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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1720, eingetragen 2019-08-12


Huhu,

ja - darauf habe ich aufgrund von
2019-08-12 10:05 - stpolster in Beitrag No. 1701 schreibt:
Ich habe mawi betreffs der 4 fehlenden Lösungen angeschrieben.

nun erstmal verzichtet. In der Woche bin ich sehr ausgelastet, aber falls sich bis zum Wochenende nichts tut, kann ich das gerne nachreichen.

Es wäre toll, wenn du Manuela auch noch mal nach der Lösung zu 311042 fragen könntest. Dann könnten wir sie noch mal mit der Lösung von Tom und mir vergleichen (LinkAlte Olympiadeaufgaben), von der ich eigentlich immer noch überzeugt bin - und welche es ja irgendwie nicht in die PDF geschafft hat.

Was ist zudem mit LinkAlte Olympiadeaufgaben ? Spricht etwas gegen die Lösung? Würde mich dann auch noch mal interessieren.

Und letzte Frage: Wieso ist eigentlich bei 1994 Schluß?

Gruß,

Küstenkind



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stpolster
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2019-08-12 21:02 - Kuestenkind in Beitrag No. 1720 schreibt:
1. Was ist zudem mit LinkAlte Olympiadeaufgaben ? Spricht etwas gegen die Lösung? Würde mich dann auch noch mal interessieren.

2. Und letzte Frage: Wieso ist eigentlich bei 1994 Schluß?
zu 1. Ich muss erst einmal herausbekommen, um welche Aufgabe es geht, dann übernehme ich deine Lösung.

zu 2. Ab 1995 liegt das Copyright für alle Aufgaben bei
www.mathematik-olympiaden.de/moev/index.php/aufgaben
Die Aufgaben und vor allem die Lösungen werden in gedruckter Form für eine Refinanzierung des Vereins veröffentlicht.
Da ist nichts zu machen.

LG Steffen



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1722, eingetragen 2019-08-12


2019-08-12 21:10 - stpolster in Beitrag No. 1721 schreibt:
zu 1. Ich muss erst einmal herausbekommen, um welche Aufgabe es geht, dann übernehme ich deine Lösung.

zu 2. Ab 1995 liegt das Copyright für alle Aufgaben bei
www.mathematik-olympiaden.de/moev/index.php/aufgaben
Die Aufgaben und vor allem die Lösungen werden in gedruckter Form für eine Refinanzierung des Vereins veröffentlicht.
Da ist nichts zu machen.

LG Steffen

Irgendwann sind alle offenen Aufgaben eingereicht, ein kleines Jubiläum.
Allerding wird es sicher immer wieder eine Alternativlösung geben. Oder generelle Ergänzungen, es fehlen z.B. noch viele Zeichnungen.

Für weitere Aufgaben könntest Du (freie) ausländische Olympiaden oder ähnliches heranziehen.
Oder, naheliegender: zu Deinen eingescannten Büchern gibt es sicher nicht überall einen Lösungsteil.
Diese Aufgaben könnte man auch in Angriff nehmen.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1723, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-12

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-10 13:09 - HyperPlot in Beitrag No. 1688 schreibt:

<math>

%\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{calc,backgrounds}

\pgfmathsetmacro{\R}{1} %
\pgfmathsetmacro{\Scala}{3} %

\pgfmathsetmacro{\a}{\R/sqrt(3)} %
\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(\R*\R-\a*\a} %


\xdef\lstnormals{%
{sqrt(1/3), sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), -sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), -sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), -sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), -sqrt(1/3), -sqrt(1/3)}%
} % List

\xdef\LstNormals{{\lstnormals}} % Array

\foreach[count=\n from 0] \k in \lstnormals {}
\pgfmathsetmacro{\N}{\n} % Number of  List-Elements
%\N


\newcommand{\RotationAnglesForPlaneWithNormal}[5]{%\typeout{N=(#1,#2,#3)}
\pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(abs(#3)==1,0,1)}
\ifnum\itest=0
\xdef#4{0}
\xdef#5{0}
\else
\foreach \XS in {1,-1}
{\foreach \YS in {1,-1}
{\pgfmathsetmacro{\mybeta}{\XS*acos(#3)}
\pgfmathsetmacro{\myalpha}{\YS*acos(#1/sin(\mybeta))}
\pgfmathsetmacro{\ntest}{abs(cos(\myalpha)*sin(\mybeta)-#1)%
+abs(sin(\myalpha)*sin(\mybeta)-#2)+abs(cos(\mybeta)-#3)}
\ifdim\ntest pt<0.1pt
\xdef#4{\myalpha}
\xdef#5{\mybeta}
\fi
}}
\fi
}

\begin{document}
%\tdplotsetmaincoords{110}{60}
\tdplotsetmaincoords{60}{110}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords, scale=\Scala]

% Cosy
\begin{scope}[-latex]
\pgfmathsetmacro{\L}{1.9} %
\foreach \P/\s/\Pos in {{1.3*\L,0,0}/x/right, {0,\L,0}/y/below, {0,0,\L}/z/right}
\draw[shorten <=0 cm] ($-0.75*(\P)$) -- (\P) node (\s) [\Pos, pos=1.0,inner sep=2pt]{$\s$};

%\fill[ball color= black] (1.5,0,0) circle (0.22*\Scala pt) node[left] {$1.5$};
%\fill[ball color= black] (0,1.5,0) circle (0.22*\Scala pt) node[below] {$1.5$};
%\fill[ball color= black] (0,0,1.5) circle (0.22*\Scala pt) node[left] {$1.5$};
\end{scope}

\path (0,0,0) coordinate (O);

\foreach[count=\ConeColornumber from 0] \myind in {0,...,\N} {%%%%
\pgfmathsetmacro\ConeColor{mod(\ConeColornumber,2) ? "red" : "blue"}

\pgfmathsetmacro{\myNx}{\LstNormals[\myind][0]}
\pgfmathsetmacro{\myNy}{\LstNormals[\myind][1]}
\pgfmathsetmacro{\myNz}{\LstNormals[\myind][2]}
\RotationAnglesForPlaneWithNormal{\myNx}{\myNy}{\myNz}{\tmpalpha}{\tmpbeta}
%\typeout{\myNx,\tmpalpha,\tmpbeta}
\tdplotsetrotatedcoords{\tmpalpha}{\tmpbeta}{0}
\begin{scope}[tdplot_rotated_coords,canvas is xy plane at z=\r,local bounding
box=loc]
\path[name path=circle] (0,0) circle[radius=\a];
\path[overlay,name path=test] (0,0) -- (O);
\path (1,0) coordinate (Xloc) (0,1) coordinate (Yloc) (0,0) coordinate (Oloc);
\path[name intersections={of=circle and test,total=\iNum}]
\pgfextra{\xdef\iNum{\iNum}};
\ifnum\iNum>0
\begin{scope}
\pgftransformreset
\path let \p1=($(Oloc)-(O)$),\n1={mod(720+atan2(\y1,\x1),360)} in
\pgfextra{\xdef\oldmax{\n1}\xdef\oldmin{\n1}};
\end{scope}
\typeout{\myind,\oldmax}
\foreach \XX in {0,1,...,359}
{\path ($(\XX:\r)-(O)$) coordinate (aux1) ($(\XX:\r)-(Oloc)$) coordinate
(aux2);
\pgftransformreset
\path let \p1=(aux1),%\p2=(aux2),
\n1={atan2(\y1,\x1)} in
\pgfextra{\pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(sin(\n1-\oldmin)<0,0,1)}
\ifnum\itest=0
\xdef\oldmin{\n1}
\xdef\oldanA{\XX}
\fi
\pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(sin(\oldmax-\n1)<0,0,1)}
\ifnum\itest=0
\xdef\oldmax{\n1}
\xdef\oldanB{\XX}
\fi};
}
\draw[fill=\ConeColor!70] (\oldanA:\a) -- (O) -- (\oldanB:\a);
\draw[fill=\ConeColor!80](0,0) circle[radius=\a];
\else
%\message{\myind: no intersections}
\draw[fill=\ConeColor!80](0,0) circle[radius=\a];
\fi
\end{scope}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% Sphere
\begin{scope}[tdplot_screen_coords, on background layer]
\fill[ball color= gray!20, opacity = 0.3] (0,0,0) circle (\R);
%\path[ball color=gray,opacity=0.4] (O) circle[radius=\R];
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{document}</math>

Ich habe dein Bild getestet, es funktioniert.
Allerdings wird vor dem Bild und nach dem Bild ein riesiger Abstand zum Text gelassen. Wo kann ich das ändern?

Danke
Steffen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1721 begonnen.]
\(\endgroup\)


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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1724, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-12


2019-08-12 22:01 - HyperPlot in Beitrag No. 1722 schreibt:
Für weitere Aufgaben könntest Du (freie) ausländische Olympiaden oder ähnliches heranziehen.
Oder, naheliegender: zu Deinen eingescannten Büchern gibt es sicher nicht überall einen Lösungsteil.
Diese Aufgaben könnte man auch in Angriff nehmen.
Ich habe schon ein paar Ideen.
Im Moment brauchen wir aber, denke ich, erst einmal eine Erholungsphase.

LG Steffen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1725, eingetragen 2019-08-12





Zunächst die Konstruktionsanweisungen:
1. Zeichne jeweils eine Gerade entlang $AD$ und $BC$, der Schnittpunkt ist $P$.
2. Zeichne jeweils eine Gerade entlang $AE$ und $BF$, der Schnittpunkt ist $Q$.
3. Zeichne eine Gerade durch $P$ und $Q$.
4. Zeichne eine Gerade entlang $FG$. Der Schnittpunkt mit der Geraden $PQ$ sei $R$.
5. Zeichne eine Gerade durch $R$ und $E$.
6. Zeichne eine Gerade entlang $CG$. Der Schnittpunkt mit der Geraden $PQ$ sei $S$.
7. Zeichne eine Gerade durch $S$ und $D$.
8. Der Schnittpunkt der Geraden $RE$ und $SD$ ist der gesuchte Punkt $H$.

Begründung:
Die "rote" Gerade $PQ$ ist die Schnittlinie der Ebenen $ADHE$ und $BCGF$. Wir kennen zwar $H$ nicht, aber die Ebene $ADHE$, in der $H$ liegt, ist allein durch die Kanten $AE$ und $AD$ definiert. Da $AD$ und $BC$ in einer Ebene liegen, müssen sie die Schnittlinie im selben Punkt, nämlich $P$ schneiden. Sinngemäß das gleiche gilt für $AE$ und $BF$, die sich in $Q$ schneiden. Die Schnittlinie muss daher durch die Punkte $P$ und $Q$ verlaufen.
Nachdem wir so die Schnittlinie konstruiert haben, können wir auf $H$ Rückschlüsse ziehen. Da $EH$ und $FG$ ebenfalls in einer Ebene liegen sollen, müssen ihre Geraden sich auf der Schnittlinie im selben Punkt schneiden. Daher schneiden wir die Gerade $FG$ mit der Schnittlinie und erhalten den Schnittpunkt $R$. $R$ muss der Schnittpunkt von $EH$ mit der Schnittlinie $PQ$ sein, daher legen wir eine Gerade durch $R$ und $E$. Das gleiche noch einmal mit $CG$ und $DH$, die sich ebenfalls auf der Schnittlinie $PQ$ schneiden müssen.

Ciao,

Thomas



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1726, eingetragen 2019-08-12

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-12 22:14 - stpolster in Beitrag No. 1723 schreibt:
2019-08-10 13:09 - HyperPlot in Beitrag No. 1688 schreibt:

<math>

%\usepackage{tikz-3dplot}
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{calc,backgrounds}

\pgfmathsetmacro{\R}{1} %
\pgfmathsetmacro{\Scala}{3} %

\pgfmathsetmacro{\a}{\R/sqrt(3)} %
\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(\R*\R-\a*\a} %


\xdef\lstnormals{%
{sqrt(1/3), sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), -sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), -sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), -sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), -sqrt(1/3), -sqrt(1/3)}%
} % List

\xdef\LstNormals{{\lstnormals}} % Array

\foreach[count=\n from 0] \k in \lstnormals {}
\pgfmathsetmacro{\N}{\n} % Number of  List-Elements
%\N


\newcommand{\RotationAnglesForPlaneWithNormal}[5]{%\typeout{N=(#1,#2,#3)}
\pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(abs(#3)==1,0,1)}
\ifnum\itest=0
\xdef#4{0}
\xdef#5{0}
\else
\foreach \XS in {1,-1}
{\foreach \YS in {1,-1}
{\pgfmathsetmacro{\mybeta}{\XS*acos(#3)}
\pgfmathsetmacro{\myalpha}{\YS*acos(#1/sin(\mybeta))}
\pgfmathsetmacro{\ntest}{abs(cos(\myalpha)*sin(\mybeta)-#1)%
+abs(sin(\myalpha)*sin(\mybeta)-#2)+abs(cos(\mybeta)-#3)}
\ifdim\ntest pt<0.1pt
\xdef#4{\myalpha}
\xdef#5{\mybeta}
\fi
}}
\fi
}

\begin{document}
%\tdplotsetmaincoords{110}{60}
\tdplotsetmaincoords{60}{110}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords, scale=\Scala]

% Cosy
\begin{scope}[-latex]
\pgfmathsetmacro{\L}{1.9} %
\foreach \P/\s/\Pos in {{1.3*\L,0,0}/x/right, {0,\L,0}/y/below, {0,0,\L}/z/right}
\draw[shorten <=0 cm] ($-0.75*(\P)$) -- (\P) node (\s) [\Pos, pos=1.0,inner sep=2pt]{$\s$};

%\fill[ball color= black] (1.5,0,0) circle (0.22*\Scala pt) node[left] {$1.5$};
%\fill[ball color= black] (0,1.5,0) circle (0.22*\Scala pt) node[below] {$1.5$};
%\fill[ball color= black] (0,0,1.5) circle (0.22*\Scala pt) node[left] {$1.5$};
\end{scope}

\path (0,0,0) coordinate (O);

\foreach[count=\ConeColornumber from 0] \myind in {0,...,\N} {%%%%
\pgfmathsetmacro\ConeColor{mod(\ConeColornumber,2) ? "red" : "blue"}

\pgfmathsetmacro{\myNx}{\LstNormals[\myind][0]}
\pgfmathsetmacro{\myNy}{\LstNormals[\myind][1]}
\pgfmathsetmacro{\myNz}{\LstNormals[\myind][2]}
\RotationAnglesForPlaneWithNormal{\myNx}{\myNy}{\myNz}{\tmpalpha}{\tmpbeta}
%\typeout{\myNx,\tmpalpha,\tmpbeta}
\tdplotsetrotatedcoords{\tmpalpha}{\tmpbeta}{0}
\begin{scope}[tdplot_rotated_coords,canvas is xy plane at z=\r,local bounding
box=loc]
\path[name path=circle] (0,0) circle[radius=\a];
\path[overlay,name path=test] (0,0) -- (O);
\path (1,0) coordinate (Xloc) (0,1) coordinate (Yloc) (0,0) coordinate (Oloc);
\path[name intersections={of=circle and test,total=\iNum}]
\pgfextra{\xdef\iNum{\iNum}};
\ifnum\iNum>0
\begin{scope}
\pgftransformreset
\path let \p1=($(Oloc)-(O)$),\n1={mod(720+atan2(\y1,\x1),360)} in
\pgfextra{\xdef\oldmax{\n1}\xdef\oldmin{\n1}};
\end{scope}
\typeout{\myind,\oldmax}
\foreach \XX in {0,1,...,359}
{\path ($(\XX:\r)-(O)$) coordinate (aux1) ($(\XX:\r)-(Oloc)$) coordinate
(aux2);
\pgftransformreset
\path let \p1=(aux1),%\p2=(aux2),
\n1={atan2(\y1,\x1)} in
\pgfextra{\pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(sin(\n1-\oldmin)<0,0,1)}
\ifnum\itest=0
\xdef\oldmin{\n1}
\xdef\oldanA{\XX}
\fi
\pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(sin(\oldmax-\n1)<0,0,1)}
\ifnum\itest=0
\xdef\oldmax{\n1}
\xdef\oldanB{\XX}
\fi};
}
\draw[fill=\ConeColor!70] (\oldanA:\a) -- (O) -- (\oldanB:\a);
\draw[fill=\ConeColor!80](0,0) circle[radius=\a];
\else
%\message{\myind: no intersections}
\draw[fill=\ConeColor!80](0,0) circle[radius=\a];
\fi
\end{scope}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%% Sphere
\begin{scope}[tdplot_screen_coords, on background layer]
\fill[ball color= gray!20, opacity = 0.3] (0,0,0) circle (\R);
%\path[ball color=gray,opacity=0.4] (O) circle[radius=\R];
\end{scope}

\end{tikzpicture}
\end{document}</math>

Ich habe dein Bild getestet, es funktioniert.
Allerdings wird vor dem Bild und nach dem Bild ein riesiger Abstand zum Text gelassen. Wo kann ich das ändern?

Danke
Steffen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1721 begonnen.]

Da bin ich teilweise überfragt.
Ich bin grad wieder raus aus dem standalone-Paket, daher weiß ich gerade nicht, was man für \input beachten musste.

Aber wenn ich

main.tex
latex
% main.tex
\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
\usepackage{standalone}  
\usepackage[showframe=false]{geometry} 
\usepackage{mwe} % Dummy-Text
\begin{document}
\lipsum[66]
\noindent\includestandalone[mode=buildnew]{Raumkegel01}
 
\lipsum[66]
\newpage
\lipsum[66-69]
\end{document}


Raumkegel01.tex
latex
% Raumkegel01.tex
\documentclass[tikz,margin=3.14mm]{standalone}
\usepackage{tikz-3dplot} 
\usetikzlibrary{intersections}
\usetikzlibrary{calc,backgrounds}
 
\pgfmathsetmacro{\R}{1} %  
\pgfmathsetmacro{\Scala}{3} % 
 
\pgfmathsetmacro{\a}{\R/sqrt(3)} %  
\pgfmathsetmacro{\r}{sqrt(\R*\R-\a*\a} %  
 
 
\xdef\lstnormals{%
{sqrt(1/3), sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), -sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), -sqrt(1/3), sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{sqrt(1/3), -sqrt(1/3), -sqrt(1/3)},%
{-sqrt(1/3), -sqrt(1/3), -sqrt(1/3)}%
} % List
 
\xdef\LstNormals{{\lstnormals}} % Array
 
\foreach[count=\n from 0] \k in \lstnormals {}
\pgfmathsetmacro{\N}{\n} % Number of  List-Elements
%\N
 
 
\newcommand{\RotationAnglesForPlaneWithNormal}[5]{%\typeout{N=(#1,#2,#3)}
    \pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(abs(#3)==1,0,1)}
    \ifnum\itest=0
            \xdef#4{0}   
            \xdef#5{0}
    \else
    \foreach \XS in {1,-1}
    {\foreach \YS in {1,-1}
        {\pgfmathsetmacro{\mybeta}{\XS*acos(#3)} 
            \pgfmathsetmacro{\myalpha}{\YS*acos(#1/sin(\mybeta))} 
            \pgfmathsetmacro{\ntest}{abs(cos(\myalpha)*sin(\mybeta)-#1)%
                +abs(sin(\myalpha)*sin(\mybeta)-#2)+abs(cos(\mybeta)-#3)}
            \ifdim\ntest pt<0.1pt
            \xdef#4{\myalpha}   
            \xdef#5{\mybeta}
            \fi
    }}
    \fi
} 
 
\begin{document}
%\tdplotsetmaincoords{110}{60}
\tdplotsetmaincoords{60}{110}
\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords, scale=\Scala]
 
% Cosy
\begin{scope}[-latex]
\pgfmathsetmacro{\L}{1.9} %  
\foreach \P/\s/\Pos in {{1.3*\L,0,0}/x/right, {0,\L,0}/y/below, {0,0,\L}/z/right} 
\draw[shorten <=0 cm] ($-0.75*(\P)$) -- (\P) node (\s) [\Pos, pos=1.0,inner sep=2pt]{$\s$};
 
%\fill[ball color= black] (1.5,0,0) circle (0.22*\Scala pt) node[left] {$1.5$};
%\fill[ball color= black] (0,1.5,0) circle (0.22*\Scala pt) node[below] {$1.5$};
%\fill[ball color= black] (0,0,1.5) circle (0.22*\Scala pt) node[left] {$1.5$};
\end{scope}
 
\path (0,0,0) coordinate (O);
 
\foreach[count=\ConeColornumber from 0] \myind in {0,...,\N} {%%%%
\pgfmathsetmacro\ConeColor{mod(\ConeColornumber,2) ? "red" : "blue"}
 
\pgfmathsetmacro{\myNx}{\LstNormals[\myind][0]}
  \pgfmathsetmacro{\myNy}{\LstNormals[\myind][1]}
  \pgfmathsetmacro{\myNz}{\LstNormals[\myind][2]}
  \RotationAnglesForPlaneWithNormal{\myNx}{\myNy}{\myNz}{\tmpalpha}{\tmpbeta} 
  %\typeout{\myNx,\tmpalpha,\tmpbeta}
  \tdplotsetrotatedcoords{\tmpalpha}{\tmpbeta}{0}
  \begin{scope}[tdplot_rotated_coords,canvas is xy plane at z=\r,local bounding
  box=loc]
   \path[name path=circle] (0,0) circle[radius=\a];
   \path[overlay,name path=test] (0,0) -- (O);
   \path (1,0) coordinate (Xloc) (0,1) coordinate (Yloc) (0,0) coordinate (Oloc);
   \path[name intersections={of=circle and test,total=\iNum}]
   \pgfextra{\xdef\iNum{\iNum}};
   \ifnum\iNum>0
    \begin{scope}
     \pgftransformreset 
     \path let \p1=($(Oloc)-(O)$),\n1={mod(720+atan2(\y1,\x1),360)} in
      \pgfextra{\xdef\oldmax{\n1}\xdef\oldmin{\n1}};
    \end{scope}
    \typeout{\myind,\oldmax}
    \foreach \XX in {0,1,...,359}       
    {\path ($(\XX:\r)-(O)$) coordinate (aux1) ($(\XX:\r)-(Oloc)$) coordinate
    (aux2);
    \pgftransformreset
    \path let \p1=(aux1),%\p2=(aux2),
    \n1={atan2(\y1,\x1)} in
    \pgfextra{\pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(sin(\n1-\oldmin)<0,0,1)}
     \ifnum\itest=0
     \xdef\oldmin{\n1}
     \xdef\oldanA{\XX}
     \fi
     \pgfmathtruncatemacro{\itest}{ifthenelse(sin(\oldmax-\n1)<0,0,1)}
     \ifnum\itest=0
     \xdef\oldmax{\n1}
     \xdef\oldanB{\XX}
     \fi};
     }
    \draw[fill=\ConeColor!70] (\oldanA:\a) -- (O) -- (\oldanB:\a);
    \draw[fill=\ConeColor!80](0,0) circle[radius=\a];
   \else
    %\message{\myind: no intersections}
    \draw[fill=\ConeColor!80](0,0) circle[radius=\a];    
   \fi
\end{scope}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
%% Sphere
\begin{scope}[tdplot_screen_coords, on background layer]
\fill[ball color= gray!20, opacity = 0.3] (0,0,0) circle (\R); 
%\path[ball color=gray,opacity=0.4] (O) circle[radius=\R];
\end{scope}
 
\end{tikzpicture}
\end{document}


mache, entsteht eigentlich kein dramatischer Abstand.

\(\endgroup\)


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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1727, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-12


Vielen Dank für die neue und schöne Lösung.
Damit sind es nur noch 2.

LG Steffen



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moudi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1728, eingetragen 2019-08-13


Hallo zusammen

Ich glaube die Aufgabe 181236B ist ganz einfach. Zeichnung von MontyPythagoras.



Ich zeige die Kontraposition. Ist $\triangle ABC$ nicht gleichseitig, so sind $\triangle ABC$ und
$\triangle A'B'C'$ nicht ähnlich.

Sei also Dreieck $\triangle ABC$ nicht gleichseitig. ObdA nehme ich $\alpha\leq\beta\leq\gamma$ an. Dann
ist der Winkel $\alpha < 60^\circ$ und $\gamma>60^\circ$. Jetzt unterscheide ich die Fälle $\beta\leq 60^\circ$ und
$\beta\geq 60^\circ$.

Fall 1: $\beta\leq 60^\circ$.
Da Winkel $\angle C'AB'=3\alpha<180^\circ$ und $\angle A'BC'=3\beta\leq180^\circ$, liegt $A'$ innerhalb
und $B$ innerhalb oder höchstens auf dem Rand des Sektors $\angle BC'A=\gamma$. Deshalb
ist Winkel $|\angle A'C'B'|<\angle BC'A=\gamma$. (Beachte, dass die Orientierung im Fall
$\gamma>90^\circ$ des Dreieck $\triangle A'B'C'$ ändern kann und deshalb Winkel $A'C'B'$ negativ
werden kann.)

Fall 2: $\beta\geq 60^\circ$.
In diesem Fall ist $\gamma<120^\circ$. Da Winkel $\angle B'CA'=3\gamma>180^\circ$ und Winkel
$\angle A'BC'=3\beta\geq 180^\circ$, liegt $B'$ ausserhalb und $C'$ ausserhalb oder höchstens auf
dem Rand des Sektors $\angle CA'B=\alpha$. Deshalb ist Winkel $\angle B'A'C'>\angle CA'B=\alpha$.

Liebe Grüsse
Moudi




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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1729, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


Ich habe von einem Kollegen eine Lösung für die letzte Aufgabe erhalten. Ich habe versucht, das in Text und Bild zu setzen.

Aufgabe 2 - 161042

Konstruieren Sie ein Trapez $ABCD$ mit $AB \parallel CD$ aus $a+c = 13$ cm, $e+f =$ 15 cm, $\varphi = 100^\circ$ und $\epsilon = 70^\circ$!
Dabei seien $a$ die Länge der Seite $AB$, $c$ die Länge der Seite $CD$, $e$ die Länge der Diagonalen $AC$, $f$ die Länge der Diagonalen $BD$, $\epsilon$ die Größe des Winkels $\angle DAC$ und $\varphi$ die Größe des Winkels $\angle ASB$. $S$ bezeichne den
Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Trapezes.
Untersuchen Sie, ob ein solches Trapez existiert und bis auf Kongruenz eindeutig bestimmt ist!

Lösung:
Angenommen $ABCD$ wäre das gesuchte Trapez.
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (5,0);
\coordinate(c) at (3.5,2.5);
\coordinate(d) at (1,2.5);
\coordinate(m) at (intersection of a--c and b--d);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\foreach \P in {a,b,c,d,m}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[below] at (a) {$A$};
\node[below] at (b) {$B$};
\node[above] at (c) {$C$};
\node[above] at (d) {$D$};
\node[below] at ($(a)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[right] at ($(c)!0.5!(b)$) {$b$};
\node[above] at ($(c)!0.5!(d)$) {$c$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(d)$) {$d$};
\node[above] at ($(c)!0.5!(a)$) {$e$};
\node[above] at ($(b)!0.5!(d)$) {$f$};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =c--a--d};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =a--m--b};
\end{tikzpicture}
</math>
Wir setzen an das Trapez links ein um $180^\circ$ gedrehtes Trapez $EADF$ an, so dass $EA$ gleich $a+c$ wird.
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (5,0);
\coordinate(c) at (3.5,2.5);
\coordinate(d) at (1,2.5);
\coordinate(e) at (-2.5,0);
\coordinate(f) at (-4,2.5);
\coordinate(m) at (intersection of a--c and b--d);
\coordinate(m2) at (intersection of a--f and e--d);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\draw (a) -- (e) -- (f) -- (d);
\draw (e) -- (d);
\draw (a) -- (f);
\foreach \P in {a,b,c,d,e,f,m,m2}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[below] at (a) {$A$};
\node[below] at (b) {$B$};
\node[above] at (c) {$C$};
\node[above] at (d) {$D$};
\node[below] at (e) {$E$};
\node[above] at (f) {$F$};
\node[above] at (m) {$M$};
\node[above] at (m2) {$M"$};
\node[below] at ($(a)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[right] at ($(c)!0.5!(b)$) {$b$};
\node[above] at ($(c)!0.5!(d)$) {$c$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(d)$) {$d$};
\node[above] at ($(c)!0.5!(a)$) {$e$};
\node[above] at ($(b)!0.5!(d)$) {$f$};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =c--a--d};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =e--d--a};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =a--m--b};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =e--d--b};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =e--m2--a};
\end{tikzpicture}
</math>
Die Winkel $\angle EM'A$ und $\angle EDB$ sind dann gleich dem Winkel $\varphi$ (Winkel an geschnittenen Parallelen und Scheitelwinkel). Wir klappen die Strecke $BD$ um $D$ so heraus, dass der Bildpunkt $B'$ auf der Geraden durch $E$ und $D$ liegt.
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1]
\pgfmathsetmacro{\hoehe}{2.5}
\pgfmathsetmacro{\abstand}{sqrt(16+\hoehe*\hoehe}
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (5,0);
\coordinate(c) at (2.5,\hoehe);
\coordinate(d) at (1,\hoehe);
\coordinate(e) at (-1.5,0);
\coordinate(f) at (-4,\hoehe);
\coordinate(m) at (intersection of a--c and b--d);
\coordinate(m2) at (intersection of a--f and e--d);
\coordinate(bs) at ([shift=(d)] 45:\abstand);%35.4
\coordinate(mb) at ($(b)!0.5!(bs)$);
\coordinate(b0) at ($(b)!(e)!(bs)$);
\coordinate(b2) at ($(b0)+(b0)-(b)$);
\coordinate(mb2) at ($(b2)!0.5!(bs)$);
\coordinate(mb3) at  ($(mb2)!2cm!90:(bs)$);
\coordinate(d2) at (intersection of mb2--mb3 and e--bs);
\coordinate(d20) at  ($(d2)+(d)-(a)$);
\coordinate(a2) at (intersection of d2--d20 and e--b2);
\coordinate(c2) at ($(a2)+(d2)-(e)$);
%                    \coordinate(d21) at ($(d2)+(2,0)$);
%                    \coordinate(c2) at (intersection of d2--d21 and a--c20);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\draw (a) -- (e) -- (f) -- (d);
\draw (e) -- ($(e)!2.4!(d)$);
\draw ([shift=(d)] -38:\abstand)
arc (-38:45:\abstand);
\draw (a) -- (f);
\draw (d) -- (bs);
\draw[dashed] (b) -- (bs);
\draw[dashed,orange] (a2) -- (e);
\draw[dashed] (mb) -- (d);
\draw[red] (e) -- (bs);
\draw[dashed] (mb2) -- (d2);
\draw[green] (a2) -- (b2) -- (c2) -- (d2) -- cycle;
\draw[blue] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\foreach \P in {a,b,c,d,e,bs,f,m,m2,b2,mb2,d2,a2,c2}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[below] at (a) {$A$};
\node[below] at (a2) {$A_2$};
\node[below] at (b) {$B$};
\node[below] at (b2) {$B_2$};
\node[right] at (bs) {$B"$};
\node[above] at (c) {$C$};
\node[above] at (c2) {$C_2$};
\node[above] at (d) {$D$};
\node[above] at (d2) {$D_2$};
\node[below] at (e) {$E$};
\node[above] at (f) {$F$};
\node[above] at (m) {$M$};
\node[above] at (m2) {$M"$};
\node[below] at ($(a)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[right] at ($(c)!0.5!(b)$) {$b$};
\node[above] at ($(c)!0.5!(d)$) {$c$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(d)$) {$d$};
\node[above] at ($(c)!0.5!(a)$) {$e$};
\node[above] at ($(b)!0.5!(d)$) {$f$};
\node[left,red] at ($(e)!0.7!(bs)$) {$e+f$};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =c--a--d};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =e--d--a};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =a--m--b};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =e--d--b};
\draw pic [draw, angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =e--m2--a};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\frac{\varphi}{2}$", ] {angle =bs--b--d};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\frac{\varphi}{2}$", ] {angle =d--bs--b};
\draw pic [draw, angle radius=3mm,"\Large $\cdot$", ]
{angle =bs--mb--d};
\end{tikzpicture}
</math>
Dann gilt $DB = DB'$ und $\angle DBB' = \angle DB'B = \frac{\varphi}{2}$. Damit ergibt sich folgende Konstruktion:

a) Zuerst wird das Dreieck $EBB'$ konstruiert. (aus $EB = a+c$, $EB' = e+f$ und $\angle BB'E = \frac{\varphi}{2}$, da das Dreieck $\triangle BB'D$ gleichschenklig ist). Diese Konstruktion ist allerdings mehrdeutig und liefert eine zweite Lösung $B_2$.
b) Der Schnitt der Mittelsenkrechten von $BB'$ mit $EB'$ ergibt den Punkt $D$.
c) Der Punkt $A$ wird mit Hilfe des Winkels $\epsilon$ konstruiert.
d) Der Punkt $C$ ergibt sich dann durch Parallelverschiebung von $DE$ durch $A$.

Die Punkte $D_2, A_2, C_2$ werden analog aus $B_2$ gewonnen. Damit ergeben sich 2 nicht kongruente Trapeze.

LG Steffen



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1730, eingetragen 2019-08-13


2019-08-12 21:10 - stpolster in Beitrag No. 1721 schreibt:
2019-08-12 21:02 - Kuestenkind in Beitrag No. 1720 schreibt:
1. Was ist zudem mit LinkAlte Olympiadeaufgaben ? Spricht etwas gegen die Lösung? Würde mich dann auch noch mal interessieren.
zu 1. Ich muss erst einmal herausbekommen, um welche Aufgabe es geht, dann übernehme ich deine Lösung.

Das ist 341046, die Aufgabe hatte ich gelöst. Man könnte KK's Lösung als Alternative aufnehmen.

Eigentlich müssten wir damit fertig sein, denn KK's Beitrag #1718 ist die Lösung der verbliebenen Aufgabe 161042. Sie muss vielleicht nur noch mit ein wenig erklärendem Text garniert werden.  wink

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1728 begonnen.]



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geschafft. :)

Cyrix



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1733, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


Hallo,
jetzt ist eine Party angesagt. Wir haben es geschafft, nach nicht einmal 4 Monaten.

Alle 2016 Aufgaben haben wenigstens eine Lösung!!!!
Das Ergebnis: mathematikalpha.de/?smd_process_download=1&download_id=20525

Ich danke euch allen für diese großartige Leistung. Wir können sehr stolz sein.
 
Das Ergebnis dürfte eine der umfangreichsten Dateien mit Aufgaben der Mathematik-Olympiade und vor allem mit Lösungen sein.
Jetzt bleibt nur zu hoffen, dass es an der einen oder anderen Stelle etwas hilft.

Ich werde noch ein paar Verschönerungen durchführen (Formatierung, Tippfehler, tikz-Bilder, ...). Weitere alternative Lösungen sind jederzeit willkommen. Gegebenenfalls wird der Text noch um die Klassen 5 bis 8 ergänzt. Aber erst einmal nicht.

Vielleicht gibt es wieder einmal ein solches Projekt. Wir werden sehen.

Nochmals vielen, vielen Dank; wir dürfen feiern.
Liebe Grüße
Steffen


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1730 begonnen.]



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1734, eingetragen 2019-08-13


Hallo Steffen,
ich werde, wie ich Dir schon per PN angekündigt hatte, meine Lösungen noch einmal durchgehen. Hier und da hatte ich schon kleine Fehlerchen gefunden (Rechtschreibfehler, Konvertierungsfehler nach Copy&Paste) etc.
Wie können wir das am besten angehen? Soll ich Änderungsvorschläge per PN schicken, oder als Kommentare direkt im PDF?
Außerdem finde ich, diverse Lösungen, über die ich so gestolpert war, könnten noch die eine oder andere Zeichnung oder Skizze vertragen (reiner Text bei Geometrieaufgaben ist immer relativ schwierig nachvollziehbar, wenn man es nicht gerade simultan vor sich hin skizziert. Ein Bild sagt halt mehr als tausend Worte). Vielleicht würde sich der eine oder andere noch überreden lassen, eine Skizze zu seiner Lösung anzufertigen. Es kann ja auch eine abfotografierte Handskizze sein, wenn es sowieso von Dir in TikZ übersetzt wird. Vielleicht ist auch Hyperplot gewillt, auszuhelfen?  wink

Ciao,

Thomas



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1735, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 12:07 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1734 schreibt:
Hallo Steffen,
ich werde, wie ich Dir schon per PN angekündigt hatte, meine Lösungen noch einmal durchgehen. Hier und da hatte ich schon kleine Fehlerchen gefunden (Rechtschreibfehler, Konvertierungsfehler nach Copy&Paste) etc.
Wie können wir das am besten angehen? Soll ich Änderungsvorschläge per PN schicken, oder als Kommentare direkt im PDF?
Außerdem finde ich, diverse Lösungen, über die ich so gestolpert war, könnten noch die eine oder andere Zeichnung oder Skizze vertragen (reiner Text bei Geometrieaufgaben ist immer relativ schwierig nachvollziehbar, wenn man es nicht gerade simultan vor sich hin skizziert. Ein Bild sagt halt mehr als tausend Worte). Vielleicht würde sich der eine oder andere noch überreden lassen, eine Skizze zu seiner Lösung anzufertigen. Es kann ja auch eine abfotografierte Handskizze sein, wenn es sowieso von Dir in TikZ übersetzt wird. Vielleicht ist auch Hyperplot gewillt, auszuhelfen?  wink

Ciao,

Thomas
Hallo Thomas,
vielen Dank für die Hilfe. Ich richte mich ganz nach dir, so wie es dir am liebsten wäre.
Die Nacharbeit wird noch etwas Zeit brauchen, aber es soll ja auch richtig schön werden.

LG Steffen



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1736, eingetragen 2019-08-13


Huhu,

nur ganz kurz: Ich habe mir die Lösung zum Trapez noch nicht genau angesehen, aber \(\epsilon\) ist doch im blauen Trapez niemals 70° groß. Oder ich bin blind nach der Schule gerade...

Gruß,

Küstenkind



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1737, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


Ich habe es angepasst:
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1]
\pgfmathsetmacro{\hoehe}{1.35}%2.5
\pgfmathsetmacro{\abstand}{sqrt(6.1*6.1+\hoehe*\hoehe}
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (4.4,0); %5
\coordinate(c) at (0.4,\hoehe); %2.5
\coordinate(d) at (-1.7,\hoehe); %1
\coordinate(e) at (-2.1,0); %-1.5
\coordinate(f) at (-6.1,\hoehe); %-4
\coordinate(m) at (intersection of a--c and b--d);
\coordinate(m2) at (intersection of a--f and e--d);
\coordinate(bs) at ([shift=(d)] 73.5:\abstand);%45
\coordinate(mb) at ($(b)!0.5!(bs)$);
\coordinate(b0) at ($(b)!(e)!(bs)$);
\coordinate(b2) at ($(b0)+(b0)-(b)$);
\coordinate(mb2) at ($(b2)!0.5!(bs)$);
\coordinate(mb3) at  ($(mb2)!2cm!90:(bs)$);
\coordinate(d2) at (intersection of mb2--mb3 and e--bs);
\coordinate(d20) at  ($(d2)+(d)-(a)$);
\coordinate(a2) at (intersection of d2--d20 and e--b2);
\coordinate(c2) at ($(a2)+(d2)-(e)$);
%                    \coordinate(d21) at ($(d2)+(2,0)$);
%                    \coordinate(c2) at (intersection of d2--d21 and a--c20);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\draw (a) -- (e) -- (f) -- (d);
\draw (e) -- ($(e)!5.5!(d)$);
\draw ([shift=(d)] -15:\abstand)
arc (-15:75:\abstand);
\draw (a) -- (f);
\draw (d) -- (bs);
\draw (d2) -- (b2);
\draw[dashed] (b) -- (bs);
\draw[dashed,orange] (a2) -- (e);
\draw[dashed] (mb) -- (d);
\draw[red] (e) -- (bs);
\draw[dashed] (mb2) -- (d2);
\draw[green] (a2) -- (b2) -- (c2) -- (d2) -- cycle;
\draw[blue] (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\foreach \P in {a,b,c,d,e,bs,f,m,m2,b2,mb2,d2,a2,c2}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[below] at (a) {$A$};
\node[above] at (a2) {$A_2$};
\node[right] at (b) {$B$};
\node[right] at (b2) {$B_2$};
\node[above] at (bs) {$B"$};
\node[above] at (c) {$C$};
\node[right] at (c2) {$C_2$};
\node[above left] at (d) {$D$};
\node[left] at (d2) {$D_2$};
\node[below] at (e) {$E$};
\node[above] at (f) {$F$};
\node[above] at (m) {$M$};
\node[above] at (m2) {$M"$};
\node[below] at ($(a)!0.5!(b)$) {$a$};
\node[above] at ($(c)!0.5!(b)$) {$b$};
\node[above] at ($(c)!0.5!(d)$) {$c$};
\node[left] at ($(a)!0.3!(d)$) {$d$};
\node[above] at ($(c)!0.6!(a)$) {$e$};
\node[below] at ($(b)!0.4!(d)$) {$f$};
\node[left,red] at ($(e)!0.6!(bs)$) {$e+f$};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =c--a--d};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =e--d--a};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =a--m--b};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =e--d--b};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =e--m2--a};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\frac{\varphi}{2}$", ] {angle =bs--b--d};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\frac{\varphi}{2}$", ] {angle =d--bs--b};
\draw pic [draw, angle radius=3mm,"\Large $\cdot$", ]
{angle =bs--mb--d};
\draw pic [draw, angle radius=3mm,"\Large $\cdot$", ]
{angle =d2--mb2--b};
\end{tikzpicture}
</math>

LG Steffen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1738, eingetragen 2019-08-13


Hallo Steffen,
eine Aufgabe ist noch offen, und zwar die 181232. Dort steht zwar eine Lösung von mir, aber die Lösung gehört eigentlich zu 281232. Nur die erste Ziffer ist falsch, und seltsamerweise sieht es sogar fast so aus, als wenn die Lösung passt, weil in beiden Aufgabenstellungen von Punkten $A$ und $B$ und einer Ebene $\epsilon$ und Abständen usw. die Rede ist. Meine Lösung ist korrekterweise auch unter 281232 angegeben, und somit doppelt.
Also: 181232 ist noch zu lösen. Wer hat noch nicht, wer will nochmal?

Ciao,

Thomas



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Kuestenkind
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Ich denke auch immer noch, dass es keine zweite Lösung für das Trapez gibt.

Gruß,

Küstenkind



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1740, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


@MontyPythagoras:
Hast du für die Bilder von 321043A einen Link?

@Küstenkind:
Ich bin selbst verwundert, aber wo ist der Fehler?

Danke
Steffen



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1741, eingetragen 2019-08-13


Ich bekomme mit dem zweiten Schnittpunkt nur dieses (blaue) Trapez konstruiert. Das ist aber nun eine adhoc Lösung - ich habe leider erst am Wochenende Zeit mir mehr Gedanken zu machen. Ich vermute einfach eine Zeichenungenauigkeit bei dir. Überzeugen würde mich eine geogebra Konstruktion, in der entsprechende Winkel angezeigt werden. Bei deiner Zeichnung scheint mir Winkel \(\varphi\) nicht genau 100° groß zu sein. Das ist jetzt aber nur Augenmaß.



Gruß,

Küstenkind



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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1742, eingetragen 2019-08-13


Hallo

Aufgabe 2 - 181232
Im Raum seien $A,B$ zwei verschiedene Punkte und $\epsilon$ eine Ebene. Für jede mögliche Lage von $A,B,\epsilon$ ermittle man zu diesen gegebenen $A,B,\epsilon$ alle diejenigen Punkte $C$ auf $\epsilon$, für die die Abstandssumme $AC+BC$ möglichst klein ist.

Falls die Strecke $AB$ und $\epsilon$ gemeinsame Punkte haben, so haben alle diese gemeinsamen Punkte $C$ die Eigenschaft, dass
\[AC+BC=AB\] gilt. Die Abstandssumme wird also für alle Punkte $C$, die im Schnitt der Ebene $\epsilon$ und der Strecke $AB$ liegen, minimal.
Für alle Punkte $C'$, die nicht in diesem Schnitt liegen, gilt dagegen
\[AC+BC>AB.\] Falls Schnitt der Ebene $\epsilon$ und der Strecke $AB$ nicht leer ist, wird die Abstandssumme genau dann minimal, wenn $C$ im Schnitt der Ebene $\epsilon$ und der Strecke $AB$ liegt.


Falls die Strecke $AB$ und $\epsilon$ keine gemeinsame Punkte haben, so liegen $A$ und $B$ auf der gleichen Seite von $\epsilon$. Sei $B'$ der Spiegelpunkt von $B$ an der Ebene $\epsilon$,
so haben die Strecke $AB'$ und $\epsilon$ einen gemeinsamen Punkt. Weiter folgt folgt für alle Punkte $C$
\[AC+BC=AC+B'C\geq AB'.\] Gleichheit gilt genau dann, wenn $C$ der Schnittpunkt der Strecke $AB'$ mit der Ebene $\epsilon$ ist. Falls Schnitt der Ebene $\epsilon$ und der Strecke $AB$ nicht leer ist, wird die Abstandssumme genau dann minimal, wenn $C$ der Schnittpunkt der Ebene $\epsilon$ und der Strecke $AB'$ ist.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1743, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-13


@ochen: Danke.
Und damit haben wir wieder eine vollständige Datei.

LG Steffen



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1744, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 11:12 - stpolster in Beitrag No. 1733 schreibt:
Hallo,
jetzt ist eine Party angesagt. Wir haben es geschafft...

Nochmals vielen, vielen Dank; wir dürfen feiern.
Liebe Grüße
Steffen

Wie was? Was soll das heißen, geschafft?
Was bist denn Du für'n Lehrer, gibst uns hier keine neuen Hausaufgaben.

Du wirst ab sofort ein Lehrer werden, wie der da bei 3:05  biggrin



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stpolster
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2019-08-13 17:53 - HyperPlot in Beitrag No. 1744 schreibt:
Wie was? Was soll das heißen, geschafft?
Was bist denn Du für'n Lehrer, gibst uns hier keine neuen Hausaufgaben.
Du willst Hausaufgaben? Gern.
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1746, eingetragen 2019-08-13


2019-08-13 16:14 - stpolster in Beitrag No. 1740 schreibt:
@MontyPythagoras:
Hast du für die Bilder von 321043A einen Link?

Na klar:
www.geogebra.org/classic/frdvtuwj

Ciao,

Thomas



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1747, eingetragen 2019-08-13

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Die Uhr ist ja schnell gemacht.

<math>\pgfmathsetmacro\R{3}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.5,
font=\sffamily\footnotesize]
\coordinate[label=right:$O_2$, alias=O2] (M) at (0,0);
\path[] (M) -- (-90:\R) coordinate[pos=0.5, label={[anchor=north west]:$O_1$}](O1);

% Uhr
\draw[local bounding box=uhr] (M) circle[radius=\R];

\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);

\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330}
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};

% Kleine Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=0.3*\R];
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330}
\draw[shift={(O1)}] (\x:0.3*\R) -- +(\x:-0.125*0.3*\R);

\foreach \P in {O1,O2}
\draw[] (\P) circle(1.75pt);

\end{tikzpicture}</math>

Für den Rest muss ich aber vermutlich die ganze Aufgabe verstehen, d.h. da brauch ich Aufgabentext und Lösung.
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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2019-06-08 21:40 - cyrix in Beitrag No. 641 schreibt:

Aufgabe 251243: Gibt es eine Funktionf $f$, die für alle reellen Zahlen definiert ist, reelle Funktionswerte hat und die folgenden Bedingungen (1), (2) erfüllt?
(1) Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $f(x+y) =\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}$.
(2) Es gilt $f(1)=\frac{1}{2}$.

Lösung:

Die Funktion $f(x):=1-\frac{2}{1+3^x}$ erfüllt alle Eigenschaften. Wegen $3^x>0$ für alle reellen Zahlen $x$ ist die Funktion für alle solchen auch definiert und nimmt reelle Funktionswerte an. (...)

Wenn die Lösung auch richtig ist, fällt die Funktion hier ein wenig vom Himmel. Daher hier noch eine Alternativlösung:

Wegen (1) gilt
$$1+f(x+y)=1+\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}=\frac{1+f(x)+f(y)+f(x)f(y)}{1+f(x)f(y)}$$$$1+f(x+y)=\frac{(1+f(x))(1+f(y))}{1+f(x)f(y)}\qquad(3)$$In der gleichen Art und Weise erhält man:
$$1-f(x+y)=\frac{(1-f(x))(1-f(y))}{1+f(x)f(y)}\qquad(4)$$Teilt man (3) durch (4), folgt:
$$\frac{1+f(x+y)}{1-f(x+y)}=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\cdot\frac{1+f(y)}{1-f(y)}$$Das erinnert stark an das Potenzgesetz $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$, so dass wir setzen können:
$$\frac{1+f(x)}{1-f(x)}=a^x$$Mithilfe von Gleichung (2) haben wir
$$\frac{\tfrac32}{\tfrac12}=3=a^1$$also $a=3$, so dass gilt:
$$\frac{1+f(x)}{1-f(x)}=3^x$$Nun noch nach $f(x)$ auflösen:
$$f(x)(3^x+1)=(3^x-1)$$$$f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1}$$Damit wäre die Lösung prinzipiell gefunden. Man kann noch Zähler und Nenner durch $3^{\frac x2}$ teilen:
$$f(x)=\frac{3^{\frac x2}-3^{-\frac x2}}{3^{\frac x2}+3^{-\frac x2}}$$$$f(x)=\tanh\left(\frac x2\ln3\right)$$
Ciao,

Thomas



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1749, eingetragen 2019-08-15

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-13 19:46 - HyperPlot in Beitrag No. 1747 schreibt:


2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Die Uhr ist ja schnell gemacht.

<math>\pgfmathsetmacro\R{3}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.5,
font=\sffamily\footnotesize]
\coordinate[label=right:$O_2$, alias=O2] (M) at (0,0);
\path[] (M) -- (-90:\R) coordinate[pos=0.5, label={[anchor=north west]:$O_1$}](O1);

% Uhr
\draw[local bounding box=uhr] (M) circle[radius=\R];

\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);

\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330}
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};

% Kleine Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=0.3*\R];
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330}
\draw[shift={(O1)}] (\x:0.3*\R) -- +(\x:-0.125*0.3*\R);

\foreach \P in {O1,O2}
\draw[] (\P) circle(1.75pt);

\end{tikzpicture}</math>

Für den Rest muss ich aber vermutlich die ganze Aufgabe verstehen, d.h. da brauch ich Aufgabentext und Lösung.

Für den Rest muss ich aber vermutlich die ganze Aufgabe verstehen, d.h. da brauch ich Aufgabentext und Lösung.

Genauer: Rein optisch kann den kleinen Kreis schon improvisieren. Aber ich mache sowas so, dass ich aus wenigen Ausgangsmaßen (üblw. die gegebenen Größen), hier evtl. $\alpha,~ |O_1 S|$ und $R$ (Uhrradius), den Rest berechne und dann automatisch zeichnen lasse.
Also wäre Aufgabentext und Lösung sinnvoll.
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1750, eingetragen 2019-08-15


Hallo Hyperplot,
Das ist 011034, aber die Grafik dort scheint schon in TikZ fertig zu sein.
Evtl. könntest Du aber bei 321043A helfen, siehe hier. Kann man die lineare Spirale in TikZ umsetzen? Sonst könnte man sie durch 4 oder 5 Kreisbögen annähern.

Ciao,

Thomas



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stpolster
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2019-08-13 16:28 - Kuestenkind in Beitrag No. 1741 schreibt:
Ich bekomme mit dem zweiten Schnittpunkt nur dieses (blaue) Trapez konstruiert. Das ist aber nun eine adhoc Lösung - ich habe leider erst am Wochenende Zeit mir mehr Gedanken zu machen. Ich vermute einfach eine Zeichenungenauigkeit bei dir. Überzeugen würde mich eine geogebra Konstruktion, in der entsprechende Winkel angezeigt werden. Bei deiner Zeichnung scheint mir Winkel \(\varphi\) nicht genau 100° groß zu sein. Das ist jetzt aber nur Augenmaß.


Gruß,
Küstenkind
Ich habe, mit Hilfe von Hyperplot, die Konstruktion Schritt für Schritt durchgeführt, mit den genauen Werten. Das Ergebnis ist:
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.5,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   }]
\coordinate(e) at (0,0);
\coordinate(bs) at (0,15);
\coordinate(b0) at ($(bs)!17cm!50:(e)$); % 15 % <-
\draw (e) -- (bs) -- (b0);
\draw[name path=kreis] (20:13) arc (20:85:13);
\path[name path=gerade, overlay, draw=red] (bs) -- (b0);
\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={right}{B_1}] (b1) at (D-2);
\coordinate[Punkt={above}{B_2}] (b2) at (D-1);
\coordinate (b1m) at ($(bs)!0.5!(b1)$);
\coordinate (b2m) at ($(bs)!0.5!(b2)$);
\coordinate (b1m0) at ($(b1m)!5cm!90:(bs)$);
\coordinate (b2m0) at ($(b2m)!5cm!90:(bs)$);
\coordinate (d1) at (intersection of e--bs and b1m--b1m0);
\coordinate (d2) at (intersection of e--bs and b2m--b2m0);
\coordinate (d10) at ($(d1)!5cm!70:(e)$);
\coordinate (d20) at ($(d2)!5cm!70:(e)$);
\coordinate (a1) at (intersection of e--b1 and d1--d10);
\coordinate (a2) at (intersection of e--b2 and d2--d20);
\coordinate (c1) at ($(a1)+(d1)-(e)$);
\coordinate (c2) at ($(a2)+(d2)-(e)$);
%Zeichnen
\draw[dashed] (d1) -- (b1m);
\draw[dashed] (d2) -- (b2m);
\draw (b1) -- (e) -- (b2);
\draw[blue] (d1) -- (a1) -- (b1) -- (c1) -- cycle;
\draw[green] (d2) -- (a2) -- (b2) -- (c2) -- cycle;
\draw (a1) -- (c1);
\draw (b1) -- (d1);
\foreach \P in {e,bs,b1,b2,b1m,b2m,d1,d2,a1,a2,c1,c2}
\draw[fill=white] (\P) circle (0.1);
\node[left] at (e) {$E$};
\node[left] at (bs) {$B"$};
\node[left] at (d1) {$D_1$};
\node[left] at (d2) {$D_2$};
\node[below] at (a1) {$A_1$};
\node[right] at (a2) {$A_2$};
\node[above] at (c1) {$C_1$};
\node[right] at (c2) {$C_2$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm,"\Large $\cdot$", ]
{angle =bs--b1m--d1};
\draw pic [draw, angle radius=3mm,"\Large $\cdot$", ]
{angle =d2--b2m--b2};
\node[below] at ($(a1)!0.5!(b1)$) {$a$};
\node[above] at ($(c1)!0.5!(b1)$) {$b$};
\node[above] at ($(c1)!0.5!(d1)$) {$c$};
\node[below] at ($(a1)!0.3!(d1)$) {$d$};
\node[left] at ($(c1)!0.6!(a1)$) {$e$};
\node[below] at ($(b1)!0.4!(d1)$) {$f$};
\node[left,red] at ($(e)!0.6!(bs)$) {$e+f$};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =c1--a1--d1};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =e--d1--a1};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =e--d1--b1};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\frac{\varphi}{2}$", ] {angle =bs--b1--d1};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\frac{\varphi}{2}$", ] {angle =d1--bs--b1};
\end{tikzpicture}
</math>
also tatsächlich zwei Lösungen.

LG Steffen




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stpolster
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1752, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-15


2019-08-15 15:41 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1750 schreibt:
Hallo Hyperplot,
Das ist 011034, aber die Grafik dort scheint schon in TikZ fertig zu sein.
Evtl. könntest Du aber bei 321043A helfen, siehe hier. Kann man die lineare Spirale in TikZ umsetzen? Sonst könnte man sie durch 4 oder 5 Kreisbögen annähern.
Sorry, ich hatte die Aufgabennummer vergessen.
Das Bild sieht aus wie tikz ist aber eine PDF, die mit irgendetwas gezeichnet wurde und ganz schön groß ist. Deshalb hatte ich gefragt.

LG Steffen



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1753, eingetragen 2019-08-15

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-15 15:41 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1750 schreibt:
Hallo Hyperplot,
Das ist 011034, aber die Grafik dort scheint schon in TikZ fertig zu sein.
Evtl. könntest Du aber bei 321043A helfen, siehe hier. Kann man die lineare Spirale in TikZ umsetzen? Sonst könnte man sie durch 4 oder 5 Kreisbögen annähern.

Oje, da muss ich wieder kompliziert verstehen, wie das entsteht.
Gibt es evtl. eine Parameterform $(x(t), y(t))$ davon oder auch $(\varphi, r(\varphi))$?


______________

Bei Grün immer green!50!black verwenden.
Das erzeugt sonst so ein Giftgrün.
<math>
\begin{tikzpicture}[nodes={minimum size=3cm, fill}, font=\ttfamily]
\node[green, text=black] {green};

\node[green!50!black, text=black] at (4,0) {green!50!black};
\end{tikzpicture}
</math>

2019-08-15 15:59 - stpolster in Beitrag No. 1751 schreibt:
<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.5,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   }]
\coordinate(e) at (0,0);
\coordinate(bs) at (0,15);
\coordinate(b0) at ($(bs)!17cm!50:(e)$); % 15 % <-
\draw (e) -- (bs) -- (b0);
\draw[name path=kreis] (20:13) arc (20:85:13);
\path[name path=gerade, overlay, draw=red] (bs) -- (b0);
\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=D}];
\coordinate[Punkt={right}{B_1}] (b1) at (D-2);
\coordinate[Punkt={above}{B_2}] (b2) at (D-1);
\coordinate (b1m) at ($(bs)!0.5!(b1)$);
\coordinate (b2m) at ($(bs)!0.5!(b2)$);
\coordinate (b1m0) at ($(b1m)!5cm!90:(bs)$);
\coordinate (b2m0) at ($(b2m)!5cm!90:(bs)$);
\coordinate (d1) at (intersection of e--bs and b1m--b1m0);
\coordinate (d2) at (intersection of e--bs and b2m--b2m0);
\coordinate (d10) at ($(d1)!5cm!70:(e)$);
\coordinate (d20) at ($(d2)!5cm!70:(e)$);
\coordinate (a1) at (intersection of e--b1 and d1--d10);
\coordinate (a2) at (intersection of e--b2 and d2--d20);
\coordinate (c1) at ($(a1)+(d1)-(e)$);
\coordinate (c2) at ($(a2)+(d2)-(e)$);
%Zeichnen
\draw[dashed] (d1) -- (b1m);
\draw[dashed] (d2) -- (b2m);
\draw (b1) -- (e) -- (b2);
\draw[blue] (d1) -- (a1) -- (b1) -- (c1) -- cycle;
\draw[green!50!black] (d2) -- (a2) -- (b2) -- (c2) -- cycle;
\draw (a1) -- (c1);
\draw (b1) -- (d1);
\foreach \P in {e,bs,b1,b2,b1m,b2m,d1,d2,a1,a2,c1,c2}
\draw[fill=white] (\P) circle (0.1);
\node[left] at (e) {$E$};
\node[left] at (bs) {$B"$};
\node[left] at (d1) {$D_1$};
\node[left] at (d2) {$D_2$};
\node[below] at (a1) {$A_1$};
\node[right] at (a2) {$A_2$};
\node[above] at (c1) {$C_1$};
\node[right] at (c2) {$C_2$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm,"\Large $\cdot$", ]
{angle =bs--b1m--d1};
\draw pic [draw, angle radius=3mm,"\Large $\cdot$", ]
{angle =d2--b2m--b2};
\node[below] at ($(a1)!0.5!(b1)$) {$a$};
\node[above] at ($(c1)!0.5!(b1)$) {$b$};
\node[above] at ($(c1)!0.5!(d1)$) {$c$};
\node[below] at ($(a1)!0.3!(d1)$) {$d$};
\node[left] at ($(c1)!0.6!(a1)$) {$e$};
\node[below] at ($(b1)!0.4!(d1)$) {$f$};
\node[left,red] at ($(e)!0.6!(bs)$) {$e+f$};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =c1--a1--d1};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\epsilon$", ] {angle =e--d1--a1};
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.3,
"$\varphi$", ] {angle =e--d1--b1};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\frac{\varphi}{2}$", ] {angle =bs--b1--d1};
\draw pic [draw, angle radius=8mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\frac{\varphi}{2}$", ] {angle =d1--bs--b1};
\end{tikzpicture}
</math>

\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1754, eingetragen 2019-08-15


Also wenn ich mich mal in Eure Trapez-Geschichte einmischen darf:
die analytische Lösung sagt, es gibt 2 Lösungen für $e$ (quadratische Gleichung). Dabei ist die zweite Lösung aber nur das $f$ der ersten. Abgesehen von Kongruenz müsste das Trapez eindeutig sein:
Es ist $$(a+c)^2=e^2+f^2-2ef\cos\varphi$$und $e+f$ ist eine feste Summe. Setzt man $f=15cm-e$ ein, erhält man zwei Lösungen, eben $e$ und $f$, denn die beiden Gleichungen sind bezüglich $e$ und $f$ symmetrisch. Weitere Lösungen dürfte es nicht geben.

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1752 begonnen.]



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1755, eingetragen 2019-08-15


Huhu Steffen,

2019-08-15 15:59 - stpolster in Beitrag No. 1751 schreibt:
also tatsächlich zwei Lösungen.

mag sein - dann versuche ich am Wochenende auch noch mal die zweite Lösung zu konstruieren. Was mich gerade stutzig gemacht hat (und auch auf meinem Bild "verkehrt" ist): In der Aufgabe steht \(\epsilon=\angle DAC\), d.h. D dreht gegen die Uhr über A auf C. Bei uns dreht aber D mit der Uhr, d.h. bei uns ist \(\epsilon=\angle CAD\), was aber irgendwie auch mehr Sinn macht. Entweder habe ich gerade einen Knoten im Kopf, oder ist der Aufgabentext verkehrt?

Gruß,

Küstenkind

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1753 begonnen.]

edit:
2019-08-15 17:22 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1754 schreibt:
Dabei ist die zweite Lösung aber nur das $f$ der ersten. Abgesehen von Kongruenz müsste das Trapez eindeutig sein:


Das wäre ja auch mein zweites Trapez.



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Ich verstehe eure Argumente. Ich bin ja selbst verwirrt.
Wir brauchen die Musterlösung. Vielleicht klärt es sich dann.

LG Steffen



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1757, eingetragen 2019-08-15


Nein - wir brauchen die Musterlösung nicht. Thomas hat bewiesen, dass es keine zweite (nicht kongruente) Lösung gibt! Und ich habe genau das zweite (kongruente) Trapez konstruiert. Für mich hat sich die Sache damit erledigt.

Gruß,

Küstenkind



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MontyPythagoras
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... aaaaber, wenn man das weiterdenkt, dann kann man das Dreieck mit dem Winkel von 70° zur Diagonalen einmal an das kurze $e$ und einmal an das lange $e$ dranbappen. Insofern muss ich die vorschnelle Aussage von eben revidieren. Es müsste eigentlich doch zwei nicht kongruente Dreiecke geben...
Ich rechne das gleich mal zu Ende und gebe Zahlenwerte. Dann kann man das ja in der Konstruktion nachmessen.

Ciao,

Thomas



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stpolster
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Ich habe gerade (mit einer im Netz gefundenen Methode, die ich nicht verstehe) die Längen und Winkel in der Zeichnung messen lassen.
Die Werte sind natürlich mit 5 Dezimalstellen Blödsinn, aber 2 Kommastellen dürften stimmen. Die Winkel sind zur theoretischen x-Achse.
Dann wird:


Addiere ich die Strecken und verknüpfe entsprechend der Zeichnung die Winkel, so ist es bei beiden Lösungen korrekt.

Ich möchte mich nicht "streiten", deshalb möchte ich gern wissen, wo mein Fehler ist.

LG Steffen



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