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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1800, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 5 - V611025

Peter sagt zu seinem Freund: "Nimm in eine Hand eine gerade, in eine andere Hand eine ungerade Anzahl Streichhölzer! Verdopple in Gedanken die Anzahl in der linken Hand, verdreifache die Anzahl in der rechten Hand, addiere beides und nenne mir das Ergebnis! Ich werde dir dann sagen, in welcher Hand du die gerade Anzahl hast!" Wie macht Peter das? Begründen Sie Ihre Antwort!

Mit \(g = 2k\) für eine natürliche Zahl \(k\) bezeichnen wir die gerade Anzahl Streichhölzer. Mit \(u = 2l + 1\) für eine nichtnegative ganze Zahl \(l\) bezeichnen wir die ungerade Anzahl Streichhölzer. Es gibt zwei Varianten.

Erste Variante: Die gerade Anzahl Streichhölzer befindet sich in der linken Hand. Dann gilt für das Ergebnis \(n_{1}\) des Rätsels
\[n_{1} = 2 \cdot g + 3 \cdot u = 4k + 6l + 3.\] In diesem Falle gilt, dass das Ergebnis des Rätsels ungerade ist. Dann weiß Peter, dass sich die gerade Anzahl Streichhölzer in der linken Hand befindet.

Zweite Variante: Die gerade Anzahl Streichhölzer befindet sich in der rechten Hand. Dann gilt für das Ergebnis \(n_{2}\) des Rätsels
\[n_{2} = 2 \cdot u + 3 \cdot g = 6k + 4l + 2.\] In diesem Falle gilt, dass das Ergebnis des Rätsels gerade ist. Dann weiß Peter, dass sich die gerade Anzahl Streichhölzer in der rechten Hand befindet.



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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1801, eingetragen 2019-08-18


Überlese ich eine Kleinigkeit oder handelt es sich bei Aufgabe 3 - V611013 und Aufgabe 5 - V611025 um dieselbe Aufgabe?



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1802, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-18


2019-08-18 16:52 - svrc in Beitrag No. 1801 schreibt:
Überlese ich eine Kleinigkeit oder handelt es sich bei Aufgabe 3 - V611013 und Aufgabe 5 - V611025 um dieselbe Aufgabe?
Da ist mir ein Fehler unterlaufen. Die V611013 hat sich als fiktive Aufgabe "eingeschmuggelt".
Ab 1961 gab es pro Stufe und Klasse genau 5 Aufgaben und ich hatte dort sechs. Sorry.
 
LG Steffen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1803, eingetragen 2019-08-18


Hallo Steffen,
bei

V601013 Wieviel Diagonalen besitzt ein 4775-Eck?

kommt man auch ohne Induktion aus:

Von jeder der n = 4775 Ecken lässt sich zu n-3 anderen Ecken eine Diagonale zeichnen. Bei \(n\cdot(n-3)\) wird aber jede Diagonale doppelt gezählt. Folglich gibt es \(\frac12n\cdot(n-3)\) Diagonalen.

(Ergänzung: Von dem n-Eck sollte wohl angenommen werden, dass es konvex ist.)



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1804, eingetragen 2019-08-18


Hier eine etwas kürzere Alternativlösung zu

Aufgabe 5 - V610935
Mit welcher Ziffer endet die Zahl $2^{100}$? Begründen Sie das!


Wegen
\[2^{100}=(2^4)^{25}\equiv 1^{25}=1\mod 5\] kommt als Endziffer nur mehr $1$ oder $6$ in Frage. Da aber $2^{100}$ gerade ist, muss es die $6$ sein.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1805, eingetragen 2019-08-18


V601014
[Bild]
Der  Radius r eines flachen Kreisbogens mit unzugänglichem Mittelpunkt sei  durch  Messung  einer Sehne s und der zugehörigen Pfeilhöhe p zu bestimmen. Wie lautet die entsprechende Funktion r(s/p)?

(Hier würde ich besser r(s,p) schreiben.)

Es sei M der Kreismittelpunkt. Dann bildet MSA ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten AS und MS und der Hypotenuse AM. Die Seitenlängen sind \(\frac s2\), \(r-p\) und \(r\). Nach Pythagoras gilt \((\frac s2)^2+(r-p)^2=r^2\). Diese Gleichung nach \(r\) aufgelöst ergibt \[r=r(s,p) = \frac{s^2}{8p}+\frac p2\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1803 begonnen.]



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1806, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-18


2019-08-18 17:21 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1803 schreibt:
bei
V601013 Wieviel Diagonalen besitzt ein 4775-Eck?
kommt man auch ohne Induktion aus:
Danke für den Hinweis. Ich habe es in den Text aufgenommen.

LG Steffen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1807, eingetragen 2019-08-18


V610931
Der 1945 verstorbene polnische Mathematiker Stefan Banach war im Jahre x² gerade 33 Jahre alt. Wann ist er geboren?

Laut Wikipedia wurde Banach 1892 geboren und ist 1945 verstorben. Das passt aber irgendwie nicht zur Aufgabe, da doch x wahrscheinlich ganzzahlig sein soll. Erst 1936 ist eine Quadratzahl. Gemäß Aufgabe wäre er dann 1903 geboren.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1805 begonnen.]



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1808, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-18


2019-08-18 17:54 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1807 schreibt:
V610931
Der 1945 verstorbene polnische Mathematiker Stefan Banach war im Jahre x² gerade 33 Jahre alt. Wann ist er geboren?
Zum Glück habe ich zwei Quellen. In der einen steht 33, in der anderen

V610931
Der 1945 verstorbene polnische Mathematiker Stefan Banach war im Jahre x² gerade x Jahre alt. Wann ist er geboren?

Das wird wohl richtig sein.

LG Steffen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1809, eingetragen 2019-08-18


2019-08-18 18:03 - stpolster in Beitrag No. 1808 schreibt:
2019-08-18 17:54 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1807 schreibt:
V610931
Der 1945 verstorbene polnische Mathematiker Stefan Banach war im Jahre x² gerade 33 Jahre alt. Wann ist er geboren?
Zum Glück habe ich zwei Quellen. In der einen steht 33, in der anderen

V610931
Der 1945 verstorbene polnische Mathematiker Stefan Banach war im Jahre x² gerade x Jahre alt. Wann ist er geboren?

Das wird wohl richtig sein.

LG Steffen

Dann passt es. \(1936=44^2\), und demnach wurde er \(1936-44=1892\) geboren. Die nächst kleinere Quadratzahl \(1849=43^2\) scheidet aus, da Banach dann 139 Jahre alt geworden wäre.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1810, eingetragen 2019-08-18





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ochen
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1811, eingetragen 2019-08-18



Aufgabe 3-V611233
In einem Kreis seien zwei senkrecht aufeinander stehende Sehnen gegeben.
Behauptung: Die Fläche des Kreises ist gleich der Summe der 4 Kreisflächen mit den Sehnenabschnitten als Durchmesser!
Beweisen Sie die Behauptung!

Wir legen den Kreis mit dessen Sehnen in ein Koordinatensystem, sodass der Kreismittelpunkt im Koordinatenursprung liegt und die Sehnen parallel zu jeweils einer der Koordinatenachsen verlaufen. Der Radius des Kreises sei mit $r$ bezeichnet. Der Schnittpunkt der Sehnen habe die Koordinaten $(x,y)$, so haben die Endpunkte der einen Sehne die Koordinaten $(x,\pm\sqrt{r^2-x^2})$ und die Endpunkte der anderen Sehne die Koordinaten $(\pm\sqrt{r^2-y^2},y)$. Die Summe der vier Kreisflächen mit den Sehnenabschnitten als Durchmesser
\[\frac{\pi}{4}(y-\sqrt{r^2-x^2})^2
+\frac{\pi}{4}(y+\sqrt{r^2-x^2})^2
+\frac{\pi}{4}(x-\sqrt{r^2-y^2})^2
+\frac{\pi}{4}(x+\sqrt{r^2-y^2})^2
=\frac{\pi}{4}((y-\sqrt{r^2-x^2})^2
+(y+\sqrt{r^2-x^2})^2)
+\frac{\pi}{4}((x-\sqrt{r^2-y^2})^2
+(x+\sqrt{r^2-y^2})^2)
=\frac{\pi}{4}(2y^2+2(r^2-x^2))
+\frac{\pi}{4}(2x^2+2(r^2-y^2))
=\pi r^2
\] Das ist genau der Flächeninhalt des Kreises. Somit ist die Behauptung gezeigt.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1812, eingetragen 2019-08-18


Hallo Hyperplot,
2019-08-17 19:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1779 schreibt:
Ich habe mawi angeschieben.
Falls die Musterlösung kommt, kann man weiter entscheiden.

Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.

Ich habe mir die Aufgabe kurz angesehen. Ich bin auch zu dem Ergebnis gekommen, dass die Lösung zur Aufgabe 011034 von Eckard Specht falsch ist. Es gibt keinen Grund, eine Richtungsumkehr anzunehmen. Weder grafisch noch rechnerisch. Ich würde einfach den Absatz "Erreicht einer der Zeiger die vertikale Richtung, kehrt sich die Umlaufrichtung von S um. Insgesamt ergibt sich somit eine, im Bild gezeigte möndchenförmige Figur." ersatzlos streichen, und bei Teil b) den Satz "Der kleinere der beiden Bögen..." ebenso. Und natürlich sollte dann Hyperplot als Korrektor der Aufgabe genannt werden.

Ciao,

Thomas



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mawi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1813, eingetragen 2019-08-18


2019-08-02 20:13 - HyperPlot schreibt:
Bitte die Musterlösung posten für 171224 posten:

 Link zum Topic [Alte Olympiadeaufgaben]

Danke!







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mawi
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1814, eingetragen 2019-08-18


2019-08-18 20:35 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1812 schreibt:
Hallo Hyperplot,
2019-08-17 19:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1779 schreibt:
Ich habe mawi angeschieben.
Falls die Musterlösung kommt, kann man weiter entscheiden.

Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.

Ich habe mir die Aufgabe kurz angesehen. Ich bin auch zu dem Ergebnis gekommen, dass die Lösung zur Aufgabe 011034 von Eckard Specht falsch ist. Es gibt keinen Grund, eine Richtungsumkehr anzunehmen. Weder grafisch noch rechnerisch. Ich würde einfach den Absatz "Erreicht einer der Zeiger die vertikale Richtung, kehrt sich die Umlaufrichtung von S um. Insgesamt ergibt sich somit eine, im Bild gezeigte möndchenförmige Figur." ersatzlos streichen, und bei Teil b) den Satz "Der kleinere der beiden Bögen..." ebenso. Und natürlich sollte dann Hyperplot als Korrektor der Aufgabe genannt werden.

Ciao,

Thomas


Die Musterlösung habe ich nicht sondern nur eine überarbeitete Fassung aus dem Buch "Mathematische Olympiadeaufgaben" von Engel/Pirl:






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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1815, eingetragen 2019-08-18


Schön ist anders. Maximal kompliziert, und auch nicht fehlerfrei. Zunächst wird dort nämlich der fett gezeichnete große Halbkreis mit $k$ bezeichnet, und weiter unten dann der dünn gezeichnete Kreis, der die Lösungsmenge darstellt, auch mit $k$. Das gibt mindestens Abzüge in der B-Note.

Ciao,

Thomas



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1816, eingetragen 2019-08-18


V611033
Fritz ermittelt als Ergebnis einer Divisionsaufgabe 75 Rest 52. Er macht die Probe und erhält 17380. Das ist falsch; denn er hatte die Zahlen undeutlich geschrieben und bei der Probe beim Divisor im Zehner eine 6 als 0 gelesen. Wie heißt die Aufgabe? Wie haben Sie das Ergebnis gefunden?

Hier ist mir noch nicht klar, wie die Aufgabe zu verstehen ist.

Nehmen wir an, die Divisionsaufgabe lautet a/b. b ist der Divisor, richtig?
Dann ermittelt Fritz
a = 75 b + 52

Nun macht er die Probe:
75 b' + 52 = 17380
wobei sich b und b' irrtümlich bei der Zehnerstelle unterscheiden.

Aber irgendwie passt das nicht.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1817, eingetragen 2019-08-18

\(\begingroup\)\( \usepackage{tikz-3dplot}\)
2019-08-18 21:07 - mawi in Beitrag No. 1814 schreibt:
2019-08-18 20:35 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1812 schreibt:
Hallo Hyperplot,
2019-08-17 19:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1779 schreibt:
Ich habe mawi angeschieben.
Falls die Musterlösung kommt, kann man weiter entscheiden.

Gesetz dem Falle, dass ich mit meiner Annahme richtig liege, kann ich dann ggf. eine neue Lösung mit geeigneten Graphiken erstellen. So oder so fehlen mir da einige Ergänzungen bei der Lösung.  

Ohnehin scheint mir die aktuelle Lösung (die, wie gesagt, vielleicht nicht stimmt) außergewöhnlich schwer für Klasse 10.

Ich habe mir die Aufgabe kurz angesehen. Ich bin auch zu dem Ergebnis gekommen, dass die Lösung zur Aufgabe 011034 von Eckard Specht falsch ist. Es gibt keinen Grund, eine Richtungsumkehr anzunehmen. Weder grafisch noch rechnerisch. Ich würde einfach den Absatz "Erreicht einer der Zeiger die vertikale Richtung, kehrt sich die Umlaufrichtung von S um. Insgesamt ergibt sich somit eine, im Bild gezeigte möndchenförmige Figur." ersatzlos streichen, und bei Teil b) den Satz "Der kleinere der beiden Bögen..." ebenso. Und natürlich sollte dann Hyperplot als Korrektor der Aufgabe genannt werden.

Ciao,

Thomas


Die Musterlösung habe ich nicht sondern nur eine überarbeitete Fassung aus dem Buch "Mathematische Olympiadeaufgaben" von Engel/Pirl:






Hallo mawi, hallo MontyPythagoras!

Ja, da es zunächst nur um die Zeichnung ging hatte ich die Fasskreise von Eckart Specht konstruiert und dann festgestellt, dass die Schnittpunkte für konkrete Startwinkel nicht mehr darauf liegen.

Da ich eh eine
Animation
2019-08-17 14:58 - HyperPlot in Beitrag No. 1769 schreibt:
2019-08-13 18:23 - stpolster in Beitrag No. 1745 schreibt:
Ich benötige dieses Bild in tikz:


Danke
Steffen



Die Fasskreise zur Sehne $|O_1 O_2|$ aus dem Bild oben lassen sich schon  konstruieren.

Wenn ich allerdings die Bahnkurve der Schnittpunkte aufzeichne, erhalte ich einen Kreis, dessen Radius vom Startwinkel des großen Zeigers abhängig ist. Auch habe ich verschiedene Radienverhältnisse von großer und kleiner Uhr getestet.

Entweder mache etwas falsch, ansonsten wage ich es, die in
mathematikalpha.de/wp-content/uploads/2019/08/Loesungen_MaOlympiade.pdf
angegebene Lösung anzuzweifeln.


\pgfmathsetmacro\BetaStart{11} % Startwinkel große Uhr


\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % Startwinkel große Uhr




latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}



Ergänzung: Graphik als animierter PDF-Inhalt mit dem animate-Paket.

Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




Zunächst: Einfaches Beispiel mit dem animate-Paket


sub.tex
latex
% sub.tex
 
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\begin{document}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\def\Range{0,30,60,90,120,360}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[]
%\useasboundingbox (-4,-4) rectangle (4,4);
\coordinate[] (M) at (0,0);
 
\draw[] (M) circle[radius=3];
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=1.4];
 
\draw[name path=zeiger] (M) -- (90-\Winkel:3);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=kreis and zeiger, name=S}] ;
\coordinate[label=left:$S_{\w}$] (S-\w) at (S-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\makeatother
 
\draw[red] plot[mark=*] coordinates{\List};
\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){List: \List};
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}


main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[tikz]{standalone}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop,controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






Uhr-Beispiel mit dem animate-Paket
Uhr-animate.pdf
(Achtung: Funktioniert vermutlich nur mit AdobeAcrobat Reader)




sub.tex
latex
\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,3,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name 
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} % 
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} % 
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1); 
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330} 
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}
 



main.tex
latex
% arara: pdflatex
% arara: pdflatex
 
\documentclass[]{article}
\usepackage{tikz}
\usepackage{animate}
 
\begin{document}
\animategraphics[autoplay,loop, controls]{1}{sub}{}{}
\end{document}






erstellen wollte, habe ich die Ortskurve dann punktweise konstruiert und gemerkt, dass ich einfache Kreise erhalte.

Wegen einer Korrekturlösung kann ich gerade noch nichts versprechen. Da ich nicht weiß, wann ich dazu komme.
In allen Fällen sollte auch Radius und Position des Kreismittelpunktes (abhängig vom Startwinkel) angegeben werden.

 

\(\endgroup\)


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svrc
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1818, eingetragen 2019-08-19



Aufgabe 1 - V611011

Im VEG Neuendorf werden \(82,5 \text{ha}\) mit Getreide, \(48,72 \text{ha}\) mit Hackfrüchten und \(20,47 \text{ha}\) mit Luzerne bestellt. Die Hackfruchtflächen sollen je Hektar \(34 \text{kg}\), die Luzerneflächen \(20 \text{kg}\) und die Getreideflächen \(17,5 \text{kg}\) Phosphorpentoxid (P_{2}O_{5}) erhalten.

Wieviele Dezitonnen Superphosphat werden benötigt, wenn dieses 17,3 Prozent Phosphorpentoxid enthält?

Für die Hackfruchtflächen werden \(48,72 \cdot 34 \text{kg} = 1656,48 \text{kg}\) \(P_{2}O_{5}\) benötigt. Für die Luzerneflächen werden \( 20,47 \cdot 20 \text{kg} = 409,40 \text{kg}\) \(P_{2}O_{5}\) benötigt. Für die Getreideflächen werden \(82,5 \cdot 17,5 \text{kg} = 1443,75 \text{kg}\) \(P_{2}O_{5}\) benötigt. Insgesamt werden somit \(3509,83 \text{kg}\) \(P_{2}O_{5}\) benötigt.

Superphosphat enthält 17,3 Prozent \(P_{2}O_{5}\), sodass insgesamt \( \dfrac{3509,63}{0,173} \text{kg} \approx 20286 \text{kg}\) Superphosphat benötigt werden. Da eine Dezitonne \(100 \text{kg}\) entspricht, werden \(202,86\) Dezitonnen Superphosphat benötigt.



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svrc
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Aufgabe 1 - V611131

(Langer Text über volkswirtschaftliche Planung)

Vom Materialverbrauch ist es am günstigsten, zunächst das Baumaterial für die Wohnungen vom Typ B zu verwenden. Es ist
\[y \leq \dfrac{24000}{22} \approx 1090,9\] und somit werden 1090 Wohnungen vom Typ B gebaut. Damit muss
\[
  \begin{eqnarray*}
  5,23 x + 4,19 y & \leq & 8000; \\
  5,23 x          & \leq & 3432,9; \\
  x               & \leq & \dfrac{3432,9}{5,23} \approx 656,386
  \end{eqnarray*}
\] sein, also werden 656 Wohnungen vom Typ A gebaut. Es muss also \(x = 656\) und \(y = 1090\) gelten.

Wollte man nur Wohnungen vom Typ A bauen, wäre \(x < 1600\) und damit ist oben der günstigste Fall beschrieben, um die Gesamtanzahl zu maximieren.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1820, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19


Bei nachfolgender Aufgabe habe ich ein veröffentlichtes Ergebnis von 1:2:3. Nun habe ich mich selbst versucht.

Aufgabe 3 - V611023

Die Vierecke $V_1$, $V_2$, $V_3$ stimmen in den Diagonalen $e$ und $f$ überein. In $V_1$ schneiden sich diese Diagonalen unter einem Winkel von $30^\circ$, in $V_2$ unter $45^\circ$, in $V_3$ unter $60^\circ$.
Wie verhalten sich die Flächeninhalte der drei Vierecke?

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(a0) at (1.8,0);
\coordinate(c) at (4,0);
\coordinate(b) at ($(a0)!2.4cm!30:(c)$);
\coordinate(d) at ($(a0)!1.6cm!210:(c)$);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\foreach \P in {a,b,c,d}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[left] at (a) {$A$};
\node[above] at (b) {$B$};
\node[right] at (c) {$C$};
\node[below] at (d) {$D$};
\node[below] at ($(a)!0.25!(c)$) {$e$};
\node[below] at ($(b)!0.15!(d)$) {$f$};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$30^\circ$", ] {angle =c--a0--b};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(a0) at (1.8,0);
\coordinate(c) at (4,0);
\coordinate(b) at ($(a0)!2.4cm!45:(c)$);
\coordinate(d) at ($(a0)!1.6cm!225:(c)$);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\foreach \P in {a,b,c,d}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[left] at (a) {$A$};
\node[above] at (b) {$B$};
\node[right] at (c) {$C$};
\node[below] at (d) {$D$};
\node[below] at ($(a)!0.25!(c)$) {$e$};
\node[below] at ($(b)!0.15!(d)$) {$f$};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$45^\circ$", ] {angle =c--a0--b};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=0.8]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(a0) at (1.8,0);
\coordinate(c) at (4,0);
\coordinate(b) at ($(a0)!2.4cm!60:(c)$);
\coordinate(d) at ($(a0)!1.6cm!240:(c)$);
\draw (a) -- (b) -- (c) -- (d) -- cycle;
\draw (a) -- (c);
\draw (b) -- (d);
\foreach \P in {a,b,c,d}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[left] at (a) {$A$};
\node[above] at (b) {$B$};
\node[right] at (c) {$C$};
\node[below] at (d) {$D$};
\node[below] at ($(a)!0.25!(c)$) {$e$};
\node[below] at ($(b)!0.15!(d)$) {$f$};
\draw pic [draw, angle radius=9mm, %angle eccentricity=1.3,
"$60^\circ$", ] {angle =c--a0--b};
\end{tikzpicture}
</math>

Jedes der Vierecke wird durch die Diagonalen in vier Teildreiecke zerlegt. Dabei entstehen die Diagonalenteile $e_1, e_2, f_1, f_2$ mit $e = e_1+e_2$ und $f= f_1+f_2$. Mit dem Schnittwinkel $\alpha$ der Diagonalen ergibt sich dann für den Flächeninhalt des Vierecks
\[
F = \frac{1}{2}e_1 \cdot f_1 \sin \alpha +
\frac{1}{2}e_2 \cdot f_2 \sin \alpha +
\frac{1}{2}e_1 \cdot f_2 \sin (180^\circ-\alpha) +
\frac{1}{2}e_2 \cdot f_1 \sin (180^\circ-\alpha)
\] \[
= \frac{1}{2}\sin \alpha \cdot (e_1f_1 + e_2f_2 + e_1f_2 + e_2f_1)
\] \[
= \frac{1}{2}\sin \alpha \cdot (e_1+ e_2)(f_1+f_2)
= \frac{1}{2}\sin \alpha \cdot e \cdot f
\] Damit folgt für die Verhältnisse der Flächeninhalte
\[
F_1:F_2 = \sin 30^\circ : \sin 45^\circ = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} \sqrt 2 = 1 : \sqrt 2
\] \[
F_2:F_3 = \sin 45^\circ : \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt 2 : \frac{1}{2} \sqrt 3 = \sqrt 2 : \sqrt 3
\] Die Flächeninhalte der drei Vierecke verhalten sich wie $1: \sqrt 2 : \sqrt 3$.

Nun komme ich aber ins Grübeln, denn wenn ich mir die Zeichnungen ansehe, sieht es (meiner Meinung nach) so aus, als wäre doch eher das Verhältnis 1:2:3 richtig, oder unterliege ich einer Täuschung?

Ich bitte um Kontrolle meiner Lösung.

Danke
Steffen



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1821, eingetragen 2019-08-19


Hallo Hyperplot,

Hallo mawi, hallo MontyPythagoras!
(...)
Wegen einer Korrekturlösung kann ich gerade noch nichts versprechen. Da ich nicht weiß, wann ich dazu komme.
(...)

Brauchst Du auch nicht, denke ich. Wie ich in #1812 geschrieben habe, würde ich einfach die fehlerhaften Sätze aus der Lösung von Eckhard Specht löschen, und unten drunter schreiben "korrigiert von Hyperplot", und fertig. Und die Bilder sollten natürlich die Vollkreise zeigen statt der Möndchen, aber das würde Steffen vermutlich erledigen.

Ciao,

Thomas



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1822, eingetragen 2019-08-19


2019-08-18 22:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1816 schreibt:
V611033
Fritz ermittelt als Ergebnis einer Divisionsaufgabe 75 Rest 52. Er macht die Probe und erhält 17380. Das ist falsch; denn er hatte die Zahlen undeutlich geschrieben und bei der Probe beim Divisor im Zehner eine 6 als 0 gelesen. Wie heißt die Aufgabe? Wie haben Sie das Ergebnis gefunden?

Hier ist mir noch nicht klar, wie die Aufgabe zu verstehen ist.

Nehmen wir an, die Divisionsaufgabe lautet a/b. b ist der Divisor, richtig?
Dann ermittelt Fritz
a = 75 b + 52

Nun macht er die Probe:
75 b' + 52 = 17380
wobei sich b und b' irrtümlich bei der Zehnerstelle unterscheiden.

Aber irgendwie passt das nicht.

@StrgAltEntf

Schätze hier ist die 364 anstelle von \(\frac{17380-52}{57}=304\) gesucht, wenn man den (vermuteten) Zahlendreher korrigiert.
LG Olga



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1823, eingetragen 2019-08-19


2019-08-19 09:45 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1821 schreibt:
Hallo Hyperplot,

Hallo mawi, hallo MontyPythagoras!
(...)
Wegen einer Korrekturlösung kann ich gerade noch nichts versprechen. Da ich nicht weiß, wann ich dazu komme.
(...)

Brauchst Du auch nicht, denke ich. Wie ich in #1812 geschrieben habe, würde ich einfach die fehlerhaften Sätze aus der Lösung von Eckhard Specht löschen, und unten drunter schreiben "korrigiert von Hyperplot", und fertig. Und die Bilder sollten natürlich die Vollkreise zeigen statt der Möndchen, aber das würde Steffen vermutlich erledigen.

Ciao, Thomas

Naja, neues Bild heißt wahrscheinlich auch neuer Erklärungstext.

Ansonsten sollten Kreismittelpunkt und Radius -als Zusatzaufgabe- angegeben werden, als Funktion des Startwinkels.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1824, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19


Hallo Hyperplot,
ich habe jetzt als erstes versucht, deine schöne Darstellung aufzunehmen

\documentclass[margin=5pt, tikz]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
\usetikzlibrary{intersections}
\usepackage{amsmath, amssymb}
 
\pgfmathsetmacro\R{2.5}
\pgfmathsetmacro\r{0.333*\R}
\pgfmathsetmacro\AlphaStart{0} % Startwinkel kleine Uhr
\pgfmathsetmacro\BetaStart{22} % 11 Startwinkel große Uhr
\pgfmathsetmacro\v{3} % Verlängerungsfaktor
\def\Range{0,10,...,360}
 
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\newcommand{\List}{}% reserve name
\let\List=\empty% create list
\begin{document}
 
\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} %
\begin{tikzpicture}[font=\sffamily\footnotesize]
% Auschnitt
\pgfmathsetmacro\V{1.125} %
\clip[] (-\V*\R,\V*\R) rectangle (\v*\R,-0.6*\v*\R);
 
\coordinate[] (O2) at (0,0);
\coordinate[] (O1) at (0,-0.5*\R);
\draw[] (O2) circle[radius=\R]; % Große Uhr
\draw[] (O1) circle[radius=\r]; % Kleine Uhr
 
% Kleiner Zeiger
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
\path[name path=zeiger] (P1) -- (Q1);
 
% Großer Zeiger
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q2);
\draw[densely dashed] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P2);
\draw[thick,-latex] (O2) -- +(90-\Winkel-\BetaStart:0.9*\R);
\path[name path=Zeiger] (P2) -- (Q2);
 
% Create List of Coordinates
\makeatletter
\path[name intersections={of=Zeiger and zeiger, name=Schnitt, total=\tot}, savevalue={\T}{\tot}] ;
\ifnum\T>0%%
\coordinate[label={[text=red, left]:$S_{\w}$}] (S-\w) at (Schnitt-1);
\pgfmathsetmacro\temp{"(S-\w)"}%
  \ifx\empty\List{} \xdef\List{\temp}%
  \else \xdef\List{\List \temp}%
  \fi
\else\fi%%
\makeatother
 
\if\List\empty \else\draw[red, thick] plot[mark=*, mark size=1.75pt] coordinates{\List}; \fi
%\node[anchor=north west, text width=6 cm] at (-3,-3){\List};
 
% Annotationen
\foreach \x in {0,6,...,354}
\draw[] (\x:\R) -- +(\x:-0.03*\R);
 
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330}
\draw[shorten >=0.07*\R cm] (-\x+60:\R) -- +(-\x+60:-0.125*\R) node[]{\N};
 
% Kleine Uhr
\foreach[count=\N] \x in {0,30,60,...,330}
\draw[shift={(O1)}] (\x:\r) -- +(\x:-0.125*\r);
 
% Punkte
\foreach \P in {O1,O2}
\draw[fill=black!1] (\P) circle(1.5pt);
\end{tikzpicture}
}%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\end{document}

Leider bekomme ich bei

\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:\v*\R) coordinate[label=](Q1);
\draw[densely dashed] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:-\v*\R) coordinate[label=](P1);
\draw[thick,-latex] (O1) -- +(90-\Winkel-\AlphaStart:0.9*\r);
usw.

die Fehlermeldung
Undefined control sequence. <argument> 90-\Winkel-\AlphaStart:\v\R

Allerdings habe ich bei

\foreach \w in \Range{%%%%%%%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro\Winkel{\w} %

ein } angefügt, da er dort schon meckerte. Da } an Ende, vor \end{document} wollte er gar nicht.

Ich habe wieder einmal keine Ahnung .

LG Steffen



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1825, eingetragen 2019-08-19


V611033

2019-08-19 09:59 - OlgaBarati in Beitrag No. 1822 schreibt:
@StrgAltEntf

Schätze hier ist die 364 anstelle von \(\frac{17380-52}{57}=304\) gesucht, wenn man den (vermuteten) Zahlendreher korrigiert.

Das ergibt tatsächlich mehr Sinn.

@Steffen: Kann es sein, dass es in der Aufgabe 57 statt 75 heißen muss?



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1826, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19


2019-08-19 11:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1825 schreibt:
@Steffen: Kann es sein, dass es in der Aufgabe 57 statt 75 heißen muss?
Ok, dieses Mal ist beim Mathe-Lehmann eine 57 und in der alten Kopie falsch.
Also 57 muss es heißen. Sorry.

LG Steffen



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1827, eingetragen 2019-08-19


Aufgabe 15 - V601015
An der Innenwand eines zylinderförmigen Glasgefäßes klebt 3 cm vom oberen Rande entfernt ein Tropfen Honig, während an der Außenwand auf einem genau gegenüberliegenden Punkt eine Fliege sitzt.
Welches ist der kürzeste Weg, auf dem die Fliege zu dem Honigtropfen laufen kann ?
Die Maße des Zylinders: h = 20 cm, d = 10 cm.

Alle Werte entsprechen der Maßangabe in cm.
Die Fliege muss zweimal den Höhenunterschied \(\Delta h=3\) und die Hälfte des Gefäßumfanges \(\frac{U}{2}=\frac{d\pi}{2}\approx 15,71 \) überwinden.
Mit der Aufteilung der zu überwindenden Strecke \(S\) in 2 gleiche Streckenabschnitte ergibt sich  mit dem Satz des Pythagoras \(c^2=a^2+b^2\) die kürzeste Verbindung  \[\frac{S}{2}=\sqrt{(\frac{d\pi}{4})^2+(\Delta h)^2}\] und somit für für die minimale Strecke \(S\) \[S=2\sqrt{\frac{25}{4}\pi^2+9}\approx 16,815.\]

EDIT: Da hat sich wohl was überschnitten, die Aufgabe steht nun schon als gelöst im Text.



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1828, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19


Die nachfolgende Aufgabe hat mich 2 Stunden gekostet, vor allem das Zeichnen war "extrem":

Aufgabe 4 - V610934

Man kann den Mittelpunkt $M$ einer Strecke $AB$ auf folgende Weise nur mit dem Zirkel konstruieren:
Zeichnen Sie $AB$! Schlagen Sie um $B$ mit $AB$ einen Kreis und um $A$ mit der gleichen Zirkelspanne ebenfalls einen Kreis, der den anderen Kreis in $C$ bzw. $C'$  schneidet!
Um $C$ schlagen Sie wiederum einen Kreis mit gleicher Zirkelspanne, der den Kreis um $B$ in $D$ schneidet! Schlagen Sie nun einen gleich großen Kreis um $D$!
Sie erhalten Punkt $E$ als Schnittpunkt mit dem Kreis um $B$. Jetzt schlagen Sie um $E$ mit $CE$ und um $A$ mit $AE$ Kreise, die einander in $F$ und $F'$ schneiden!
Schlagen Sie schließlich noch um $F$ und $F'$ Kreise mit $FE$, dann erhalten Sie den Punkt $M$!
Beweisen Sie, dass $M$ der Mittelpunkt von $AB$ ist!

<math>
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   }]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(b) at (2,0);
\draw[gray, name path=kreisa] (a) circle (2);
\draw[gray, name path=kreisb] (b) circle (2);
\path[name intersections={of=kreisa and kreisb, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{C}] (c1) at (D-1);
\coordinate[Punkt={above}{C"}] (c2) at (D-2);
\draw[gray, name path=kreisc] (c1) circle (2);
\path[name intersections={of=kreisc and kreisb, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{D}] (d) at (D-1);
\draw[gray, name path=kreisd] (d) circle (2);
\path[name intersections={of=kreisd and kreisb, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{E}] (e) at (D-2);
\draw[gray, name path=kreise] (e) circle (3.4641);
\draw[gray, name path=kreisf] (a) circle (4);
\path[name intersections={of=kreise and kreisf, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{F}] (f1) at (D-1);
\coordinate[Punkt={below}{F"}] (f2) at (D-2);
\draw[gray, name path=kreisg] (f1) circle (3.4641);
\draw[gray, name path=kreish] (f2) circle (3.4641);
\path[name intersections={of=kreisg and kreish, name=D}];
\coordinate[Punkt={below}{M}] (m) at (D-1);
\foreach \P in {a,b,c1,c2,d,e,f1,f2,m}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.07);}
\node[left] at (a) {$A$};
\node[below] at (b) {$B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
</math>

Es sei $AB = r$ der Radius des ersten Kreises. Weiterhin liege $A$ im Koordinatenursprung und $B$ bei $(r, 0)$.
Dann ergeben sich für die Punkte auf Grund der Konstruktion die Koordinaten:
\[
A(0, 0)\quad ; \quad B(r, 0)\quad ; \quad C \left(\frac{r}{2}, \frac{\sqrt 3}{2}r \right)\quad ; \quad E(2r, 0)
\] Damit ergibt sich für den Abstand der Punkte $C$ und $E$: $CE = \sqrt 3 r$, sowie $AE = 2r$. Für die Punkte $F$ und $F'$ wird mit der Konstruktion für das Dreieck $AFE$
\[
AE = 2r \quad ; \quad AF = 2r \quad ; \quad EF = \sqrt 3 r
\] Der Schnittpunkt $M$ der Kreise um $F$ und $F'$ mit dem Radius $EF$ liegt aus Symmetriegründen auf der Strecke $AE$ (1).

<math>
\begin{tikzpicture}[>=latex, font=\footnotesize, scale=1.4]
\coordinate(a) at (0,0);
\coordinate(e) at (2,0);
\coordinate(f) at (1.2,1.8);
\coordinate(m) at (0.4,0);
\coordinate(h) at (1.2,0);
\draw (a) -- (e) -- (f) -- cycle;
\draw (h)--(f) -- (m);
\foreach \P in {a,e,f,m,h}
{ \draw[fill=white] (\P) circle (0.05);}
\node[below] at (a) {$A$};
\node[below] at (e) {$E$};
\node[below] at (m) {$M$};
\node[above] at (f) {$F$};
\node[above right] at (h) {$H$};
\node[below] at (0.2,0) {$m$};
\node[below] at (1.2,0) {$2r-m$};
\node[left] at ($(a)!0.5!(f)$) {$2r$};
\node[right] at ($(f)!0.75!(m)$) {$r \sqrt 3$};
\node[right] at (1.2,0.9) {$h$};
\end{tikzpicture}
</math>

Für den Punkt $M(m ; 0)$ ergibt sich dann in den zwei rechtwinkligen Dreiecken $AHF$ und $MFH$ für die Höhe $h$:
\[
h^2 = (2r)^2 - \left(m + \frac{2r-m}{2}\right)^2 \qquad ; \qquad
h^2 = (r \sqrt 3)^2 - \left(\frac{2r-m}{2}\right)^2
\] Gleichsetzen und Auflösen nach $m$ ergibt:
\[
m^2 + 4mr - 12r^2 = m^2 - 4mr - 8r^2
\] \[
m = \frac{r}{2}
\] Damit ist mit (1) $M$ Mittelpunkt der Strecke $AB$. w.z.b.w.

Ich bitte um Kontrolle.

Danke
Steffen

@Olga: Ich nehme es als 2. Lösung auf. Danke.



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1829, eingetragen 2019-08-19


@ Steffen, sehr freundlich aber ich denke besser nicht. Sie enthält keine deutlich abweichende Lösung.

oLGa



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1830, eingetragen 2019-08-19


Aufgabe 2 - V611232
Vom Fenster (Breite 100 cm, Höhe 85 cm) eines fahrenden Zuges aus scheinen Regentropfen; bei völliger Windstille; in Richtung der Fensterdiagonalen zu fallen.
Wie groß ist die Fallgeschwindigkeit der Tropfen (in m/s), wenn der Zug in 3 Minuten 3 km zurücklegt?

Geht man davon aus, dass das Zuggleis gerade und horizontal verläuft, die Fensterbreite parallel zum Gleis verläuft und der Regen senkrecht zu dem Gleis fällt, dann ist die Fallgeschwindigkeit \(V_{_R}=\frac{85}{100}V_{_Z}\approx 14,166.\)

oLGa



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1831, eingetragen 2019-08-19


V611033

2019-08-19 12:24 - stpolster in Beitrag No. 1826 schreibt:
2019-08-19 11:55 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1825 schreibt:
@Steffen: Kann es sein, dass es in der Aufgabe 57 statt 75 heißen muss?
Ok, dieses Mal ist beim Mathe-Lehmann eine 57 und in der alten Kopie falsch.
Also 57 muss es heißen. Sorry.

Okay, dann hier noch mal die ausformulierte Lösung. Ist aber ne blöde Aufgabe, wie ich finde.

Die Divisionsaufgabe die Fritz gestellt wird, möge \(\frac ab\) lauten. Fritz rechnet
\(a=57\cdot b+52\),
macht die Probe und erhält dabei
\(57\cdot b'+52=17380\)
wobei sich der Faktor \(b'\) irrtümlich in der Zehnerstelle vom korrekten Wert \(b\) unterscheidet.

Es folgt dann
\(b'=\frac{17380-52}{57}=304\).
Laut Aufgabenstellung ergibt sich der wirkliche Wert \(b\), indem die Zehnerstelle \(0\) von \(b'\) durch 6 ersetzt wird. Folglich ist \(b=364\), \(a=57\cdot364+52=20800\) und die Divisionsaufgabe, die Fritz gestellt wurde, lautet \(\frac{20800}{364}\).



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OlgaBarati
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1832, eingetragen 2019-08-19


Aufgabe 1 - V611231
In einem volkseigenen Großbetrieb der Elektroindustrie werden j¨ahrlich 12000 Stuck eines bestimm- ¨
ten Halbfabrikats von einem Zulieferbetrieb zum Preise von 1,00 DM je Stuck bezogen. Die Bestellung ¨
erfolgte bisher zweimal im Jahr, und zwar am 1. Januar und am 1. Juli.
Die Verwaltungskosten fur jede Bestellung (Ausschreiben und Versenden der Bestellung, ¨
Uberwachung des Liefertermins, Rechnungspr ¨ ufung, Verbuchung usw.) betragen 30,00 DM. Die Kos- ¨
ten der Lagerhaltung (Raumkosten, Verwaltung, ”Schwund” durch Verderben und Besch¨adigung
usw.) betragen j¨ahrlich 20 % des Wertes des durchschnittlich am Lager befindlichen Materials. Die
Kosten fur Bestellung und Lagerhaltung betrugen also j ¨ ¨ahrlich
2 Bestellungen ... 60,00 DM
Kosten der Lagerhaltung 20 % vom durchschnittlichen Lagerbestand (3000 Stuck), also 20 % von ¨
3000,00 DM, das sind 600,00 DM
Zusammen 660,00 DM
In einer Produktionsberatung wird vorgeschlagen, die Kosten dadurch zu senken, dass viermal im
Jahr die fur jeweils ein Quartal ben ¨ ¨otigte Menge (3000 Stuck) bestellt wird. ¨
a) Wie hoch sind nach diesem Vorschlag die Kosten?
b) Bei welcher Zahl von Bestellungen entstehen die geringsten Kosten? Wie hoch sind in diesem Fall
die Kosten?
Hinweis: Erst im Jahr 1964 wurde in der DDR die Bezeichnung ”Deutsche Mark” in ”Mark der
Deutschen Notenbank” (MDN) und anschließend 1968 in ”Mark” ge¨andert.

Lösungsversuch
Seien x die Bestellungen pro Jahr und die jährlichen Gesamtkosten, bestehend aus den Bestellkosten und den Lagerkosten für dieses Halbfabrikat, \[K_{_G}=K_{_B}+K_{_L}=30 x+\frac{1200}{x}\] so ergeben sich die Kosten für
 a)
\[K_{_G}=K_{_B}+K_{_L}=30\cdot 4 +\frac{1200}{4}=420.\] und die geringsten Gesamtkosten für
b) \[K'_{_G}=30-\frac{1200}{x^2}\] \[30x^2-1200=0\] \[x=[\sqrt{40}]= 6\] Für x=6 eingesetzt erhält man tatsächlich der geringsten Wert von 380. Mit \(x=5,\; x=7\) steigen die Kosten bereits wieder an.

oLGa

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1830 begonnen.]



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1833, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19


Danke für die neuen Lösungen.
Es ist alles online, auch die Korrekturen.
Jetzt bleiben noch 17 Vorolympiadeaufgaben. Dann ist aber wirklich Schluss. Die Klassenstufe 8 steht nicht mehr auf meinem Plan.

Ich werde dann eher die "Aufgaben aus Internationalen-Mathematikolympiaden" die in den 1980er Jahren herausgegeben wurden, in LaTex setzen. Die 470 Aufgaben bekomme ich bestimmt in eine Datei mit weniger als 10 MB, an Stelle der jetzt gut 100 MB gescannten Seiten.
Und besser lesen kann man das dann auch.

LG Steffen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1834, eingetragen 2019-08-19

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Mawi hat mir netterweise die Musterlösung zu 321233A gezeigt:





Es sieht für mich so aus, als wäre ein Fehler in der Aufgabenstellung. Die Musterlösung würde zur Funktionalgleichung
\[2f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)-3f\left(\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}\right) = 5\left(x-\frac 1x\right)\] passen, d.h. auf der rechten Seite soll kein $f$ vorkommen.
\(\endgroup\)


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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1835, eingetragen 2019-08-19


Ja, so macht die Aufgabe Sinn. Deine Lösung war für die 12. Klasse definitiv nicht machbar, denke ich.

Ciao,

Thomas



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1836, vom Themenstarter, eingetragen 2019-08-19

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-08-19 21:34 - Nuramon in Beitrag No. 1834 schreibt:
Es sieht für mich so aus, als wäre ein Fehler in der Aufgabenstellung. Die Musterlösung würde zur Funktionalgleichung
\[2f\left(\frac{x^2+x-1}{x^2-x-1}\right)-3f\left(\frac{x^2-x-1}{x^2+x-1}\right) = 5\left(x-\frac 1x\right)\] passen, d.h. auf der rechten Seite soll kein $f$ vorkommen.
Nicht schön, da ist also der nächste Tippfehler. Sorry.
In der Datei aus mawis Seite steht rechts ein $f$. Dort habe ich es abgeschrieben.
Wenn es nicht zu viel Arbeit ist: Könntest du deine Lösung entsprechend ändern?

LG Steffen

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1834 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1837, eingetragen 2019-08-19


2019-08-19 21:43 - stpolster in Beitrag No. 1836 schreibt:
Wenn es nicht zu viel Arbeit ist: Könntest du deine Lösung entsprechend ändern?
Durch die geänderte Funktionalgleichung wird es eine komplett andere Aufgabe.
Die Musterlösung sollte aber leicht zu texen sein. Wenn du willst, dann mache ich das diese Woche noch.



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1838, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe V600914:

Es sei $r$ der Radius des in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschriebenen Kreises, $h$ die kleinste Höhe des Dreiecks.
Man beweise, dass für ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck die Beziehungen $0,4 <\frac rh < 0,5$ gelten!
Die kleinste Höhe steht senkrecht auf der Hypotenuse. Mit den gewöhnlichen Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck gilt daher:
$$ch=ab$$$$h=\frac{ab}c$$Für den Inkreisradius gilt
$$(a+b+c)r=ab$$$$r=\frac{ab}{a+b+c}$$Das gesuchte Verhältnis ist
$$\frac rh=\frac c{a+b+c}$$
Wir untersuchen zunächst die "rechte" Ungleichung der Aufgabenstellung. Es soll gelten:
$$\frac c{a+b+c}<\tfrac12$$$$c < \tfrac12a+\tfrac12b+\tfrac12c$$$$2c < a+b+c$$$$c < a+b$$Dies ist die Dreiecksungleichung, womit diese Ungleichung erfüllt ist. Die "linke" Ungleichung lautet:
$$\tfrac25 < \frac c{a+b+c}$$$$\tfrac25(a+b) < \tfrac35c$$$$2(a+b)<3\sqrt{a^2+b^2}$$Beide Seiten quadrieren:
$$4a^2+8ab+4b^2 < 9a^2+9b^2$$$$0 < 5a^2-8ab+5b^2$$$$0 < a^2+4(a-b)^2+b^2$$Da rechts nur positive Terme stehen, ist auch diese Ungleichung immer gültig. q.e.d.

Ciao,

Thomas



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MontyPythagoras
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1839, eingetragen 2019-08-20


Aufgabe V601012:

Zeichnen Sie in ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge $a$ den größtmöglichen Rhombus!
a) Stellen Sie eine Formel für den Flächeninhalt und den Umfang des Rhombus auf!
b) Wie viel Prozent der Sechseckfläche nimmt der Rhombus ein?

a) Es ist
$$b=\sqrt{a^2+h^2}$$wobei $h=\tfrac{\sqrt3}2a$ ist, und daher:
$$b=\sqrt{a^2+\tfrac34a^2}=\tfrac{\sqrt7}2a$$Der Umfang des Rhombus ist somit:
$$U_R=4b=2\sqrt7\,a$$Die Fläche des Rhombus lautet:
$$A_R=4\cdot\tfrac12ah=2ah=\sqrt3\,a^2$$
b) Die Fläche des Sechsecks lautet:
$$A_S=6\cdot\tfrac12ah=3ah$$Die Fläche des Rhombus ist daher zwei Drittel des Flächeninhalts des Sechsecks, und daher gerundet 66,7%.

Ciao,

Thomas



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