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Universität/Hochschule Gewichtete Kugeloberfläche
salamander
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-23


Hallo,
die Oberfläche eines Kugelausschnittes soll mit $\sin(\theta)\cdot\cos(\varphi)$ gewichtet werden. Das Ziel ist, dass z. B. ein Flächenanteile in $e_x$ Richtung mit Gewicht $1$ in die Flächenberechnung eingeht, wärend ein Flächenanteil in $e_y$ Richtung mit $0$ gewichtet wird.

Der naive Ansatz:
$$\intop_{\varphi}\intop_\theta \sin(\theta)\cdot\cos(\varphi) dA = \intop_{\varphi}\intop_\theta r^2\sin^2(\theta)\cos(\varphi)d\varphi d\theta$$
scheint nicht korrekt zu sein. Wie gehe ich in so einem Fall vor?

Vielen Dank



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-23


Hallo salamander,

ich würde den Ansatz für korrekt halten. Was bringt dich dazu, ihn für falsch zu halten? Freilich kommt bei Integration über die gesamte Kugeloberfläche Null heraus, da die "westliche Hemisphäre" wegen des Gewichtungsfaktors $\cos(\varphi)$ genau den negativen Beitrag der "östlichen Hemisphäre" liefert.

Gruß shadowking


-----------------
Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe




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salamander
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Hallow shadowking,

vielen Dank für deine Antwort. Nun ich habe mir folgenden Test in Matlab geschrieben (funktioniert leider nicht in octave, da die sym toolbox mit dem Integral nicht zurecht kommt):

t = sym('t') %theta
p = sym('p') %phi

f = sin(t*pi/180) * sin(t*pi/180) * cos(p*pi/180)
double(int(int(f,p,-10,10),t,80,100)) %1
double(int(int(f,p,-20,0),t,80,100)) %2
double(int(int(f,p,0,20),t,80,100)) %3
double(int(int(f,p,-10,10),t,70,90)) %4

Im Fall 1) integriere ich über einen Bereich von +-10 Grad in $\theta$ und $\varphi$-Richtung.
In den Fällen 2-4) wird dieser Bereich jeweils in einer Richtung um 20 Grad verschoben.
Erwarten würde ich, dass das Ergebnis von 1) größer als jene von 2)-4) ausfällt und, dass die Ergebnisse 2) - 4) identisch sind. Jedoch erhalte ich:

1) $\approx 394$
2-3) $\approx 388$
4) $\approx 382$


Anscheinend habe ich hier irgendwie einen Denkfehler...




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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-23


So wie es aussieht, erfüllen deine Berechnungen doch diese Bedingungen. Wo liegt also dein Problem?



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salamander
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Leider nicht, denn die zweite Bedingung (Fall 2)-4) liefern identisches Ergebnis) wird nciht erfüllt.



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zippy
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-23


2019-04-23 23:20 - shadowking in Beitrag No. 3 schreibt:
So wie es aussieht, erfüllen deine Berechnungen doch diese Bedingungen.

Schau doch mal etwas genauer hin:

2019-04-23 21:08 - salamander in Beitrag No. 2 schreibt:
Erwarten würde ich, dass ... die Ergebnisse 2) - 4) identisch sind.

Wegen $388\ne382$ ist diese Bedingung nicht erfüllt.

2019-04-23 21:08 - salamander in Beitrag No. 2 schreibt:
Anscheinend habe ich hier irgendwie einen Denkfehler...

Wie kommst du auf die Idee, dass das Ergebnis von 4) mit denen von 2) oder 3) übereinstimmen sollte?

--zippy



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salamander
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-23


Ich erwarte eine Übereinstimmung, da die um 20 Grad in $\varphi$ (Fall 2) bzw. $\theta$ Richtung (Fall 4) verschobenen Flächen mit einer Rotation um den $e_x$ Vektor um 90 Grad ineinander übergeführt werden können. Entspricht sollte sich in beiden Fällen die Gewichtung mit dem "$e_x$-Anteil" gleich auswirken.



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shadowking
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-23


Hm, das habe ich wohl übersehen. Tut mir leid.

Warum meinst du, dass die Ergebnisse 2) und 3) (die aus Symmetriegründen übereinstimmen müssen) zugleich auch mit dem aus 4) zusammenfallen sollen? Gegenüber 1) weichen die Integrationsgebiete bei 2) und 3) in Richtung des Längengrades, 4) aber in Richtung des Breitengrades ab, was beides das Ergebnis der Integration mindert – aber diese Minderung fällt in Richtung des Breitengrades stärker aus, da sich ja nicht nur die Gewichtsfaktoren, sondern auch die Größe des Integrationsgebietes ändert (deshalb geht der Faktor $\sin(\frac{\pi\cdot \theta}{180})$ quadratisch, $\cos(\frac{\pi\cdot \varphi}{180})$ aber nur linear in die Rechnung ein).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]



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