilt
\[s_x=\left(\frac 34x_1 -\frac{1}{4}x_2-\frac{1}{4}x_3-\frac{1}{4}x_4\right)^2 + \left(-\frac 14x_1 +\frac{3}{4}x_2-\frac{1}{4}x_3-\frac{1}{4}x_4\right)^2+\left(-\frac 14x_1 -\frac{1}{4}x_2+\frac{3}{4}x_3-\frac{1}{4}x_4\right)^2+\left(-\frac 14x_1 -\frac{1}{4}x_2-\frac{1}{4}x_3+\frac{3}{4}x_4\right)^2=3\sum_{1\leq i\leq 4}x_i^2-\frac{1}{4}\sum_{1\leq i<j\leq 4}x_ix_j\] und
\[s=3\sum_{1\leq i\leq 4}(x_i^2+y_i^2+z_i^2)-\frac{1}{4}\sum_{1\leq i<j\leq 4}(x_ix_j+y_iy_j+z_iz_j)\]
Weiter gilt
\[a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=3\sum_{1\leq i\leq 4}(x_i^2+y_i^2+z_i^2)-2\sum_{1\leq i<j\leq 4}(x_ix_j+y_iy_j+z_iz_j).\]
Hoffentlich habe ich mich bis hierhin nicht verrechnet.




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weird
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Aufgabe 3 - 181233
Es ist zu untersuchen, ob es in einer Menge $M$ von $22222$ Elementen $50$ Teilmengen $M_i\ (i =1,2,...,50)$ gibt mit den folgenden Eigenschaften:
(1) Jedes Element $m$ von $M$ ist Element mindestens einer der Mengen Mi.
(2) Jede der Mengen $M_i\ (i =1,2,...,50)$ enthält genau $1111$ Elemente.
(3) Für je zwei der Mengen $M_i,M_j \ (i \ne j)$ gilt: Der Durchschnitt von $M_i$ und $M_j$ enthält genau $22$ Elemente.


Die Angaben der Aufgabe führen sofort auf den Widerspruch
\[22222=|M|=|\bigcup_{i=1}^{50} M_i|\ge \sum\limits_{1\le i\le50}|M_i|-\sum\limits_{1\le i<j\le50}|M_i\cap M_j|=50\cdot 1111 - \frac{50\cdot 49}2\cdot22 = 28600\] was zeigt, dass die Bedingungen (1)-(3) zusammen nicht erfüllbar sind.



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HyperPlot
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2019-07-21 10:00 - mawi in Beitrag No. 1344 schreibt:
zur 100912 ... Daher ist die Zeichnung von Steffen korrekt.

olympiade-mathematik.de/pdf/block_al/10091_al.pdf

Mit Kugel (\usepackage{tikz-3dplot}):



latex
\documentclass[margin=5mm, tikz]{standalone}
\usepackage{amsmath, amsfonts}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{arrows,calc,backgrounds}
\begin{document}
 
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\a}{2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{3} %  
 
\pgfmathsetmacro{\r}{0.5*sqrt(\a^2+\b^2+\c^2)} %  
 
\pgfmathsetmacro{\AC}{sqrt(\a^2+\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\PA}{0.5*\AC} %  
 
\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(\r^2-\PA^2)} %  
 
\tdplotsetmaincoords{60}{110}
\begin{tikzpicture}[
tdplot_main_coords,
%tdplot_rotated_coords,
font=\footnotesize,
Hilfskreis/.style={gray!70!black,
%densely dashed
},
]
 
\coordinate[label=above:$D$] (D) at (0,0,0); 
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (\a,0,0); 
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\a,\b,0); 
\coordinate[label=45:$C$] (C) at (0,\b,0); 
\coordinate[label=45:$S$] (S) at ([shift={(0,0,\c)}]A); 
\coordinate[label=below:$P$] (P) at (0.5*\a,0.5*\b,0); 
 
\draw[] (P) --+ (0,0,\h) coordinate[label=$M$](M) node[pos=0.25, right]{$h$};  ; 
 
\draw[Hilfskreis] (P) circle[radius=\PA];% circle ABCD
\draw[Hilfskreis] (M) circle[radius=\r];% Großkreis
\draw[Hilfskreis] ([shift={(0,0,\h)}]M) circle[radius=\PA];% 
\draw[-latex, densely dashed] (M) --+ (122:\r) node[midway, above]{$r$};
 
% Pyramide
\draw[densely dashed]  (C) -- (D) ;
\draw[]    (B)--(D) (B) -- (C); 
\foreach \Point in {B,C,D} \draw[] (A) -- (\Point);
\foreach \Point in {A,B,C,D} \draw[] (M) -- (\Point);
 
% Annotationen
\draw[thick] (A)--(S)  node[pos=0.7, right]{$c$};  
\draw[thick] (M) -- (S) node[midway, above]{$r$};
\draw[thick] (M) -- (C) node[midway, above]{$r$};
 
% Kugel
\begin{scope}[tdplot_screen_coords, on background layer]
\fill[ball color= gray!20, opacity = 0.3] (M) circle (\r); 
\end{scope}
 
%% Punkte
\foreach \P in {A,...,D,S,P,M}{
\shade[ball color=white] (\P) circle (1.75pt);
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
}
 
\begin{scope}[-latex, shift={(S)}, xshift=2.1*\r cm, yshift=0.1*\r cm]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/right, (0,1,0)/y/below, (0,0,1)/z/right} 
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
 
\node[yshift=-20mm, xshift=-7mm, anchor=west, align=left, 
]{
$\begin{array}{l}
\text{Zahlenbeispiel:}  \\
a = \a \text{ cm } \\
b = \b \text{ cm } \\
c = \c \text{ cm}   \\
r = \r \text{ cm}   \\
|AC| = \AC \text{ cm}   \\
|PA| = \PA \text{ cm}    \\
h = \h \text{ cm} 
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
\end{array}$
};
\end{scope}
 
\end{tikzpicture}
\end{document} 




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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1372, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-22


@Hyperplot: Eine sehr schöne Zeichnung.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1373, eingetragen 2019-07-22


Aufgabe 4 - 181234
Man beweise: Ist $n \ge 2$ eine ganze Zahl, so ist die für alle reellen $x$ durch
\[f(x)= \sum\limits_{k=1}^n \cos(x\sqrt k)\] definierte Funktion f nichtperiodisch.


Es genügt dafür offenbar zu zeigen, dass die Gleichung $f(x)=n$ genau eine Lösung, nämlich $x=0$ besitzt, da dies mit einer Periodizität von $f$ klarerweise nicht vereinbar ist.

Aus $f(x)=n$ folgt nämlich, dass alle Summanden in obiger Summe den Wert 1 haben müssten, d.h., es müsste insbesondere
\[\cos(x)=\cos(x\sqrt 2)=1\] gelten. Daraus folgen aber sofort auch die Gleichungen $x=2j\pi$ für ein $j\in\mathbb Z$, sowie $x\sqrt 2=2k\pi$ für ein $k\in\mathbb Z$, und die daraus resultierende Gleichung
\[j\sqrt 2=k\] führt nur dann nicht auf einen Widerspruch zur Irrationalität von $\sqrt 2$, wenn $j=k=0$, also $x=0$ ist, q.e.d.




[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1370 begonnen.]



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1374, eingetragen 2019-07-22


2019-07-22 12:29 - stpolster in Beitrag No. 1372 schreibt:
@Hyperplot: Eine sehr schöne Zeichnung.

100912



Ich kann daraus auch eine Kurzlösung machen:




latex
\documentclass[margin=5mm, tikz]{standalone}
\usepackage{amsmath, amsfonts}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{arrows,calc,backgrounds}
\begin{document}
 
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  
\pgfmathsetmacro{\a}{2} %  
\pgfmathsetmacro{\c}{3} %  
 
\pgfmathsetmacro{\r}{0.5*sqrt(\a^2+\b^2+\c^2)} %  
 
\pgfmathsetmacro{\AC}{sqrt(\a^2+\b^2)} %  
\pgfmathsetmacro{\PA}{0.5*\AC} %  
 
\pgfmathsetmacro{\h}{sqrt(\r^2-\PA^2)} %  
 
\tdplotsetmaincoords{60}{110}
\begin{tikzpicture}[
tdplot_main_coords,
%tdplot_rotated_coords,
font=\footnotesize,
Hilfskreis/.style={gray!70!black,
%densely dashed
},
]
 
\coordinate[label=99:$D$] (D) at (0,0,0); 
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (\a,0,0); 
\coordinate[label=-45:$B$] (B) at (\a,\b,0); 
\coordinate[label=45:$C$] (C) at (0,\b,0); 
\coordinate[label={[right=2mm, yshift=2mm]:$S=A'$}] (S) at ([shift={(0,0,\c)}]A); 
 
% Symmetriepunkt
\coordinate[label=below:$$] (P) at (0.5*\a,0.5*\b,0); 
\path[] (P) --+ (0,0,\h) coordinate[label={[below=3pt]:$M$}](M); 
 
\draw[Hilfskreis] (P) circle[radius=\PA];% circle ABCD
\draw[Hilfskreis] (M) circle[radius=\r];% Großkreis
\draw[Hilfskreis] ([shift={(0,0,\h)}]M) circle[radius=\PA];% 
\draw[-latex, densely dashed] (M) --+ (180:\r) node[pos=0.7, above]{$r$};
 
\coordinate[label=above:$D'$] (Ds) at ([shift={(0,0,\c)}]0,0,0); 
\coordinate[label=-45:$B'$] (Bs) at ([shift={(0,0,\c)}]\a,\b,0); 
\coordinate[label=45:$C'$] (Cs) at ([shift={(0,0,\c)}]0,\b,0); 
 
% Quader
\draw[densely dashed] (A) -- (D)  (C) -- (D);
\draw[thick]   (A) -- (B) node[midway, below]{$a$};
\draw[thick]   (B) -- (C) node[midway, left]{$b$};
 
\draw[] (S) -- (Bs) -- (Cs) -- (Ds) --cycle;
\draw[] (B) -- (Bs) (C) -- (Cs);
\draw[densely dashed] (D) -- (Ds);
%Diagonalen
\draw[]  (A) -- (C) node[pos=0.55, below=-2pt, sloped, font=\tiny]{$\sqrt{a^2+b^2}$};
\draw[very thin] (A) -- (Cs)   (D) -- (Bs) (B) -- (Ds)  (C) -- (S);
 
% Annotationen
\draw[thick] (A)--(S)  node[pos=0.7, right]{$c$};  
\draw[thick] (M) -- (S) node[midway, above]{$r$};
\draw[thick] (M) -- (C) node[midway, above]{$r$};
 
% Kugel
\begin{scope}[tdplot_screen_coords, on background layer]
\fill[ball color= gray!20, opacity = 0.3] (M) circle (\r); 
\end{scope}
 
%% Punkte
\foreach \P in {A,...,D,S,M,Bs,Cs,Ds}{
\shade[ball color=white] (\P) circle (1.75pt);
%\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
}
 
\begin{scope}[-latex, shift={(S)}, xshift=2.1*\r cm, yshift=0.1*\r cm]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/right, (0,1,0)/y/below, (0,0,1)/z/right} 
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
 
\node[yshift=-20mm, xshift=-7mm, anchor=west, align=left, 
]{
$\begin{array}{l}
\text{Zahlenbeispiel:}  \\
a = \a \text{ cm } \\
b = \b \text{ cm } \\
c = \c \text{ cm}   \\
r = \r \text{ cm}   \\
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\ 
\end{array}$
};
\end{scope}
 
\node[yshift=-25mm, xshift=0mm, anchor=west, align=left, text width=3*\r cm, ] at (A) {
Rechtecksäulen sind punktsymmetrisch, und zwar zum Schnittpunkt der Raumdiagonalen. Damit liegen alle Ecken des Quaders mit den Kanten $a,b,c$ auf einer Kugel. Der gesuchte Kugeldurchmesser ist entsprechend die Länge der Raumdiagonalen, d.h.
$2r = \sqrt{\sqrt{a^2+b^2}^2 + c^2}
= \sqrt{a^2+b^2+c^2 \vphantom{\sqrt{{a^2+b^2}^2}}}$.
};
 
 
\end{tikzpicture}
\end{document} 




PS:  Falls matroid \usepackage{tikz-3dplot} einbindet, kann man das auch intern zeichnen.




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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1375, eingetragen 2019-07-22

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-07-22 11:02 - ochen in Beitrag No. 1369 schreibt:
Hallo,

das ist bisher nur eine Teillösung zu


Aufgabe 4 - 251244
Es sei $A_1A_2A_3A_4$ ein  Tetraeder  mit  gegebenen  Kantenlängen $A1A2=a$, $A_1A_3=b$, $A_1A_4=c$, $A_2A_3=d$, $A_2A_4=e$, $A_3A_4=f$.
Man untersuche, ob es einen Punkt $P$ im Raum gibt, so dass die Summe $s$ der Quadrate des Abstandes des Punktes $P$ von den Eckpunkten des Tetraeders einen kleinsten Wert annimmt. Falls das zutrifft, ermittle man jeweils zu gegebenen $a,b,c,d,e,f$ diesen kleinsten Wert von $s$.

Im Prinzip die gleiche Rechnung, nur koordinatenfrei:
Der Ausdruck
\[\begin{align*}
\sum_{i=1}^4 \left|P-A_i\right|^2 &= \sum_{i=1}^4 \left(|P|^2-2\langle P,A_i\rangle + |A_i|^2\right)\\
&= 4|P|^2-2\left\langle P,\sum_{i=1}^4 A_i\right\rangle + \sum_{i=1}^4|A_i|^2\\
&= |2P|^2-2\left\langle 2P, \frac 12\sum_{i=1}^4 A_i\right\rangle + \left|\frac 12\sum_{i=1}^4 A_i\right|^2-\left|\frac 12\sum_{i=1}^4 A_i\right|^2+\sum_{i=1}^4|A_i|^2\\
&= \left|2P-\frac 12\sum_{i=1}^4 A_i\right|^2-\left|\frac 12\sum_{i=1}^4 A_i\right|^2+\sum_{i=1}^4|A_i|^2
\end{align*}\] wird offenbar genau dann minimal, wenn $P=\frac 14 \sum_{i=1}^4 A_i$ der Schwerpunkt des Tetraeders ist.
Der gesuchte minimale Wert $s$ ist also gegeben durch
\[\begin{align*}
s&= -\left|\frac 12\sum_{i=1}^4 A_i\right|^2+\sum_{i=1}^4|A_i|^2 \\
&=  -\frac 14 \left(\sum_{i=1}^4 |A_i|^2+2\sum_{1\leq i<j\leq 4}\langle A_i, A_j\rangle \right)+\sum_{i=1}^4|A_i|^2\\
&= \frac 34\sum_{i=1}^4 |A_i|^2 -\frac 12 \sum_{1\leq i<j\leq 4}\langle A_i, A_j\rangle\\
&= \frac 34\sum_{i=1}^4 |A_i|^2 -\frac 12 \sum_{1\leq i<j\leq 4}\frac 12\left(|A_i|^2+|A_j|^2-|A_i-A_j|^2\right)\\
&=\frac 14\sum_{1\leq i<j\leq 4} |A_i-A_j|^2\\
&= \frac 14 (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2).
\end{align*}\]
\(\endgroup\)


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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1376, eingetragen 2019-07-22



Aufgabe 6B - 141236B
Es sei $p$ eine von Null verschiedene reelle Zahl und $f$ eine für alle reellen Zahlen $x$ definierte Funktio nmit der Eigenschaft
\[f(x+p) =\frac{f(x)}{3f(x)-1}\] für alle reellen $x$.
a) Man beweise, dass jede derartige Funktion $f$ (sofern es solche gibt) periodisch ist, d.h., dass es zu ihr eine von Null verschiedene reelle Zahl $q$ gibt, so dass $f(x+q) =f(x)$ für alle reellen $x$ gilt.
b) Man gebe für einen speziellen Wert von $p$ eine solche nicht konstante Funktion $f$ an.

a) Für eine beliebige reelle Zahl $x$ berechnen wir $f(x+2p)$.
\[f(x+2p) =\frac{f(x+p)}{3f(x+p)-1}=\frac{\frac{f(x)}{3f(x)-1}}{\frac{3f(x)}{3f(x)-1}-1}=\frac{\frac{f(x)}{3f(x)-1}}{\frac{3f(x)-(3f(x)-1)}{3f(x)-1}}=\frac{\frac{f(x)}{3f(x)-1}}{\frac{1}{3f(x)-1}}=f(x).\] Die Funktion $f$ ist also $2p$-periodisch. Es erfüllt also $q=2p$ die gewünschte Eigenschaft.

b) Sei $p$ beliebig. Wir wählen
\[f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}&\text{falls }[\frac{x}{p}]\text{ gerade ist}\\
1&\text{falls }[\frac{x}{p}]\text{ ungerade ist}\\\end{cases}.\]
So gilt für alle $x$ mit geradem $[\frac{x}{p}]$
\[\frac{f(x)}{3f(x)-1}=\frac{\frac 12}{\frac 32-1}=1=f(x+p),\] da $[\frac{x+p}{p}]=[\frac{x}{p}]+1$ ungerade ist.

Für alle $x$ mit ungeradem $[\frac{x}{p}]$ gilt
\[\frac{f(x)}{3f(x)-1}=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}=f(x+p),\] da $[\frac{x+p}{p}]=[\frac{x}{p}]+1$ gerade ist.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1374 begonnen.]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1377, eingetragen 2019-07-22

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hat schon jemand über 251242 nachgedacht?


Bisher kann ich nur $\frac 97 e^{\frac 13}\approx 1.79 > 1.44 = \frac {36}{25}$ als obere Schranke nachweisen.

Dazu zeigt man leicht, dass für $q=2m+1$ gilt $\frac{q^3+1}{q^3-1} <1+\frac 1{4m^3}$.
Daher gilt auch $\ln \frac{q^3+1}{q^3-1} <\frac 1{4m^3}$.
Also ist
\[\begin{align*}
\ln\left(\prod_{m=1}^\infty \frac{(2m+1)^3+1}{(2m+1)^3-1}\right) &< \sum_{m=1}^\infty \frac 1{4m^3}\\
&=\frac 14 \sum_{k=0}^\infty \sum_{l=0}^{2^k-1}\frac 1{(2^k+l)^3}\\
&< \frac 14 \sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{2^{3k}} = \frac 13.
\end{align*}\]
Damit folgt dann, dass
\[\prod_{k=1}^n \frac{q_k^3+1}{q_k^3-1} < \frac{2^3+1}{2^3-1} \cdot e^{\frac 13}= \frac 97 e^{\frac 13}.\]

\(\endgroup\)


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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1378, eingetragen 2019-07-22


@Nuramon, Aufgabe 251242:

Hast Du es schon mit
\[\begin{align*}
\sum_{m=N+1}^\infty\ln \frac{(2m+1)^3+1}{(2m+1)^3-1} &\leq \int_{N}^\infty \ln \frac{(2x+1)^3+1}{(2x+1)^3-1}dx
\end{align*}\] versucht? Die Stammfunktion (geogebra) ist sehr häßlich, macht aber den Eindruck, dass eine Abschätzung damit möglich ist. Ggf. reicht auch schon
$$\int \ln \frac{(2x+1)^3+1}{(2x+1)^3-1}\leq \int \ln \frac{(2x+1)+1}{(2x+1)-1}$$



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1379, eingetragen 2019-07-22


@Nuramon

Imho sollte es mit der besseren oberen Schranke
\[\frac{2^3+1}{2^3-1}\frac{3^3+1}{3^3-1}\ \exp\left(\sum\limits_{k=2}^\infty \frac2{(2k+1)^3-(2k+1)}\right)\] klappen, denn Maple sagt mir, dass
\[\sum\limits_{k=2}^\infty \frac2{(2k+1)^3-(2k+1)})=\frac{17}{12}-2\ln 2\quad (*)\] ist, wodurch ich durch Einsetzen sogar auf die leicht bessere obere Schranke $\approx 1.4273$ gegenüber der in der Aufgabe angegebenen komme. ((*) müsste man allerdings hier noch händisch nachrechnen, was vermutlich mit einer Partialbruchzerlegung geht.)



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1380, eingetragen 2019-07-22


Aufgabe 2 - 331042
Man beweise, dass es unendlich viele rationale Zahlentgibt, für die $\sqrt{t+\sqrt{t}}$ rational ist.

Mit dem Ansatz $t=r^2$, reicht es zu zeigen, dass es unendlich viele Zahlen $r,s\in\IQ$ mit $r(r+1)=s^2$ gibt. Falls $r$ und $r+1$ Quadrate in $\IQ$ sind, gibt es eine Lösung für die Gleichung. Für $0<q<p\in\IN$ definiere das pythagoreisches Zahlentripel  $a:=2pq, b:=p^2-q^2, c=:p^2+q^2$ und $r:=\frac{a^2}{b^2}$. Dann gilt $r+1=\frac{c^2}{b^2}$. Somit ist für $t=\frac{16p^4q^4}{(p^2-q^2)^4}$ der Ausdruck $\sqrt{t+\sqrt{t}}$ rational.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1378 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1381, eingetragen 2019-07-22


2019-07-22 22:20 - weird in Beitrag No. 1379 schreibt:
 wodurch ich durch Einsetzen sogar auf die leicht bessere obere Schranke $\approx 1.4273$ gegenüber der in der Aufgabe angegebenen komme.

Diese Schranke scheint schon sehr scharf zu sein. Der genaue Wert sollte (wenn ich mich nicht vertue) dieser sein.

Gruß,

Küstenkind



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1382, eingetragen 2019-07-22


Aufgabe 3 - 341043
Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl n mit n≥2 und jede natürliche Zahl k mit k≥1 die Zahl $z=(1 +k+k^2+\ldots+k^n)^2−k^n$ keine Primzahl ist.

Für $k=1$ gilt $z=(n+1)^2-1 =n(n+2)$. Sei im folgenden $k\geq 2$. Nach der dritten binomischen Formel gilt $R_{k,n}:=\frac{k^n - 1}{k-1} = 1 +k+k^2+\ldots+k^{n-1}>1$. Wir erhalten für $z$:
$$ z= (R_{k,n}+k^n)^2-k^n = R_{k,n}^2+2R_{k,n}k^n+k^{2n}-k^n \\
= R_{k,n}^2+2R_{k,n}k^n+k^n(k^n -1) = R_{k,n}^2+2R_{k,n}k^n+k^n(k-1)R_{k,n} \\
= R_{k,n}(R_{k,n}+2k^n+k^n(k-1)).
$$
Beide Faktoren sind größer als 1 und somit ist $z$ keine Primzahl.



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1383, eingetragen 2019-07-22


2019-07-22 22:42 - Kuestenkind in Beitrag No. 1381 schreibt:
Diese Schranke scheint schon sehr scharf zu sein. Der genaue Wert sollte (wenn ich mich nicht vertue) dieser sein.

Und wie kommst du auf den von dir eingegebenen Ausdruck?

Ich hatte übrigens in #1379 die für $q>1$ gültige Abschätzung
\[\frac{q^3+1}{q^3-1}=1+\frac2{q^3-1}<\exp\left(\frac2{q^3-1}\right)<\exp\left(\frac2{q^3-q}\right)\] benutzt, sofern dies nicht ohnehin klar war.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1381 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1384, eingetragen 2019-07-22


Huhu weird!

2019-07-22 23:16 - weird in Beitrag No. 1383 schreibt:
Und wie kommst du auf den von dir eingegebenen Ausdruck?

Nun - ich meine den mal irgendwo gelesen zu haben. Aber man sollte das doch einfach über das Euler Produkt nachrechnen können. Es ist ja \(\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}\). Dazu hatte auch shadowking mal ein Artikel geschrieben:

article.php?sid=1546

Nun ist \(\frac{p^3+1}{p^3-1}=\frac{\left(\frac{p^3}{p^3-1}\right)^2}{\frac{p^6}{p^6-1}}\). Sollte also passen - wenn ich mich nicht vertue. Zumindest liegt es sehr in der Nähe deiner Schranke.  smile

Gruß,

Küstenkind

PS: Das sollte ja auch keine Lösung der Aufgabe sein...



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1385, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-23


2019-07-22 22:34 - TomTom314 in Beitrag No. 1380 schreibt:
Aufgabe 2 - 331042
Man beweise, dass es unendlich viele rationale Zahlentgibt, für die $\sqrt{t+\sqrt{t}}$ rational ist.

Mit dem Ansatz $t=r^2$, reicht es zu zeigen, dass es unendlich viele Zahlen $r,s\in\IQ$ mit $r(r+1)=s^2$ gibt. Falls $r$ und $r+1$ Quadrate in $\IQ$ sind, gibt es eine Lösung für die Gleichung. Für $0<q<p\in\IN$ definiere das pythagoreisches Zahlentripel  $a:=2pq, b:=p^2-q^2, c=:p^2+q^2$ und $r:=\frac{a^2}{b^2}$. Dann gilt $r+1=\frac{c^2}{b^2}$. Somit ist für $t=\frac{16p^4q^4}{(p^2-q^2)^4}$ der Ausdruck $\sqrt{t+\sqrt{t}}$ rational.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1378 begonnen.]
Ich habe in der Lösung deinen Term zusätzlich ausgerechnet und hoffe, du bist damit einverstanden:
\[
\sqrt{t+\sqrt{t}}
= \sqrt{\frac{16p^4q^4}{(p^2-q^2)^4}+\sqrt{\frac{16p^4q^4}{(p^2-q^2)^4}}}
= \sqrt{\frac{16p^4q^4}{(p^2-q^2)^4}+\frac{4p^2q^2}{(p^2-q^2)^2}}
= \frac{2pq(p^2+q^2)}{(p^2-q^2)^2} \in \mathbb Q
\] LG Steffen



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1386, vom Themenstarter, eingetragen 2019-07-23


Nicht wundern, wenn ihr die aktuelle Datei aufruft.
Ich habe jetzt im Titel die zusätzlichen Aufgaben der I. Stufe mit aufgenommen. Dadurch steht jetzt z.B. dort:
"1673 Aufgaben und 1581 Lösungen ..."
Das ändert aber nichts an unserem Projekt, alle Aufgaben der II. bis IV.Stufe zu rechnen.
Es sind jetzt 1461 gelöste Aufgaben, 92 fehlen noch.

Als ich am 22. April den Thread startete, habe ich an so einen Erfolg niemals gedacht. Ihr seid sensationell.

Danke
Steffen



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1387, eingetragen 2019-07-23


2019-07-22 23:58 - Kuestenkind in Beitrag No. 1384 schreibt:
Nun ist \(\frac{p^3+1}{p^3-1}=\frac{\left(\frac{p^3}{p^3-1}\right)^2}{\frac{p^6}{p^6-1}}\). Sollte also passen - wenn ich mich nicht vertue. Zumindest liegt es sehr in der Nähe deiner Schranke.  smile

Ok, nach dieser Umformung ist dann tatsächlich alles klar.  wink

Das nimmt der Aufgabe aber m.E. jetzt schon ein bisschen ihren Reiz, denn warum sollte man sich mit einer Näherung begnügen, wenn man auch den exakten Wert
\[\frac{\zeta(3)^2}{\zeta(6)}=1.420308303...\] haben kann - soweit man bei $\zeta(3)$, für welches man ja bekanntlich keine über die Definition hinausgehende formelmäßige Berechnungsmöglichkeit kennt, von einem "exakten" Wert überhaupt sprechen kann. Oder war die Aufgabe am Ende doch so gemeint?  confused



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1388, eingetragen 2019-07-23


Guten Morgen!

Hmm - das war nun überhaupt nicht meine Intention. Ich wollte eigentlich das Gegenteil erreichen und nur Motivation mit einem Vergleichswert schaffen. Und wie du ja schreibst, kann man bei \(\zeta(3)\) ja auch nicht von einem "exakten" Wert sprechen (immerhin hat sich dieses Jahr anscheinend die Anzahl der bekannten stellen verdoppelt klick) - von daher macht es m. E. doch Sinn eine Abschätzung anzugeben. Die Teilnehmer sitzen ja auch ohne WA in der Klausur - und ich denke auch ohne Wissen über die Zetafunktion. Von daher wird man sich die Abschätzung schon irgendwie Hinrechnen können. Ohne überhaupt über die Aufgabe nachgedacht zu haben erinnert sie mich ein wenig an diese:

LinkAlte Olympiadeaufgaben

Das mag vll auch daran liegen, dass dieses +1 und -1 eben an die dritte binomische Formel erinnert und auch 36 und 25 Quadratzahlen sind.

Sonnige Grüße aus dem Norden,

Küstenkind



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1389, eingetragen 2019-07-23


2019-07-23 11:08 - Kuestenkind in Beitrag No. 1388 schreibt:
Hmm - das war nun überhaupt nicht meine Intention. Ich wollte eigentlich das Gegenteil erreichen und nur Motivation mit einem Vergleichswert schaffen.

"Nur einen Vergleichswert schaffen" ist ja wohl eine ziemliche Untertreibung hier, da er hier ja das Optimum darstellt.  wink  

Du solltest also meiner Meinung nach auf jeden Fall deine Lösung noch etwas ausarbeiten und hier hereinstellen, da ohne sie hier etwas fehlen würde, auch wenn sie für die Schule dann doch sehr anspruchsvoll ist.

Ich biete untenstehend dazu noch eine relativ einfache Alternativlösung zur Aufgabe 2-251242 (s. #1377 zur Aufgabenstellung) an, welche zwar meiner Grundidee in #1379 folgt, aber die darin vorkommende unendliche Summe nicht ausrechnet, was für die Schule vielleicht zu kompliziert ist, sondern nur nach oben abschätzt.


Seien im Folgenden die reellen Funktion $f$ und $g$ definiert durch
\[f(x):=\frac 2{(2x+1)^3-(2x+1)}=\frac1{2x}-\frac2{2x+1}+\frac1{2x+2}\] und
\[g(x):=\frac{x^3+1}{x^3-1}=1+\frac2{x^3-1}\] Unter Benützung von
\[\forall x>1:\quad g(x)=1+\frac2{x^3-1}<\exp\left(\frac2{x^3-1}\right)<\exp\left(\frac2{x^3-x}\right)\] gilt dann zunächst
\[\prod\limits_{k=1}^n g(q_k)<\prod\limits_{p\in\mathbb P} g(p)<g(2)g(3)\prod\limits_{k=2}^\infty g(2k+1)<g(2)g(3)\exp\left(\sum\limits_{k=2}^\infty f(k)\right) \] und unter Verwendung der Abschätzung
\[\sum\limits_{k=2}^\infty f(k)<f(2)+\int\limits_2^\infty f(x)\,dx=\frac1{60}+\frac12\ln(\frac{25}{24}) \] erhalten wir schließlich als obere Schranke für unser Produkt
\[\frac{18}{13}\exp\left(\frac1{60}+\frac12\ln\left(\frac{25}{24}\right)\right)\approx 1.4369\] was also dann tatsächlich noch knapp unter der "angepeilten" Marke von
\[\frac{36}{25}= 1.44\] hier liegt.



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1390, eingetragen 2019-07-23


@Steffen, Aufgabe 2 - 331042: Das ist gut. Einmal nachrechnen ist nicht verkehrt.

Aufgabe 4 - 311034
a) Untersuchen Sie, wie viele rationale Zahlentes insgesamt gibt, die den folgenden drei Bedingungen(1), (2), (3) genügen
(1) Es gilt t >1.
(2) Die Zahl√t+√tist rational.
(3)  In  der  Darstellung $t=\frac{n}{m}$ als  vollständig  gekürzter  Bruch  zweier  natülicher  Zahlen n,m ist n=1000.
b)  Lösen  Sie  dieselbe  Aufgabe,  wenn  in  der  Bedingung  (3)  die  Gleichung n=10000  anstelle  von n=1000 steht!

a) Falls $t,s\in\IQ$ eine Lösung der Gleichung $\sqrt{t+\sqrt{t}}=s$ ist, gilt $\sqrt{t}=s^2-t\in\IQ$. Also ist $t$ das Quadrat eine rationalen Zahl und in der gekürzten Darstellung $t=\frac{n}{m}$ müssen $n,m$ Quadrate in $\IN$ sein. Dieses ist für $n=1000$ nicht der Fall. Daher gibt es keine Lösung.

b) Setze $r:=\sqrt{t} = \frac{100}{q} \in\IQ$ mit $q^2=m$. Aus (1) folgt $q<100$. Die Gleichung $\sqrt{t+\sqrt{t}}=s$ ist äquivalent zu $r(r+1)=s^2\iff 100(100+q)=(qs)^2\in\IN$. Die Gleichung hat genau dann eine Lösung, wenn $100+q$ ein Quadrat in $\IN$ ist. Daher gilt  wegen (1): $q\in\{21,44,69,96\}$. Da eine vollständig gekürzte Lösung gesucht ist, fälls $q=44$ weg und somit gibt es für $t$ die drei Lösungen $\frac{10000}{21^2},\frac{10000}{69^2},\frac{10000}{96^2}$.

Bemerkung: Ohne die Bedingung (1) gibt es in b) unendlich viele Lösungen $t=\frac{10000}{(a^2-100)^2}$ mit $a\in\IN, a>10$ und $ggT(a,10)=1$. Diese ergeben eine alternative Lösung zu Aufgabe 331042.

@Steffen: kannst Du hier noch einen Verweis von 331042 auf 311034 einbauen?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1388 begonnen.]



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Kuestenkind
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2019-07-23 14:04 - weird in Beitrag No. 1389 schreibt:
Du solltest also meiner Meinung nach auf jeden Fall deine Lösung noch etwas ausarbeiten und hier hereinstellen, da ohne sie hier etwas fehlen würde, auch wenn sie für die Schule dann doch sehr anspruchsvoll ist.

Ja - mal schauen, vll mache ich das noch. In den nächsten Tagen werde ich mich aber erstmal ein wenig ins "mathematische Off" begeben und das Wetter genießen, bevor die Schule wieder beginnt. Aber die Lösungssuche hier hat ja auch keine Deadline.

2019-07-23 14:04 - weird in Beitrag No. 1389 schreibt:
\(\frac{36}{25}\approx 1.44\)

\(\frac{36}{25}\) ist eigentlich ziemlich genau \(1.44\).  razz

Viele Grüße,

Küstenkind



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1392, eingetragen 2019-07-23


Aufgabe 2 - 311042
Es sei ABC ein beliebiges Dreieck; auf der Seite BC sei D ein beliebiger Punkt zwischen B und C; auf CA sei E ein beliebiger Punkt zwischen C und A; auf AB sei F ein beliebiger Punkt zwischen A und B. Ferner sei $k_A$ der Kreis durch A,E,F; es sei $k_B$ der Kreis durch B,F,D; und es sei $k_C$ der Kreisdurch C,D,E. Man beweise,   dass   bei   allen   Lagemöglichkeiten,   die   es   unter   diesen   Voraussetzungen   für A,B,C,D,E,F,kA,kB,kC gibt, die drei Kreise kA,kB,kC stets einen Punkt gemeinsam haben.

Sei $S$ der zweite Schnittpunkt der Kreise $k_A,k_B$. Dann sind $AFSE$ und $BDSF$ Sehnenvierecke und es gilt $\angle FSE = 180^\circ - \alpha$, $\angle DSF = 180^\circ - \beta$ und somit
$$\angle ESD=360^\circ-\angle FSE - \angle DSF =  \alpha +\beta = 180^\circ-\gamma.$$
Daher ist $CESD$ ebenfalls ein Sehnenviereck und $S$ liegt auch auf dem Kreis $k_C$.



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1393, eingetragen 2019-07-24


Hallo,
hier ist eine Beweisidee ohne Exponentialfunktion für die Aufgabe 251242

Per Induktion lässt sich
\[\prod_{k=6}^n \frac{k^3+1}{k^3-1}=\frac{31}{30}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}\] zeigen. Somit gilt
\[\prod_{k\geq 6} \frac{k^3+1}{k^3-1}=\frac{31}{30}.\] Zwei aufeinanderfolgende Faktoren lassen sich durch den kleineren der beiden abschätzen.
Es gilt \[
\frac{k^3+1}{k^3-1}<
\frac{(k-1)^3+1}{(k-1)^3-1}.\] Somit folgt
\[\left(\prod_{\substack{k\geq 7\\2\nmid k}}^{\infty} \frac{k^3+1}{k^3-1}\right)^2=\prod_{\substack{k\geq 7\\2\nmid k}}^{\infty} \left(\frac{k^3+1}{k^3-1}\right)^2
<\prod_{\substack{k\geq 7\\2\nmid k}}^{\infty}\frac{k^3+1}{k^3-1}
\frac{(k-1)^3+1}{(k-1)^3-1}=\prod_{k=6}^{\infty} \frac{k^3-1}{k^3+1}=\frac{31}{30}.\]
Also ist unser gesuchtes Produkt kleiner als
\[\frac{2^3+1}{2^3-1}\frac{3^3+1}{3^3-1}
\frac{5^3+1}{5^3-1}\prod_{\substack{k\geq 7\\2\nmid k}}^{\infty} \frac{k^3+1}{k^3-1}
<\frac{2^3+1}{2^3-1}\frac{3^3+1}{3^3-1}
\frac{5^3+1}{5^3-1}
\sqrt{\frac{31}{30}}
\]
Die Induktion füge ich morgen hinzu. Ebenso, warum $\left(\frac{2^3+1}{2^3-1}\frac{3^3+1}{3^3-1}
\frac{5^3+1}{5^3-1}\right)^2\frac{31}{30}<\left(\frac{36}{25}\right)^2$ gilt.


Möchte jemand mal über die Lösung schauen? Ich hoffe nicht, dass ich mich verrechnet habe, mag es aber nicht ausschließen.





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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1394, eingetragen 2019-07-24


2019-07-24 00:06 - ochen in Beitrag No. 1393 schreibt:
Möchte jemand mal über die Lösung schauen? Ich hoffe nicht, dass ich mich verrechnet habe, mag es aber nicht ausschließen.

Also ich habe mir das kurz durchgesehen und finde jetzt keinen Fehler in deinen Überlegungen. Es ist dies auf jeden Fall ebenfalls eine interessante und dazu auch mit relativ einfachen Mitteln machbare Lösungsvariante.  smile



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1395, eingetragen 2019-07-24


Hallo weird,

dankeschön, dann habe ich jetzt eine Alternativlösung für die Aufgabe 251242.


Lemma: Für alle natürlichen Zahlen $n\geq 6$ gilt
\[\prod_{k=6}^n \frac{k^3+1}{k^3-1}=\frac{31}{30}\frac{n(n+1)}{n^2+n+1}.\]
Beweis: Wir zeigen die Aussage mittels vollständiger Induktion.
Für $n=6$ gilt
\[\prod_{k=6}^n \frac{k^3+1}{k^3-1}=
\frac{6^3+1}{6^3-1}=\frac{217}{215}=
\frac{31}{30}\frac{6(6+1)}{6^2+6+1}=\frac{31}{30}\frac{n(n+1)}{n^2+n+1}.\]
Unter der Voraussetzung,  dass die obige Aussage für eine natürliche Zahl $n\geq 5$ gilt, folgt auch die Aussage für $n+1$, denn wir erhalten
\[\prod_{k=5}^{n+1} \frac{k^3+1}{k^3-1}=
\frac{31}{30}\frac{n(n+1)}{n^2+n+1}
\frac{(n+1)^3+1}{(n+1)^3-1}
=\frac{31}{30}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}
\frac{(n+1)+1}{(n+1)-1}
\frac{(n+1)^2-(n+1)+1}{(n+1)^2+(n+1)+1}
=\frac{31}{30}\frac{n(n+1)}{n^2+n+1}
\frac{n+2}{n}
\frac{n^2+n+1}{(n+1)^2+(n+1)+1}
=\frac{31}{30}\frac{(n+1)(n+2)}{(n+1)^2+(n+1)+1}.
\] Damit ist das Lemma gezeigt.  $\square$

Seien nun die Folgen $(a_n)$, $(b_n)$ und $(c_n)$ gegeben durch
\[a_n = \prod_{k=6}^{2n+1} \frac{k^3+1}{k^3-1},\ b_n = \prod_{k=3}^n \frac{(2k)^3+1}{(2k)^3-1}\quad\text{und}\quad c_n = \prod_{k=3}^n \frac{(2k+1)^3+1}{(2k+1)^3-1}. \]
Aus
\[\frac{(2k+1)^3+1}{(2k+1)^3-1}=1+\frac{2}{(2k+1)^3-1}<1+\frac{2}{(2k)^3+1}= \frac{(2k)^3+1}{(2k)^3-1}.\] folgt $c_n<b_n$ für alle natürlichen Zahlen $n\geq 3$. Weiter erhalten wir mit obigem Lemma
\[c_n^2<b_n\cdot c_n=a_{n}<\frac{31}{30}.\]
Für $m$ paarweise verschiedene Primzahlen $q_1,\ldots,q_m$, gibt es eine natürlich Zahl $n$, sodass gilt
\[\prod_{k=1}^m\frac{q_k^3+1}{q_k^3-1}<\frac{2^3+1}{2^3-1}\frac{3^3+1}{3^3-1}\frac{5^3+1}{5^3-1}\cdot\prod_{k=3}^n \frac{(2k+1)^3+1}{(2k+1)^3-1}<\frac{2^3+1}{2^3-1}\frac{3^3+1}{3^3-1}\frac{5^3+1}{5^3-1}\cdot\sqrt{\frac{31}{30}}<\frac{36}{25}.\]



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TomTom314
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2019-07-23 22:59 - TomTom314 in Beitrag No. 1392 schreibt:
Aufgabe 2 - 311042
...

Hallo Steffen,

die Lösung ist leider ausgesprochen unvollständig, da ich implizit annehme, dass der Schnittpunkt im inneren des Dreiecks $ABC$ liegt. Die Idee ist schon ok, muß aber noch überarbeitet werden. Daher wäre es gut, wenn Du meine Lösung aus dem pdf herausnimmst.



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@TomTom314: Ich habe die Lösung herausgenommen.

Wir sind nun bei 1463 Lösungen. 90 Probleme sind noch offen.

LG Steffen



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ochen
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Aufgabe 6 - 311036
Beweisen  Sie,  dass  es  unendlich  viele  verschiedene  Paare  $(f,g)$  von  Funktionen  gibt,  für  die  die folgenden Aussagen (1), (2) und (3) gelten:
(1) Die Funktionen $f$ und $g$ sind für alle reellen Zahlen $x$ definiert.
(2) Es gilt $f(0) = 1992$.
(3) Fuer jedes reelle $x$ gilt $\frac{g(x)f(x+1)}{f(x)}=g(2x) + 1$

Sei eine reelle $c>0$ beliebig. Wir zeigen, dass
\[f(x)=1992\cdot\exp\left(x\ln\left(1+\frac{1}{c}\right)\right), g(x)=c\] alle Eigenschaften erfüllt.
Es sind $f,g\colon \mathbb{R}\to (0,\infty)$ für alle reellen Zahlen $x$ definiert. Weiter gilt $f(0)=1992\cdot\exp(0)=1992$. Für alle reellen Zahlen $x$ erhalten wir
\[\frac{g(x)f(x+1)}{f(x)}=\frac{c\cdot 1992\cdot\exp\left((x+1)\ln\left(1+\frac{1}{c}\right)\right)}{ 1992\cdot\exp\left(x\ln\left(1+\frac{1}{c}\right)\right)}
=\frac{ c\cdot\exp\left(x\ln\left(1+\frac{1}{c}\right)\right)\cdot \exp\ln\left(1+\frac{1}{c}\right)}{ \exp\left(x\ln\left(1+\frac{1}{c}\right)\right)}=c\cdot\left(1+\frac{1}{c}\right)=c+1=g(2x)+1.
\] Da es unendlich viele unterschiedliche reelle Zahlen $c>0$ gibt, existieren unendlich  viele  verschiedene  Paare  $(f,g)$ mit den gewünschten Eigenschaften.



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ochen
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Aufgabe 4 - 341044
Zu jeder gegebenen reellen Zahl $c$ sind zwei in einem Intervall $[a,b]$ definierte Funktionen f und g gesucht, die den folgenden Bedingungen (1), (2), (3) genügen:
(1) Für jedes $x$ in dem Intervall $[a,b]$ gilt $g(x)=\frac{1}{f(x)}$.
(2) Die Funktion $f$ ist nicht konstant.
(3) Der Graph von $g$ geht aus dem Graph von $f$ durch Verschiebung um den Wert $c$ in Richtung der $y$-Achse hervor.

Sei $a,b,c$ beliebige reelle Zahlen mit $a<b$. Seien weiter $y_1,y_2\in \mathbb{R}$ definiert als
\[y_1 := -\frac{c}{2}+\sqrt{1+\frac{c^2}{4}},\qquad y_2:= -\frac{c}{2}-\sqrt{1+\frac{c^2}{4}}.\] Es sind $y_1,y_2$ wohldefiniert und verschieden, da der Term unter der Wurzel $1+\frac{c^2}{4}$ für alle reellen Zahlen $c$ größer als Null ist. (Er ist sogar nicht kleiner als Eins.) Wir können weiter feststellen, dass $y_1$ und $y_2$ Nullstellen des Polynoms
\[p(y)=y^2+cy-1\] sind.

Wir definieren $f,g\colon[a,b]\to\mathbb{R}$
\[f(x)=\begin{cases}
y_1,&a\leq x\leq \frac{a+b}{2}\\
y_2,&\frac{a+b}{2}<x\leq b
\end{cases},\qquad g(x)=f(x)+c,\] so gilt für alle reellen Zahlen $x$
\[f(x)g(x)=f(x)(f(x)+c)=(f(x))^2+cf(x)-1+1=p(f(x))+1=1,\] da $f$ nur auf Nullstellen des Polynoms $p$ abbildet.
Weiter ist $f$ nicht konstant, da $f(a)=y_1\neq y_2=f(b)$. Da definitionsgemäß $g(x)=f(x)+c$ für alle reellen $x$ gilt, ist der Graph von $g$ der um $c$ in $y$-Richtung verschobene Graph von $f$.



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