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Mathematik » Olympiade-Aufgaben » Alte Olympiadeaufgaben
Thema eröffnet 2019-04-22 08:33 von
stpolster
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Kein bestimmter Bereich Alte Olympiadeaufgaben
Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.400, eingetragen 2019-05-11


2019-05-11 22:24 - cyrix in Beitrag No. 399 schreibt:
Ab morgen geht es dann erst einmal um aktuelle Aufgaben.

Viel Erfolg (und Spaß)! Bring ein paar Medaillen mit zurück ins schönste Bundesland!

Viele Grüße,

Küstenkind

edit: @Steffen: Die 400. Antwort hier im Thread ist doch sicherlich auch ein Bierchen wert?!  razz



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.401, eingetragen 2019-05-11


Hier noch eine kürzere Alternativlösung zu

Aufgabe 021125:

Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen $n$ stets
\[5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}\] stets durch 19 teilbar ist.

Lösung: Unter Verwendung der Umformung
\[5^{2n+1}\cdot 2^{n+2}+3^{n+2}\cdot 2^{2n+1}=10\cdot 25^n\cdot 2^{n+1}+9\cdot 2^{n+1}\cdot 3^n\] sowie
\[25^n \equiv 6^n=2^n\cdot 3^n \mod 19\] gilt dann

$10\cdot 25^n\cdot 2^{n+1}+9\cdot 2^{n+1}\cdot 3^n\equiv 10\cdot 2^{2n+1}\cdot 3^n+9\cdot 2^{2n+1}\cdot 3^n=19\cdot 2^{2n+1}\cdot 3^n\equiv 0 \mod 19$

was die Behauptung beweist.



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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.402, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-11


2019-05-11 22:24 - cyrix in Beitrag No. 399 schreibt:
Ab morgen geht es dann erst einmal um aktuelle Aufgaben. wink
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.397 begonnen.]
Danke für die vielen Lösungen.
Ich wünsche eine problemlose Reise. Vielleicht sehen wir uns schon am Montag, da bin ich den ganzen Tag im "Keller", wo die Informatik bei uns untergebracht ist.

2019-05-11 22:40 - Kuestenkind in Beitrag No. 400 schreibt:
Viel Erfolg (und Spaß)! Bring ein paar Medaillen mit zurück ins schönste Bundesland!
edit: @Steffen: Die 400. Antwort hier im Thread ist doch sicherlich auch ein Bierchen wert?!  razz
cyrix reist in das schönste Bundesland.
Viele Berge (aber nicht zu hoch), schöne Flussgebiete, wunderschöne Landschaften wie das Vogtland, das Erzgebirge oder das Elbsandsteingebirge, viele Schlösser und Burgen, viele Technikmuseen, viel Kunst und Kultur, tolles Essen, außerordentlich gute Gymnasien  razz  und (fast) nur supernette, freundliche, hilfsbereite und vor allem gebildete Menschen.  smile
Für diesen Satz bekomme ich bestimmt den sächsischen Verdienstorden; wenn es so etwas gibt.
Jetzt ganz ernst: Chemnitz ist viel schöner als die meisten glauben.

Natürlich ist auch die 400.Antwort ein Bier wert.
Und nebenbei: 450 Lösungen sind online.

LG Steffen



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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.403, eingetragen 2019-05-12


@Steffen: Bitte noch bei der 131044 meine Lösung (vom Beitrag 291) hinzufügen! Außerdem ist mir aufgefallen, dass du nicht mit deutschem Sprachpaket arbeitest (oder so), denn manche Ausdrücke der Form "... werden verunstaltet, z.B. wird "a zu ä und "z zu ß.

101243
Es ist der folgende Satz zu beweisen: Haben je drei von vier in der gleichen Ebene liegenden konvexen Vielecksflächen jeweils einen
Punkt gemeinsam, so gibt es einen Punkt, der jeder der vier Vielecksflächen angehört.

Lösung
Bezeichne die gegebenen Flächen mit $F_i$, $i\in \{1,2,3,4\}$. Betrachte die Dreier-Schnitte $A_i:= \cap_{j \in \{1,2,3,4\}\setminus \{i\}} F_j$, welche nach Voraussetzung alle nicht leer sind, und wähle für jedes $A_i$ einen Punkt $P_i \in A_i$.

Wir betrachten das Problem für allgemeine konvexe Flächen und nutzen die eine konvexe Fläche definierende Eigenschaft aus, dass mit zwei Punkten auch die Verbindungslinie der zwei Punkte in der Fläche enthalten ist.
Daraus folgt, dass die Verbindungslinie $P_iP_j$ in $F_k \cap F_m$ enthalten ist (mit $k,m \in \{1,2,3,4\}\setminus \{i,j\}$ und $k\neq m$, $i \neq j$).
Wenn zwei der Punkte $P_i$ übereinstimmen, so ist dies der gesuchte Punkt, da er in allen der gegebenen Flächen enthalten ist.
Seien die $P_i$ nun also alle verschieden.
Wenn drei der $P_i$ auf einer Linie liegen, so ist der mittlere von ihnen in allen vier Flächen enthalten (denn der linke und rechte Punkt, sowie deren Verbindungslinie [wegen Konvexität], sind in der für den mittleren Punkt noch eventuell fehlenden Fläche enthalten) und damit der gesuchte Punkt.
Wenn keine drei der $P_i$ auf einer Linie liegen, so bilden sie ein nicht-entartetes Viereck, sodass es zwei sich schneidende Verbindungslinien $P_iP_j$ und $P_kP_m$ gibt, mit $i,j,k,m$ paarweise verschieden. Der Schnittpunkt ist in allen Flächen enthalten und damit der gesuchte Punkt.




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stpolster
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Aus: Chemnitz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.404, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-12


@Kornkreis: Ich habe alles übernommen.
Anschließend bin ich den ganzen Text durchgegangen und habe (hoffentlich) alle Anführungsstrich durch \dq ersetzt.

\@alle: Da die Aufgaben der 1.Stufe der Klasse 11 zu schön sind, habe ich sie wieder aufgenommen.
D.h., 468 Lösungen online.

Schönen Sonntag
Steffen  



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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 453
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.405, eingetragen 2019-05-12


Hallo stolpster

Du hast meine Lösung zu 081041 übersehen.

Hier eine Ergänzung zu 09129:

Der Numerus des Zählers liegt zwischen 1000 und 10000, lg(1000)=3, lg(10000)=4
Der Zähler beträgt also 3.

Der Numerus des Nenners liegt zwischen 0,01 und 0,001, lg(0,01)=-2, lg(0,001)=-3
Der Zähler beträgt also -2.

Gruß Caban




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weird
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 16.10.2009
Mitteilungen: 4950
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.406, eingetragen 2019-05-12


Hier noch eine einfache Alternativlösung zu

Aufgabe 051231:

Es ist zu beweisen, dass die Zahl $z=2^n+1$ für keine natürliche Zahl $n$ eine Kubikzahl ist.

Lösung: Dies folgt einfach daraus, dass im Falle der Lösbarkeit von
\[2^n+1=k^3\quad (k,n\in\mathbb N)\] bei einer Division durch 7 die linke Seite dieser Gleichung einen Rest in $\{2,3,5\}$, die rechte aber einen Rest in $\{0,1,6\}$ ergeben würde, Widerspruch!



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HyperPlot
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 06.01.2019
Mitteilungen: 332
Aus: Kneedeep in the Dead
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.407, eingetragen 2019-05-12


2019-05-11 21:21 - HyperPlot in Beitrag No. 398 schreibt:
Uppss, da ist scheints noch ein Fehler drin.
Muss ich nochmal überarbeiten...

So, war irgendwie doch richtig, bloß die Argumentation war nicht so toll. Naja.




<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfmathsetmacro{\hbMax}{\b/2*(1/sin(\Beta)+sqrt(1/sin(\Beta)^2-1))} %   5

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\noindent\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\b,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (-\Alpha:\c);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

% Annotationen - Planfigur
% Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A};

% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={left}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Hhe
\draw[] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{H_b}] (Hb) node[pos=0.4, right]{$h_b$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hb--C};

% Mittelsenkrechte
\draw[] (U) -- ($(A)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{M_b}] (Mb);
% Umkreisradien
\path[] (A) -- (U) node[pos=0.4, left] {$R$};
\path[] (C) -- (U) node[pos=0.4, left] {$R$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =U--Mb--C};

% Mittelpunktswinkel
\draw[densely dashed] (A) -- (U) node[midway, left]{$$};
%\draw[densely dashed] (C) -- (U) node[midway, right]{$$};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\beta$"
] {angle =Mb--U--A};
\draw pic [angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--U--Mb};

% Parallele zu UC
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (U) --+ (0,-2.1)  coordinate[Punkt={anchor=north west}{P}] (P);
\draw[densely dashed] (P) --+ (90-\Beta:1.7*\R) node[fill=black!1, pos=0.6]{$p_1$} coordinate(Ps);
\draw pic [angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\beta$"
] {angle =Ps--P--U};

\draw[densely dashed] (U) -- ($(U)!1.3!(C)$) node[fill=black!1, inner sep=1pt, pos=0.95]{$p_2$};

% Parallele im Abstand hb
\draw[densely dashed] (B) --+ ($(C)-(A)$) node[fill=black!1,  pos=0.8]{$p$};
\draw[densely dashed] (B) --+ ($0.5*(A)-0.5*(C)$) ;


%% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,U, Hb,Mb,P}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);

\end{tikzpicture}
</math>





200936
<math>
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %  7
\pgfmathsetmacro{\hb}{4.898979485566} %   5
\pgfmathsetmacro{\Beta}{38.572650822228} % 40

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\v}{\b^2+2*\b*\hb/tan(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\w}{(\b*\hb/sin(\Beta))^2} %  (a*c)

\pgfmathsetmacro{\D}{2} %
\pgfmathsetmacro{\aI}{sqrt(\v/2+sqrt((\v/2)^2-\w))} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\w)/\aI} %

\pgfmathsetmacro{\aII}{sqrt(\v/2-sqrt((\v/2)^2-\w))} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\w)/\aII} %

\pgfmathsetmacro{\a}{\aI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %

\pgfmathsetmacro{\a}{\aII} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cII} %

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

% Annotationen - Dreieck
\draw[thick] (A) -- (C) node[near start, left]{$b$};
\draw[thick] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={left}{H_b}] (Hb) node[midway, right]{$h_b$};
\draw[densely dashed] (Hb) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};

\draw[densely dashed] (Hb) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, angle eccentricity=1.3,
%"$\beta$",
pic text={$\beta$}, pic text options={yshift=-2pt},  thick,
] {angle =C--B--A};

%% Punkte
\foreach \P in {Hb}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-0mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {b/b,hb/h_b}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Beta}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\beta$",
] {angle =R--Q--P};


%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%b = \b \text{ cm}  &  \\
%h_b = \hb \text{ cm}  &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\ \hline
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & \\
%\gamma = \Gamma^\circ    &  \\
%%v\v, w\w,% y\y
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};


\end{tikzpicture}
</math>


<math>
% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{3.5} %
\pgfmathsetmacro{\c}{5} %

\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Beta}{acos((\a^2+\c^2-\b^2)/(2*\a*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

\pgfmathsetmacro{\hbMax}{\b/2*(1/sin(\Beta)+sqrt(1/sin(\Beta)^2-1))} %   5

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\noindent\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={above}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\b,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (-\Alpha:\c);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

% Annotationen - Planfigur
% Winkel
\draw pic [angle radius=5mm, angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--B--A};

% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={left}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Hhe
\draw[] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{H_b}] (Hb) node[pos=0.4, right]{$h_b$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =B--Hb--C};

% Mittelsenkrechte
\draw[] (U) -- ($(A)!(U)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{M_b}] (Mb);
% Umkreisradien
\path[] (A) -- (U) node[pos=0.4, left] {$R$};
\path[] (C) -- (U) node[pos=0.4, left] {$R$};
% Winkel
\draw pic [angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\cdot$"
] {angle =U--Mb--C};

% Mittelpunktswinkel
\draw[densely dashed] (A) -- (U) node[midway, left]{$$};
%\draw[densely dashed] (C) -- (U) node[midway, right]{$$};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\beta$"
] {angle =Mb--U--A};
\draw pic [angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\beta$"
] {angle =C--U--Mb};

% Parallele zu UC
\draw[densely dashed, shorten >=-5mm] (U) --+ (0,-2.1)  coordinate[Punkt={anchor=north west}{P}] (P);
\draw[densely dashed] (P) --+ (90-\Beta:1.7*\R) node[fill=black!1, pos=0.6]{$p_1$} coordinate(Ps);
\draw pic [angle radius=7mm,% angle eccentricity=1.5,
draw,   "$\beta$"
] {angle =Ps--P--U};

\draw[densely dashed] (U) -- ($(U)!1.3!(C)$) node[fill=black!1, inner sep=1pt, pos=0.95]{$p_2$};

% Parallele im Abstand hb
\draw[densely dashed] (B) --+ ($(C)-(A)$) node[fill=black!1,  pos=0.8]{$p$};
\draw[densely dashed] (B) --+ ($0.5*(A)-0.5*(C)$) ;


%% Punkte
\foreach \P in {A,B,C,U, Hb,Mb,P}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);


% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw=none, align=left, fill=none,
PosUnten, text width=1.6*\b cm, yshift=-1mm, font=\normalsize,
%PosLinks,
](XXX){%hbMax=\hbMax \\
Bedingungen fr die Konstruktion. Sei $R$ der Umkreisradius; dann  entliest man der Abbildung: im Grenzfall ist $h_{b,\max}
=R+|UM_b|
= R+\sqrt{R^2-\dfrac{b^2}{4}}$. Mit $
\sin(\beta) = \dfrac{b/2}{R}
~\Leftrightarrow~
R = \dfrac{b}{2\sin(\beta)}$ wird
$h_{b,\max}
=  \dfrac{b}{2\sin(\beta)} +\sqrt{ \dfrac{b^2}{4\sin^2(\beta)}- \dfrac{b^2}{4}}
=  \dfrac{b}{2} \cdot \left[\dfrac{1}{\sin(\beta)} +\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2(\beta)}-1} \right]$. \\
Also muss
$$h_b \leq   \dfrac{b}{2} \cdot \left[\dfrac{1}{\sin(\beta)} +\sqrt{\dfrac{1}{\sin^2(\beta)}-1} \right]$$
gelten.
};
\draw[] (XXX.north east) -- (XXX.south east);

% Annotation =====================
\tikzset{PosRechts/.style={shift={($(dreieck.north)+(2.5*\c cm,3mm)$)}, anchor=north east,}}
\newcommand\No[1]{\texttt{(#1)}~}
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}

\node[PosRechts, yshift=0cm,
draw=none, align=left, fill=none, text width=1.8*\c cm,  font=\normalsize,
]  {%
Planfigur und Konstruktion. Der Umkreismittelpunkt $U$ liegt auf der Mittelsenkrechten von $|AC|=b$. Der Mittelpunkstwinkel $2\beta$ hat die doppelte Gre des Umfangswinkels $\beta$ bei $B$ (Kreiswinkelsatz). Damit kann der Umkreismittelpunkt und der Umkreis konstruiert werden. \\
Der Punkt $B$ liegt auf dem Umkreis und auf derjenigen Parallen zu $|AC|$ im Abstand $h_b$.  \\
Damit ergibt sich folgende Konstruktion:
\begin{enumerate}
\item Konstruktion des Umkreismittelpunktes als Grundkonstruktion $WWS$.
\item[(1a)]  Lege durch die Strecke $b = |AC|$ die Punkte $A$ und $C$ fest.
\item[(1b)]   Errichte die Mittelsenkrechte auf $|AC|$.
\item[(1c)]  Whle einen beliebigen Punkt $P$ auf der Mittelsenkrechten; und lege durch $P$  eine Gerade $p_1$  so, dass sie mit der Mittelsenkrechten den Winkel $\beta$ einschliet.
\item[(1d)]  Lege zu $p_1$  eine Parallele $p_2$  durch $C$; Schnittpunkt der Parallelen mit der Mittelsenkrechten ist der Umkreismittelpunkt $U$.
\item Konstruktion des Punktes $B$.
\item[(2a)] Beschreibe einen Kreis $\bigodot(U, |UA|)$ um $U$ vom Radius $|UA|$, um den Umkreis zu erhalten.
\item[(2b)]  Lege eine Parallele $p$ zu $|AC|$ im Abstand $h_b$; Schnittpunkte der Parallelen mit dem Umkreis liefern den Punkt $B$.    \\
Es hngt also von den Gren $h_b$ und $\beta$ ab, ob es keinen oder zwei Schnittpunkte oder einen Berhpunkt gibt.
\end{enumerate}
};



\end{tikzpicture}
</math>


Zusatz: Berechnung der fehlenden Seitenlängen und Innenwinkel.
<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\b}{7} %  7
\pgfmathsetmacro{\hb}{5} %   5
\pgfmathsetmacro{\Beta}{40} % 40

\pgfmathsetmacro{\hbMax}{\b/2*(1/sin(\Beta)+sqrt(1/sin(\Beta)^2-1))} %   5

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\v}{\b^2+2*\b*\hb/tan(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\w}{(\b*\hb/sin(\Beta))^2} %  (a*c)

\pgfmathsetmacro{\D}{2} %
\pgfmathsetmacro{\aI}{sqrt(\v/2+sqrt((\v/2)^2-\w))} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\w)/\aI} %

\pgfmathsetmacro{\aII}{sqrt(\v/2-sqrt((\v/2)^2-\w))} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\w)/\aII} %

\pgfmathsetmacro{\a}{\aI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %

\pgfmathsetmacro{\AlphaI}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\GammaI}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %

% Verwendeter Wert
\pgfmathsetmacro{\a}{\aII} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cII} %

\pgfmathsetmacro{\AlphaII}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\pgfmathsetmacro{\GammaII}{acos((\a^2+\b^2-\c^2)/(2*\a*\b))} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{\AlphaII} %


\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; %

% Annotationen - Dreieck
\draw[thick] (A) -- (C) node[midway, above]{$b$};
\draw[thick] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) coordinate[Punkt={above}{H_b}] (Hb) node[midway, right]{$h_b$};
\draw[densely dashed] (Hb) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\cdot$"
] {angle =A--Hb--B};

\draw[densely dashed] (Hb) -- (C);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
"$\beta$", thick,
] {angle =C--B--A};


%% Umkreis
%\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
%\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %
%
%\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
%\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
%\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
%\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %
%
%\coordinate[Punkt={below}{}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);
%
%\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
%%\draw[] (U) circle[radius=\R];


%% Punkte
\foreach \P in {Hb}
\draw[fill=black!1, scale=2] (\P) circle (1.75pt);




%% Annotationen - Aufgabe
%\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \hb)} %
%\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\x cm-3mm,0)$)}]
%% Strecken
%\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {b/b,hb/h_b}{%%
%\draw[|-|, yshift=-\y*10mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
%};}%%
%\end{scope}
%% Winkel
%\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Beta}
%\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
%\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-20mm)$)}] (\Winkel:2)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (2,0) coordinate(R);
%\draw pic [draw, angle radius=0.7cm, %angle eccentricity=1.3,
%% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
%"$\beta$",
%] {angle =R--Q--P};


% Annotationen - Rechnung
\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=none,
PosUnten,
%PosLinks,
]{Beispielwerte: \\
$\begin{array}{l | l}
\multicolumn{2}{l}{b = \b \text{ cm} } \\
\multicolumn{2}{l}{h_b = \hb \text{ cm}  } \\
\multicolumn{2}{l}{\beta = \Beta^\circ  } \\  \hline
\multicolumn{2}{l}{h_{b,\max} = \hbMax \text{ cm}  } \\  \hline
%b = \b \text{ cm}  &  \\
%h_b = \hb \text{ cm}  &  \\
%\beta = \Beta^\circ    &  \\ \hline
\text{1. Lsung:}  &  \text{2. Lsung:}    \\
a_1 = \aI \text{ cm}  &  a_2 = \aII \text{ cm}    \\
c_1 = \cI \text{ cm}  &  c_2 = \cII \text{ cm}    \\
\alpha_1 = \AlphaI^\circ    & \alpha_2 = \AlphaII^\circ     \\
\gamma_1 = \GammaI^\circ   &  \gamma_2 = \GammaII^\circ      \\
%v\v, w\w,% y\y
%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
\end{array}$
};

% Annotation =====================
\tikzset{PosRechts/.style={shift={($(dreieck.north)+(1.3*\c cm,3mm)$)}, anchor=north east,}}
\newcommand\No[1]{\texttt{(#1)}~}
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}

\node[PosRechts, yshift=7mm,
draw=none, align=left, fill=none, text width=1.8*\cI cm,  font=\normalsize,
]  {%
Es ist $A=\dfrac12 bh_b = \dfrac12 ac\sin(\beta)
~\Leftrightarrow~
a\cdot c = \dfrac{b\cdot h_b}{\sin(\beta)} =: p$. \\
Zudem ist nach dem Kosinussatz
$b^2 = a^2 + c^2 - 2 a c \cos(\beta)$ \\
$\Leftrightarrow~
a^2+c^2  = b^2 + 2 a c \cos(\beta) = b^2 + 2 p \cos(\beta) =: q$. \\
Damit gengen die Gren $a$ und $c$ dem Gleichungssystem \\
$\begin{array}{l | l }
\texttt{(1)} & a\cdot c := p =  \dfrac{b\cdot h_b}{\sin(\beta)} \\[1em]
\texttt{(2)} & a^2+c^2 :=q  = b^2 + 2 p \cos(\beta)
\end{array}$ \\
%
Einsetzen von \texttt{(1)} in \texttt{(2)} liefert die biquadratische Gleichung  $a^2+ \dfrac{p^2}{a^2} = q
~\Leftrightarrow~
a^4-q\cdot a^2 +p^2=0$ mit den grundstzlich nicht-negativen Lsungen \\
$a_{1/2} = \sqrt{\dfrac{q \pm\sqrt{q^2-4p^2 }}{2}}$ und, gem  \texttt{(1)}, $c_{1/2} = \dfrac{p}{a_{1/2}}$. \\
Da damit alle drei Seitenlngen bekannt sind, lassen sich die fehlenden Innenwinkel mit dem Kosinussatz berechnen.
};


\end{tikzpicture}
</math>



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StrgAltEntf
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081224
Es sind alle reellen Zahlen x anzugeben, für die die Gleichung
|x+1|·|x−2|·|x+3|·|x−4| = |x−1|·|x+2|·|x−3|·|x+4|
erfüllt ist.

Lösung:
Für die linke Seite der Gleichung gilt:
\(|x+ 1|\cdot|x−2|\cdot|x+ 3|\cdot|x−4|=\pm(x+1)\cdot(x−2)\cdot(x+ 3)\cdot(x−4)\)

Und für die rechte Seite:
\(|x- 1|\cdot|x+2|\cdot|x-3|\cdot|x+4|=\pm(x-1)\cdot(x+2)\cdot(x-3)\cdot(x+4)\)

Somit folgt aus der Ausgangsgleichung
Fall 1: \((x+1)(x−2)(x+3)(x−4)=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)\) oder
Fall 2: \((x+1)(x−2)(x+3)(x−4)=-(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)\)

Wir ermitteln nun, für welche (nicht ganzzahligen) Werte \(x\) die Terme \(a=(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)\) und \(b=(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)\) das gleiche oder unterschiedliche Vorzeichen haben, also für welche Werte \(x\) Fall 1 oder Fall 2 zu betrachten ist.
  | x<-4 | -4<x<-3 | -3<x<-2 | -2<x<-1 | -1<x<0 | 0<x<1 | 1<x<2 | 2<x<3 | 3<x<4 | x>4
a |  >0  |  >0     |  <0     |   <0    |   >0   |   >0  |   >0  |   <0  |  <0   |  >0 
b |  >0  |  <0     |  <0     |   >0    |   >0   |   >0  |   <0  |   <0  |  >0   |  >0 
  |Fall 1| Fall 2  | Fall 1  | Fall 2  | Fall 1 | Fall 1| Fall 2| Fall 1| Fall 2| Fall 1

Ausmultiplizieren liefert
\((x+1)(x−2)(x+3)(x−4)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24\) und \((x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=x^4+2x^3-13x^2-14x+24\)

Fall 1:
Zu lösen ist
\(x^4-2x^3-13x^2+14x+24 =x^4+2x^3-13x^2-14x+24\)
\(\iff\)
\(4x^3-28x=0\)
\(\iff\)
\(x^3-7x=0\)
\(\iff\)
\(x=0\) oder \(x=\sqrt7\) oder \(x=-\sqrt7\)
\(x_0=0\) ist offenbar eine Lösung der Ausgangsgleichung.
Für \(x_1=\sqrt7\) gilt \(2<x_1<3\). \(x_1\) liegt somit in einem Bereich, für den Fall 1 zuständig ist (siehe Tabelle) und ist somit eine Lösung. Auch \(x_2=-\sqrt7\) ist wegen \(-3<x_2<-2\) eine Lösung.

Fall 2:
Zu lösen ist
\(x^4-2x^3-13x^2+14x+24 =-x^4-2x^3+13x^2+14x-24\)
\(\iff\)
\(2x^4-26x^2+48=0\)
\(\iff\)
\(x^4-13x^2+24=0\)
\(\iff\)
\(x=\sqrt{\frac{13+\sqrt{73}}2}\) oder \(x=-\sqrt{\frac{13+\sqrt{73}}2}\) oder \(x=\sqrt{\frac{13-\sqrt{73}}2}\) oder \(x=-\sqrt{\frac{13-\sqrt{73}}2}\)
Für \(x_3=\sqrt{\frac{13+\sqrt{73}}2}\) gilt \(x_3<\sqrt{\frac{13+\sqrt{81}}2}=\sqrt{11}<4\) und \(x_3>\sqrt{\frac{13+\sqrt{64}}2}=\sqrt{10,5}>3\). Somit liegt \(x_3\) im Fall-2-Bereich und ist daher eine Lösung der Ausgangsgleichung.
Analog folgt mit \(x_4=-\sqrt{\frac{13+\sqrt{73}}2}\), \(x_5=\sqrt{\frac{13-\sqrt{73}}2}\) und \(x_6=-\sqrt{\frac{13-\sqrt{73}}2}\), dass \(-4<x_4<-3\), \(1<x_5<2\) und \(-2<x_6<-1\) und daher \(x_4\), \(x_5\) und \(x_6\) Lösungen der Ausgangsgleichung sind.

Insgesamt haben wir also sieben Lösungen \(x_0\),...,\(x_6\).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.404 begonnen.]



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.409, eingetragen 2019-05-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 061246:
Man beweise folgenden Satz:
Liegen die <math>n</math> paarweise voneinander verschiedene Punkte <math>P_i</math>, <math>i = 1, 2, ..., n</math>; <math>n > 2</math>, so im dreidimensionalen Raum, dass jeder von ihnen von ein und demselben Punkt <math>Q</math> einen kleineren Abstand hat als von jedem anderen der <math>P_i</math>, dann ist <math>n < 15</math>.
Wir legen alle Punkte in ein kartesisches Koordinatensystem, wobei o.B.d.A. $Q=0$ sei.
Nach Annahme ist in jedem der Dreiecke $P_iP_jQ$ die Seite $P_iP_j$ am längsten. Insbesondere schließen also die Vektoren $P_i$ und $P_j$ einen Winkel von mindestens $60°$ ein.

Daher genügt es zu zeigen: Wenn $n$ paarweise verschiedene Vektoren $p_1,p_2,\ldots, p_{n}\in \IR^3\setminus\{0\}$ paarweise miteinander Winkel von jeweils mindestens 60° einschließen, dann gilt $n<15$.

Da der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht von der Länge der Vektoren sondern nur von deren Orientierung abhängt, können wir für den Beweis dieser neuen Behauptung sogar o.B.d.A. annehmen, dass $p_1,p_2,\ldots, p_{n}$ auf der Einheitskugel liegen.
Es sei für $i=1,\ldots,n$ die Menge $S_i\subset \IR^3$ definiert als die Menge derjenigen Punkte auf der Einheitskugel, deren Ortsvektor mit $p_i$ einen Winkel kleiner als 30° einschließen.

<math>
\begin{tikzpicture}
\def \r{2.5cm}
\draw (0,0) circle (\r);
\filldraw (0,0) circle (1.5pt) node[left] {$0$};
\filldraw (\r,0) circle (1.5pt) node[right] {$p_i$};
\draw (0,0) -- ([shift=(-30:\r)]0,0) node[midway, below]{$1$};
\draw (0,0) -- ([shift=(30: \r)]0,0) node[midway, above]{$1$};
\draw[thick, red] ([shift=(-30:\r)]0,0) arc (-30:30:\r) node[right]{$S_i$};
\draw ([shift=(-30:\r)]0,0) -- ([shift=(30:\r)]0,0);
\draw (0,0) -- (\r, 0);
\draw[very thick] ({\r*cos(30)}, 0) -- (\r,0) node[midway, below] {$h$};
\draw (0,0) -- ({\r*cos(30)}, 0) node[midway, below]{$\cos 30^\circ$}

\end{tikzpicture}


</math>

Die $S_i$ sind Kugelsegmente der Höhe $h = 1-\cos(30°) = 1-\frac {\sqrt 3}2$ und haben somit eine Mantelfläche von $2\pi h= (2-\sqrt 3)\pi$.

Aus den Voraussetzungen folgt, dass diese Kugelsegmente paarweise disjunkt sind, also $S_i\cap S_j = \emptyset$ für $i\not= j$.
Da die Oberfläche der Einheitskugel $4\pi$ ist muss somit gelten $(2-\sqrt 3)\pi n\leq 4\pi$, also
\[n \leq \frac 4{2-\sqrt 3} = 4(2+\sqrt 3) = 8+\sqrt{48} < 8+7=15.\]

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.405 begonnen.]
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.410, eingetragen 2019-05-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@Nuramon: Toll!

2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 061246:
Man beweise folgenden Satz:
Liegen die <math>n</math> paarweise voneinander verschiedene Punkte <math>P_i</math>, <math>i = 1, 2, ..., n</math>; <math>n > 2</math>, so im dreidimensionalen Raum, dass jeder von ihnen von ein und demselben Punkt <math>Q</math> einen kleineren Abstand hat als von jedem anderen der <math>P_i</math>, dann ist <math>n < 15</math>.

Interessant wäre es jetzt noch, ob man tatsächlich auf der Einheitskugel 15 solche Punkte finden kann. Aber das gehört natürlich nicht zur Aufgabe.
\(\endgroup\)


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Kornkreis
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.411, eingetragen 2019-05-12


Im Beitrag #98 stand übrigens auch schon eine Lösung der Aufgabe.

@Steffen: Die 081246 und 101242 stimmen überein - ich glaube da hat sich ein Fehler eingeschlichen.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.412, eingetragen 2019-05-12


@StrgAltEntf: Du meinst 14 Punkte.

@Kornkreis: Danke für den Hinweis. Die Lösung hatte ich übersehen, ist aber mit meiner praktisch identisch.

Im Engel steht leider keine Bemerkung dazu, ob es mit 14 Punkten möglich ist.

 



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StrgAltEntf
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2019-05-12 16:47 - Nuramon in Beitrag No. 412 schreibt:
@StrgAltEntf: Du meinst 14 Punkte.

Im Engel steht leider keine Bemerkung dazu, ob es mit 14 Punkten möglich ist.

Ja, ich meine 14. Aber so knapp, wie die Abschätzug ist, glaube ich nicht, dass es solche 14 Punkte gibt.



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stpolster
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2019-05-12 16:26 - Kornkreis in Beitrag No. 411 schreibt:
@Steffen: Die 081246 und 101242 stimmen überein - ich glaube da hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Ich habe im Text bei Manuela Kugel nachgesehen und da steht es genau so drin.
Nun gibt es mehrere Möglichkeiten:
1. Auch bei ihr ist ein Fehler.
2. Die Aufgabe wurde ein zweites Mal gestellt.
Ich werde mal sehen, ob ich es klären kann.

LG Steffen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.415, eingetragen 2019-05-12

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
@061246:
Mit 12 Punkten scheint es so eine Anordnung auf der Einheitskugel zu geben: de.wikipedia.org/wiki/Kusszahl

Mit 13 Punkten gibt es immer zwei, die einen Winkel von höchstens $\approx 57.1367^\circ$ einschließen, bei 14 Punkten gibt es zwei, die einen Winkel von höchstens $\approx 55.67057^\circ$ einschließen: arxiv.org/abs/1410.2536
\(\endgroup\)


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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.416, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-12


(2019-05-12 16:26 - Kornkreis in <a href=viewtopic.php?
@Steffen: Die 081246 und 101242 stimmen überein - ich glaube da hat sich ein Fehler eingeschlichen.
Ich habe jetzt die Zeitschriften alpha 69/3 und 71/4 herausgekramt und die Aufgabentexte verglichen.
Sie sind wörtlich exakt wiedergegeben. Sehr merkwürdig.

LG Steffen



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.417, eingetragen 2019-05-12


Aufgabe 081236:

Es sind alle reellen Zahlen $a$ anzugeben, für die die Gleichung
\[\sin^6x+\cos^6x=a(\sin^4x+\cos^4x)\] mindestens eine reelle Lösung hat. Ferner sind sämtliche reelle Lösungen für $a=\frac56$ anzugeben.

Lösung: Unter Verwendung von
\[\sin^6x+\cos^6x=(\sin^2x+\cos^2x)^3-3\sin^2x\cos^2x(\sin^2x+\cos^2x)=1-\frac34\,\sin^2(2x)\] sowie
\[\sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-\frac12\,\sin^2(2x)\] wird die Ausgangsgleichung zu
\[1-\frac34\,\sin^2(2x)=a\left(1-\frac12\,\sin^2(2x)\right)\] woraus sich unmittelbar
\[\sin^2(2x)=\frac{4(a-1)}{2a-3}\quad (*)\] und wegen $0\le \sin^2(2x)\le 1$ die Bedingung
\[\frac12\le a\le 1\] für $a$ ergibt. Speziell für $a=\frac56$ ist (*) dann äquivalent zu
\[\sin(2x)=\pm\frac {\sqrt2}2\] mit den offensichtlichen Lösungen
\[x=(2k+1)\frac{\pi}8\quad (k\in \mathbb Z)\]



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HyperPlot
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2019-05-11 18:00 - Caban in Beitrag No. 391 schreibt:
 091021

Ist das wirklich so einfach?

3/(-2)=-1,5?????????

Gruß Caban

Ich würde das ja gerne bestätigen oder verneinen, aber:
Sei doch so gut und poste immer auch den Aufgabentext.



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Falls jmd. Lust hat, bitte ich darum sich in #407 einmal den Randteil "Bedingungen für die Konstruktion" anzuschauen.
Irgendwie bin ich doch skeptisch. Also numerisch scheint es hinzuhauen, zumindest bei allen Beispielen, die ich getestet habe.
LinkAlte Olympiadeaufgaben  


Ne, sollte passen. Mir ist jetzt auch klar, wieso.





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Nuramon
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)

Aufgabe 2 - 101242

Es ist der folgende Satz zu beweisen:
Wenn $h$ eine reelle Zahl ist und wenn eine ganzrationale Funktion $f$ vom Grade $n$ mit reellen Koeffizienten keine reellen Nullstellen besitzt, so gilt dasselbe von der ganzrationalen
Funktion $F$, die durch
\[F(x)=f(x)+h\cdot f'(x)+h^2\cdot f''(x)+\ldots+ h^n\cdot f^{(n)}(x)\] definiert ist.
Es ist unmittelbar klar, dass $F$ ebenfalls ein Polynom vom Grade $n$ mit reellen Koeffizienten ist.

Da $f$ keine reellen Nullstellen hat, muss $n$ gerade sein und es muss entweder $\forall x\in \IR: f(x)>0$ oder $\forall x\in \IR: f(x)<0$ gelten. O.B.d.A. gelte $\forall x\in \IR: f(x)>0$.  

Da $F$ den gleichen Grad und den gleichen Leitkoeffizienten wie $f$ hat, hat $F$ ein globales Minimum, d.h. es existiert ein $x_0\in\IR$ mit $\forall x\in \IR: F(x)\geq F(x_0)$. Es genügt daher zu zeigen, dass $F(x_0)>0$ gilt.

Für alle $x\in \IR$ gilt $f(x)=F(x)-hF'(x)$. Das kann man leicht nachrechnen oder es sich abstrakt mit der geometrischen Reihe herleiten (beachte, dass die Ableitung auf der Menge der Polynome vom Grad $\leq n$ ein nilpotenter Operator ist):
\[F= \sum_{k=0}^\infty h^k\frac{\mathrm d^k}{\mathrm dx^k}f = \left(1-h\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^{-1}f.\]
Wegen $F'(x_0)=0$ folgt somit
\[F(x_0)= f(x_0)+hF'(x_0) = f(x_0) >0.\]
\(\endgroup\)


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stpolster
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.421, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-13


Hallo Nuramon,
Danke für die Antwort.
Könntest du bitte einmal prüfen, ob die Aufgabe

Aufgabe 6 - 081246:
Es seien <math>n</math> eine positive ganze Zahl, <math>h</math> eine reelle Zahl und <math>f(x)</math> ein Polynom (ganze rationale Funktion) mit reellen Koeffizienten vom Grade <math>n</math>, das keine reellen Nullstellen besitzt.
Man beweise, dass dann auch das Polynom
\[
F(x) = f(x) + h \cdot f'(x) + h^2 \cdot f''(x) + ... + h^n \cdot f^{(n)}(x)
\] keine reellen Nullstellen hat!

nicht das Gleiche verlangt. Oder sehe ich den Unterschied nicht.
Wenn das die gleiche Aufgabe ist, wäre nach nur zwei Jahren die gleiche Aufgabe gestellt worden.

LG Steffen



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.422, eingetragen 2019-05-13


Ich sehe keinen inhaltlichen Unterschied zwischen den beiden Aufgaben.



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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.423, eingetragen 2019-05-13


Hinweis: 200936 (#407) ist so richtig und kann übernommen werden.
LinkAlte Olympiadeaufgaben
Ich hatte mich geirrt.

____________________
PS: Schlaumeierhinweis.
Bereits das 2. Wort im Dokument (siehe unten), zählt man nicht selbst, sondern lässt es auszählen.
Man benutzt kein LaTeX, nur um einen aufgedonnerten Formeleditor zu haben.
Aber da musst Du halt mal anfangen, Arbeit in die Vorlage zu investieren (#254 etc.).




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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.424, eingetragen 2019-05-14






<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\R}{5} %
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{70} %
\pgfmathsetmacro{\Gamma}{50} %

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\Beta}{180-\Alpha-\Gamma} %
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\b}{2*\R*sin(\Beta)} %
\pgfmathsetmacro{\c}{2*\R*sin(\Gamma)} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
%\pgfmathsetmacro{\Alpha}{acos((\b^2+\c^2-\a^2)/(2*\b*\c))} %
\coordinate[Punkt={below}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={below}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen


% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];


% Annotationen - Dreieck
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\alpha$", thick
] {angle =B--A--C};
\draw pic [angle radius=6mm, %angle eccentricity=1.2,
draw,   "$\gamma$", thick
] {angle =A--C--B};

\draw[thick] (U) --+ (45:\R) node[midway, above]{$R$};


% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-\R cm-15mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*5mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
\begin{scope}[scale=2]
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Gamma}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift+15mm,-12mm)$)}] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\gamma$",
] {angle =R--Q--P};

%% Punkte
\foreach \P in {U}
\draw[fill=black!1] (\P) circle (1.75pt);
\end{scope}


%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=lightgray!50,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{
%$\begin{array}{l l}
%R = \R \text{ cm}  &  \\
%\alpha = \Alpha^\circ    & \\
%\gamma = \Gamma^\circ    & \\ \hline
%\beta = \Beta^\circ    &  \\
%a = \a \text{ cm}  &  \\
%b = \b \text{ cm}  & \\
%c = \c \text{ cm}  &  \\
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};



\end{tikzpicture}
</math>




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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.425, eingetragen 2019-05-15




<math>% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\Alpha}{50} %
\pgfmathsetmacro{\ha}{6} %
\pgfmathsetmacro{\R}{4} %

% Seitenlngen
\pgfmathsetmacro{\a}{2*\R*sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\z}{\ha/(2*\R)} %

\pgfmathsetmacro{\BetaI}{(acos(cos(\Alpha)-2*\z)-\Alpha)/2} %
\pgfmathsetmacro{\GammaI}{180-\Alpha-\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\bI}{\a*sin(\BetaI)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cI}{sqrt(\a^2+\bI^2-2*\a*\bI*cos(\GammaI))} %

\pgfmathsetmacro{\GammaII}{\BetaI} %
\pgfmathsetmacro{\BetaII}{180-\Alpha-\GammaII} %
\pgfmathsetmacro{\bII}{\a*sin(\BetaII)/sin(\Alpha)} %
\pgfmathsetmacro{\cII}{sqrt(\a^2+\bII^2-2*\a*\bI*cos(\GammaII))} %

% Verwendete Werte
%\pgfmathsetmacro{\a}{5.5} %
\pgfmathsetmacro{\b}{\bI} %
\pgfmathsetmacro{\c}{\cI} %

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
Punkt/.style 2 args={  label={[#1]:$#2$}   },
Dreieck/.style={thick},
]

% Dreieckskonstruktion
\coordinate[Punkt={anchor=north east, inner sep=1pt}{A}] (A) at (0,0);
\coordinate[Punkt={anchor=north west,inner sep=1pt}{B}] (B) at (\c,0);
\coordinate[Punkt={above}{C}] (C) at (\Alpha:\b);
\draw[local bounding box=dreieck] (A) -- (B) -- (C) --cycle; % Dreieck zeichnen

% Annotationen - Dreieck
% Umkreis
\pgfmathsetmacro{\s}{0.5*(\a+\b+\c)} %
\pgfmathsetmacro{\F}{sqrt(\s*(\s-\a)*(\s-\b)*(\s-\c))} %

\pgfmathsetmacro{\Da}{\a^2*(\b^2+\c^2-\a^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Db}{\b^2*(\a^2+\c^2-\b^2)} %
\pgfmathsetmacro{\Dc}{\c^2*(\a^2+\b^2-\c^2)} %
\pgfmathsetmacro{\D}{\Da+\Db+\Dc} %
\pgfmathsetmacro{\au}{\Da/\D} %
\pgfmathsetmacro{\bu}{\Db/\D} %
\pgfmathsetmacro{\cu}{\Dc/\D} %

\coordinate[Punkt={below}{U}] (U) at ($\au*(A)+\bu*(B)+\cu*(C)$);

\pgfmathsetmacro{\R}{(\a*\b*\c)/(4*\F)} %
\draw[] (U) circle[radius=\R];

% Radius
\draw[thick] (U) --+ (45:\R) node[midway, below]{$R$};

% Hhe
\draw[thick] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) coordinate[Punkt={right}{H_a}] (Ha) node[midway, right]{$h_a$};
\draw pic [draw, angle radius=3mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =A--Ha--B};

% Winkel
\draw pic [draw, angle radius=4mm, angle eccentricity=1.4, thick,
pic text={$\alpha$}, pic text options={yshift=-2pt},
%"$\alpha$",
] {angle =B--A--C};



%% Punkte
\foreach \P in {U, Ha}
\draw[fill=black!1, scale=2] (\P) circle (1.75pt);



% Annotationen - Aufgabe
\pgfmathsetmacro{\x}{max(\a, \b,\c)} %
\begin{scope}[shift={($(dreieck.north west)+(-0.7*\x cm-3mm,0)$)}]
% Strecken
\foreach[count=\y from 0] \s/\S in {ha/h_a,R/R}{%%
\draw[|-|, yshift=-\y*10mm, local bounding box=strecken] (0,0) -- (\csname \s \endcsname,0) node[midway, above]{$\S$ %= \csname \s \endcsname cm
};}%%
\end{scope}
\begin{scope}[scale=2]
% Winkel
\pgfmathsetmacro{\Winkel}{\Alpha}
\pgfmathsetmacro{\WinkelXShift}{\Winkel > 90 ? -cos(\Winkel) : 0} %
\draw[shift={($(strecken.south west)+(\WinkelXShift,-12mm)$)}] (\Winkel:1)  coordinate(P) -- (0,0) coordinate(Q) -- (1,0) coordinate(R);
\draw pic [draw, angle radius=7mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\alpha$",
] {angle =R--Q--P};
\end{scope}



%% Annotationen - Rechnung
%\tikzset{PosUnten/.style={below=5mm of dreieck, anchor=north,}}
%\tikzset{PosLinks/.style={shift={($(dreieck.north)+(-40mm,0)$)}, anchor=north east,}}
%\node[yshift=-0mm, draw, align=left, fill=none,
%PosUnten,
%%PosLinks,
%]{Beispielwerte: \\
%$\begin{array}{l | l}
%\multicolumn{2}{l}{h_a = \ha \text{ cm}  } \\
%\multicolumn{2}{l}{\alpha = \Alpha^\circ  } \\
%\multicolumn{2}{l}{R = \R \text{ cm} } \\ \hline
%%\multicolumn{2}{l}{h_{b,\max} = \hbMax \text{ cm}  } \\  \hline
%%b = \b \text{ cm}  &  \\
%%h_b = \hb \text{ cm}  &  \\
%%\beta = \Beta^\circ    &  \\ \hline
%\text{1. Lsung:}  &  \text{2. Lsung:}    \\
%a_1 = \a \text{ cm}  &  a_2 = \a \text{ cm}    \\
%b_1 = \bI \text{ cm}  &  b_2 = \bII \text{ cm}    \\
%c_1 = \cI \text{ cm}  &  c_2 = \cII \text{ cm}    \\
%\beta_1 = \BetaI^\circ    & \beta_2 = \BetaII^\circ     \\
%\gamma_1 = \GammaI^\circ   &  \gamma_2 = \GammaII^\circ      \\
%%v\v, w\w,% y\y
%%\multicolumn{2}{l}{s_{a, \text{max}} = \saMax  \text{ cm}} \\
%\end{array}$
%};


\end{tikzpicture}</math>





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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.426, eingetragen 2019-05-15


Und hier noch eine kürzere Alternativlösung zu

Aufgabe 2 - 011222:

Wenn die drei natürlichen Zahlen x,y und z der Bedingung $x^2+y^2=z^2$ genügen, ist ihr Produkt $x\cdot y\cdot z$ stets durch 60 teilbar. Beweisen Sie diese Behauptung.

Beweis: Es genügt offenbar der Nachweis, dass $xyz$ durch jede der drei Zahlen $3,4,5$ teilbar ist, weil daraus wegen deren Teilerfremdheit auch die Teilbarkeit durch deren Produkt $60$ folgt.

Wäre nun $3\nmid xyz$, so würde daraus sofort \[z^2=x^2+y^2\equiv (\pm1)^2+(\pm1)^2=2 \mod 3\] folgen, im Widerspruch dazu, dass 2 quadratischer Nichtrest mod $3$ ist. Genauso wenig kann auch $5\nmid xyz$ gelten, da dies \[x^2\equiv \pm 1\mod 5,\ y^2\equiv \pm 1\mod 5,\ z^2\equiv \pm 1\mod 5\] zur Folge hätte, womit $x^2+y^2\equiv z^2 \mod 5$ ebenfalls nicht gelten kann.

Für den Nachweis von $4\mid xyz$ bemerken wir zunächst, dass die Zahlen $x,y$ nicht beide ungerade sein können, da daraus \[z^2\equiv x^2+y^2\equiv (\pm1)^2+(\pm1)^2=2 \mod 4\] folgen würde, im Widerspruch dazu, dass 2 ein quadratischer Nichtrest mod $4$ ist. Ist also dann o.B.d.A. $x$ gerade, und damit $y$ und $z$ ungerade, so folgt dann daraus und der Tatsache, dass $u^2\equiv 1\mod 8$ für ein beliebiges ungerades $u$ gilt, dass \[x^2= z^2-y^2\equiv 1-1 =0 \mod 8\] d.h., $x$ muss wie behauptet sogar durch $4$ teilbar sein.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.424 begonnen.]



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Kuestenkind
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.427, eingetragen 2019-05-15


Huhu,



ich habe eine Anmerkung so der Lösung von Manuela Kugel zu dieser Aufgabe. Sie schreibt:



Das stimmt so einfach nicht. Zunächst mal ist das Relationszeichen verkehrt herum (der Kosinus ist schließlich konkav auf \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)), zum anderen ist der Kosinus konvex auf \(\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\), d.h. die Jensensche Ungleichung lässt sich nur anwenden, falls es ein spitzwinkliges Dreieck ist. Das steht so aber nicht in der Aufgabe.

Gruß,

Küstenkind

edit: Die 180° in der Klammer sind natürlich auch Blödsinn!



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.428, eingetragen 2019-05-15

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)

Aufgabe 140922
Es sei <math>\triangle ABC</math> ein spitzwinkliges Dreieck, <math>H</math> sei der Schnittpunkt seiner Höhen und <math>D, E, F</math> deren Fußpunkte,
wobei <math>D</math> auf <math>BC</math>, <math>E</math> auf <math>CA</math> und <math>F</math> auf <math>AB</math> liegen mögen.
Man beweise, dass dann <math>AH \cdot HD = BH \cdot HE = CH \cdot HF</math> gilt.

<math>
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (1,2.5);
\node at (A) [below left]{$A$};
\node at (B) [below right]{$B$};
\node at (C) [above]{$C$};
\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
\draw[name path=ha] (A) -- ($(B)!(A)!(C)$) node (D)[above right]{$D$};
\draw[name path=hb] (B) -- ($(A)!(B)!(C)$) node (E)[above left]{$E$};
\node (H) at (intersection of A--D and B--E) [below]{$H$};

\draw (A) arc (180:0:2);
\end{tikzpicture}
</math>
Da $\sphericalangle AEB = 90^\circ = \sphericalangle ADB$ gilt, ist das Viereck $ABDE$ nach Umfangswinkelsatz ein Sehnenviereck.
Nach Sehnensatz gilt daher $AH \cdot HD = BH \cdot HE$.
Die andere Gleichung folgt analog.
\(\endgroup\)


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HyperPlot
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.429, eingetragen 2019-05-16


@stolpster

Da Du den Code -wie gewohnt- sofort übernimmst (das Einpflegen später), übernimmtst Du auch sämtliche Typos, Lapsusse,....


Zum anderen setzt Du die formschöne Nummerierung (1), (2), ...
\renewcommand\labelenumi{\texttt{(\theenumi)}}
% kann auch lokal innerhalb einer Gruppe verwendet werden

auf Default 1., 2., 3.,... zurück



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.430, eingetragen 2019-05-17


Aufgabe 101246
Definition:  Eine  Menge M von  Elementen u,v,w,...heißt  genau  dann  eine  Gruppe bezüglich der algebraischen Operation A, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
a) Jedem  geordneten  Paar  [u,v]  von  Elementen  aus M ist  vermöge  der  Operation A ein Element w aus M zugeordnet (man schreibt u◦v=w).
b) Die algebraische Operation A ist assoziativ, d.h., für alle Elemente u,v,w aus M gilt: (u◦v)◦w=u◦(v◦w).
c) Zu je zwei Elementen u und v aus M existiert mindestens ein Element x aus M, so dass u◦x=v gilt, und mindestens ein Element y aus M, so dass y◦u=v gilt.

Es  sei  nun P die  Menge  aller  Polynome  ersten  Grades f(x)=a0+a1x,  wobei a0,a1 rationale Zahlen sind und a1 != 0 gilt. Ferner sei in P eine algebraische Operation A wie folgt definiert: Sind f(x) und g(x) Polynome aus P, so ist f(x)◦g(x)=g[f(x)]. Es ist zu entscheiden, ob P eine Gruppe bezüglich A ist.

Lösung:
Bei $P$ mit der Operation $A$ handelt es sich um eine Gruppe. Zu zeigen sind die Eigenschaften a, b und c.

a) Seien $f(x)=a_0+a_1x$ und $g(x)=b_0+b_1x$ Elemente aus $P$. Dann ist $f(x)\circ g(x) = g(f(x)) = b_0+b_1(a_0+a_1x) = b_0+b_1a_0+b_1a_1x = c_0+c_1x$ mit $c_0= b_0+b_1a_0$ und $c_1=b_1a_1$. Da $a_1,b_1\neq0$, ist auch $c_1\neq0$ und somit $f(x)\circ g(x)=c_0+c_1x$ ein Element aus $P$.

b) Seien $f(x)$, $g(x)$ und  $h(x)$ Elemente aus $P$. Dann ist $(f(x)\circ g(x))\circ h(x) = g(f(x))\circ h(x) = h(g(f(x))) = f(x)\circ h(g(x)) = f(x)\circ(g(x)\circ h(x))$.

c) Seien $f(x)=a_0+a_1x$ und $g(x)=b_0+b_1x$ Elemente aus $P$. Definiere dann $h(x) = b_0-\frac{a_0b_1}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}x$. Da $a_1,b_1\neq0$, ist $h(x)$ ein Element aus $P$, und es ist $f(x)\circ h(x) = h(f(x)) =  b_0-\frac{a_0b_1}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}( a_0+a_1x) =  b_0+b_1x = g(x)$. Sei weiterhin $k(x) = \frac{b_0-a_0}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}x$. $k(x)$ ist ebenfalls ein Element aus $P$, und es ist $k(x)\circ f(x) = f(k(x)) = a_0+a_1(\frac{b_0-a_0}{a_1}+\frac{b_1}{a_1}x) = b_0+b_1x=g(x)$.



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.431, eingetragen 2019-05-17




Die Antwort zu b (und damit auch zu a) lautet ja.

A wählt \(a_1=a_3=0\) und \(a_2=a_4=1\). Das Gleichungssystem lautet dann
(1) \(x=b_1\)
(2) \(y+b_2z=0\)
(3) \(b_3x+z=b_4\)

Dieses Gleichungssystem besitzt die eindeutige und ganzzahlige Lösung
\(x=b_1\),
\(y=b_1b_2b_3-b_2b_4\),
\(z=b_4-b_1b_3\).



 



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StrgAltEntf
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.432, eingetragen 2019-05-18


Guten Morgen!

101241

Lösung:
Mit (*) bezeichnen wir im folgenden die Ungleichung \(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}>a\).
 
Wir betrachten zunächst den Fall, dass \(a=0\). In diesem Fall sind die beiden Wurzeln nur für \(x=0\) reell, (*) ist dann aber nicht erfüllt.

Für \(a<0\) können für keinen Wert \(x\) beide Wurzeln reell sein, da ansonsten \(x\geq-a\) und \(x\leq a\) gelten müsste.

Sei von nun an \(a>0\).

Dann sind genau für alle \(x\in[-a,a]\) beide Wurzeln reell.

Quadrieren von (*) ist eine Äquivalenzumformung, da beide Seiten positiv sind; (*) ist also äquivalent zu
\(a+x+2\sqrt{a^2-x^2}+a-x>a^2\)
\(\iff\)
(**) \(2\sqrt{a^2-x^2}>a^2-2a\)

Für \(0<a<2\) ist \(a^2-2a<0\), (**) also für alle \(x\in[-a,a]\) erfüllt.

Es verbleibt der Fall \(a\geq2\).

Quadrieren von (**) ist wieder eine Äquivalenzumformung, da beide Seiten \(\geq0\) sind; (**) ist also äquivalent zu
\(4(a^2-x^2)>a^4-4a^3+4a^2\)
\(\iff\)
(***) \(4x^2<4a^3-a^4=a^2a(4-a)\).

Falls \(a\geq4\), ist die rechte Seite von (***) \(\leq0\), (***) kann also von keinem \(x\) erfüllt werden.

Schließlich sei nun \(2\leq a<4\).

Dann ist (***) äquivalent zu \(|x|<\frac12a\sqrt{a(4-a)}\). Da
\(\frac12a\sqrt{a(4-a)}\leq a\iff a(4-a)\leq4\) und letzteres für alle \(a\in[2,4)\) erfüllt ist, ist das Intervall \(I=\left(-\frac12a\sqrt{a(4-a)},\frac12a\sqrt{a(4-a)}\right)\) im intervall \([-a,a]\) enthalten und somit erfüllen alle \(x\in I\) die Ungleichung (***).

Zusammenfassend:
- \(a<0\): Für kein \(x\) sind beide Wurzeln reell und somit ist (*) für kein \(x\) erfüllt.
- \(a=0\): Genau für \(x=0\) sind beide Wurzeln reell, aber für kein \(x\) ist (*) erfüllt.
- \(0<a<2\): Genau für \(x\in[-a,a]\) sind beide Wurzeln reell und ist (*) erfüllt.
- \(2\leq a<4\): Genau für \(x\in[-a,a]\) sind beide Wurzeln reell, und genau für \(x\in\left(-\frac12a\sqrt{a(4-a)},\frac12a\sqrt{a(4-a)}\right)\) ist zusätzlich (*) erfüllt.
- \(a\geq4\): Genau für \(x\in[-a,a]\) sind beide Wurzeln reell, aber für kein \(x\) ist (*) erfüllt.



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Nuramon
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.433, eingetragen 2019-05-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Ein kleiner Fehler:
2019-05-18 13:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 432 schreibt:
Für \(a<0\) sind die beiden Wurzeln für alle Werte \(x\) im Intervall \([a,-a]\) reell und insbesondere \(\geq0\). (*) ist also für alle diese \(x\) erfüllt.
Die Wurzeln sind auch in diesem Fall für $x\in [-a,a]$ definiert, nur ist das Intervall für negative $a$ halt leer.
\(\endgroup\)


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StrgAltEntf
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
Hallo Nuramon,

2019-05-18 14:22 - Nuramon in Beitrag No. 433 schreibt:
Ein kleiner Fehler:
2019-05-18 13:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 432 schreibt:
Für \(a<0\) sind die beiden Wurzeln für alle Werte \(x\) im Intervall \([a,-a]\) reell und insbesondere \(\geq0\). (*) ist also für alle diese \(x\) erfüllt.
Die Wurzeln sind auch in diesem Fall für $x\in [-a,a]$ definiert, nur ist das Intervall für negative $a$ halt leer.

Ich verstehe deinen Einwand nicht und warum du das als Fehler ansiehst. Fehlt dir hier ein "genau", so wie ich es in der Zusammenfassung formuliert habe?
\(\endgroup\)


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Nuramon
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\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-04-22 08:33 - stpolster im Themenstart schreibt:
Aufgabe 140924:
<math>AB</math> sei eine in der Ebene <math>\epsilon</math> gegebene Strecke der Länge <math>a</math>. In <math>\epsilon</math> sei <math>g</math> die Gerade durch <math>A</math>, die senkrecht zu
<math>AB</math> ist.
In <math>B</math> sei die Senkrechte <math>s</math> auf die Ebene <math>\epsilon</math> errichtet. Schließlich seien <math>C</math> ein von <math>A</math> verschiedener
Punkt auf <math>g</math> und <math>D</math> ein von <math>B</math> verschiedener Punkt auf <math>s</math>.
a) Man beweise, dass es eine Kugel gibt, die durch die Punkte <math>A, B, C</math> und <math>D</math> geht.
b) Man berechne den Radius einer solchen Kugel für den Fall, dass <math>CA = a \sqrt{2}</math> und <math>BD = a \sqrt{3}</math> gilt.

<math>
\begin{tikzpicture}
\coordinate[label=below left:{$A$}] (A) at (0,0,0);
\coordinate[label=below right:{$B$}] (B) at (3,0,0);
\coordinate[label=above left:{$C$}] (C) at (0,2,0);
\coordinate[label=above right:{$D$}] (D) at (3,0,-2.5);
\coordinate[label=above:{$M$}] (M) at ($(C)!0.5!(D)$);
\draw[very thick,->] (A)--(B) node[midway, below]{$x$};
\draw[very thick,->] (A)--(C)node[midway, left]{$y$};
\draw[very thick,->] (B)--(D)node[midway, right]{$z$};
\draw (B)--(C)--(D);
\draw[dotted] (A)--(D);
\draw[dashed] (M)--(B)
(M)--(A);
\end{tikzpicture}
</math>
Behauptung: Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $CD$ hat von den Punkten $A,B,C,D$ jeweils den gleichen Abstand und kann somit als Mittelpunkt der gesuchten Kugel gewählt werden.
Beweis: Die Vektoren $x:= B-A, y:= C-A, z:= D-B$ stehen per Definition paarweise aufeinander senkrecht.
Es gilt:
\[\begin{align*}
B&=A+x,\\
C&=A+y,\\
D&=B+z=A+x+z,\\
M&=\frac 12(C+D)=A+\frac{x+y+z}2.
\end{align*}\] Somit folgt
\[\begin{align*}
M-A &= \frac{x+y+z}2,\\
M-B &= \frac{-x+y+z}2,\\
M-C &= \frac{x-y+z}2\\
M-D &= \frac{-x+y-z}2
\end{align*}\] Wegen der Orthogonalität von $x,y,z$ folgt
\[\left\|\frac{\pm x\pm y\pm z}2\right\| = \frac 12\sqrt{\|x\|^2+\|y\|^2+\|z\|^2},\] was die Behauptung impliziert.

b) In diesem Fall ist $\|x\|=a, \|y\|=a\sqrt 2, \|z\|=a\sqrt 3$. Der Radius $r$ der Kugel ist somit
\[r=\frac 12 \sqrt{a^2+2a^2+3a^2}= \frac a2\sqrt 6\]
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.433 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.436, eingetragen 2019-05-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-05-18 14:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 434 schreibt:
Hallo Nuramon,

2019-05-18 14:22 - Nuramon in Beitrag No. 433 schreibt:
Ein kleiner Fehler:
2019-05-18 13:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 432 schreibt:
Für \(a<0\) sind die beiden Wurzeln für alle Werte \(x\) im Intervall \([a,-a]\) reell und insbesondere \(\geq0\). (*) ist also für alle diese \(x\) erfüllt.
Die Wurzeln sind auch in diesem Fall für $x\in [-a,a]$ definiert, nur ist das Intervall für negative $a$ halt leer.

Ich verstehe deinen Einwand nicht und warum du das als Fehler ansiehst. Fehlt dir hier ein "genau", so wie ich es in der Zusammenfassung formuliert habe?
Der Einwand ist, dass du aus irgendeinem Grund das Intervall $[a,-a]$ anstatt das Intervall $[-a,a]$ betrachtest, und damit fälschlicherweise schließt, dass es für negative $a$ Zahlen $x$ gibt, die die Ungleichung erfüllen.
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.437, eingetragen 2019-05-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\)
2019-05-18 15:35 - Nuramon in Beitrag No. 436 schreibt:
2019-05-18 14:31 - StrgAltEntf in Beitrag No. 434 schreibt:
Hallo Nuramon,

2019-05-18 14:22 - Nuramon in Beitrag No. 433 schreibt:
Ein kleiner Fehler:
2019-05-18 13:06 - StrgAltEntf in Beitrag No. 432 schreibt:
Für \(a<0\) sind die beiden Wurzeln für alle Werte \(x\) im Intervall \([a,-a]\) reell und insbesondere \(\geq0\). (*) ist also für alle diese \(x\) erfüllt.
Die Wurzeln sind auch in diesem Fall für $x\in [-a,a]$ definiert, nur ist das Intervall für negative $a$ halt leer.

Ich verstehe deinen Einwand nicht und warum du das als Fehler ansiehst. Fehlt dir hier ein "genau", so wie ich es in der Zusammenfassung formuliert habe?
Der Einwand ist, dass du aus irgendeinem Grund das Intervall $[a,-a]$ anstatt das Intervall $[-a,a]$ betrachtest, und damit fälschlicherweise schließt, dass es für negative $a$ Zahlen $x$ gibt, die die Ungleichung erfüllen.
Ah, jetzt habe ich begriffen, danke! Das war dumm, habe es oben verbessert. Bist du nun einverstanden?

@stpolster: Kannst du das bitte übernehmen?
\(\endgroup\)


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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.438, eingetragen 2019-05-18


@StrgAltEntf: Ja, jetzt passt es.



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Hallo,
bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht ganz die Aufgabenstellung.
101235

Ist hier gemeint, dass P der Mittelpunkt der Strecke \(P_1P_2\) ist?

Und: Was soll die Anmerkung? Von einer Geraden, die parallel zu einer Ebene liegt, ist doch in der Aufgabe gar keine Rede.



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