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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Was bedeutet die Stammfunktion?
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Universität/Hochschule Was bedeutet die Stammfunktion?
mhipp
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.08.2018
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-24 11:39


Hi,
wir betrachtet die Funktion f.
Deren Ableitung f' am Punkt x gibt die Steigung von f an x an.
Aber was gibt die Stammfunktion F an? Klar - sie wird verwendet, um Flächen zu bestimmen, aber was sagst sie explizit für die Funtion f bei x aus?

LG
M. Hipp



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Kitaktus
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 5826
Aus: Niedersachsen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-24 11:50


Die Stammfunktion F einer Funktion f ist die Funktion, deren Ableitung gerade f ergibt.

Man kann sich das mit einem Beispiel aus der Physik verdeutlichen.
Die Momentan-Geschwindigkeit v(t) gibt ab, welche Wegstrecke pro Zeiteinheit man gerade zum Zeitpunkt t zurücklegt.
Die Stammfunktion von v(t) ist s(t), die bis zum Zeitpunkt t zurückgelegte Strecke. Die Ableitung der zurückgelegten Strecke ist gerade (Weg durch Zeit gleich Geschwindigkeit) die Momentangeschwindigkeit.

An dem Beispiel sieht man auch, dass die Stammfunktion nicht eindeutig ist. Aus der Geschwindigkeit kann man ermitteln, welche Strecke man in der letzten Stunde zurückgelegt hat, oder im letzten Tag.
Die Frage, welche Strecke man "insgesamt" zurückgelegt hat, kann man nur beantworten, wenn man einen Startpunkt festlegt.



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Diophant
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 925
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-24 11:52

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo mhipp,

die Integralfunktion

\[J(x)=\int_a^x{f(x) dx}=F(x)-F(a)\]
summiert alle Funktionswerte im Intervall \([a,x]\) auf. Und diese 'Summe' lässt sich eben auf unterschiedlichste Art und Weise anwenden bzw. interpretieren.

- Aufsummierte Linienelemente ergeben eine Fläche.
- Aufsummierte Geschwindigkeiten ergeben einen zurückgelegten Weg
- Aufsummierte Flächen ergeben ein Volumen

etc.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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mhipp
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 165
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-24 12:38


Ja klar, aber was sagt mir die Stammfunktion für einen Punkt x aus? Gibt es überhaupt eine solche Aussage?
Nehmen wir die Funktion x^2 + 3x - 4.
Die Ableitungsfubktion 2x + 3 gibt für jeden Punkt x die Steigung von x^2 + 3x - 4 bei x an.
Aber was gibt die Stammfunktion 0,33x^3 + 1,5x^2 - 4x für jeden Punkt x der ursprünglichen Funktion an?
Klar, die Differenz zweiter Stammfunktionen gibt uns eine Fläche und die Ableitung der Stammfunktion ist die Funktion, aber trifft die Stammfunktion eine Aussage über die Funktion beim Punkt x wie es die Ableitung tut, deren Aussage die Steigung ist?


Lg



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Diophant
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 925
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-24 12:49


Hallo,

2019-04-24 12:38 - mhipp in Beitrag No. 3 schreibt:
Klar, die Differenz zweiter Stammfunktionen gibt uns eine Fläche und die Ableitung der Stammfunktion ist die Funktion, aber trifft die Stammfunktion eine Aussage über die Funktion beim Punkt x wie es die Ableitung tut, deren Aussage die Steigung ist?

Nein, das tut sie nicht.

Du versuchst hier ja im Prinzip, Begrifflichkeiten bzw. Analogien für den Hauptsatz der Analysis zu finden. Das geht IMHO einfacher, wenn man ganze Funktionen betrachtet als nur isolierte Stellen.


Gruß, Diophant



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jacha2
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Dabei seit: 28.05.2013
Mitteilungen: 911
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-24 15:51


Salut,

um Deine Frage noch etwas anders zu beantworten:
2019-04-24 12:38 - mhipp in Beitrag No. 3 schreibt:
Ja klar, aber was sagt mir die Stammfunktion für einen Punkt x aus? Gibt es überhaupt eine solche Aussage?
Nehmen wir die Funktion x^2 + 3x - 4.
Die Ableitungsfubktion 2x + 3 gibt für jeden Punkt x die Steigung von x^2 + 3x - 4 bei x an.
Aber was gibt die Stammfunktion 0,33x^3 + 1,5x^2 - 4x für jeden Punkt x der ursprünglichen Funktion an?
Klar, die Differenz zweiter Stammfunktionen gibt uns eine Fläche und die Ableitung der Stammfunktion ist die Funktion, aber trifft die Stammfunktion eine Aussage über die Funktion beim Punkt x wie es die Ableitung tut, deren Aussage die Steigung ist?...
Die von Dir genannte f(x)=x³/3 + 3x²/2 - 4x sagt nichts über den Punkt x aus, da auch die 1. Ableitung von g(x)=f(x)+konst Deine f(x) ergibt. Und weil den Punkt (x, f(x)) obendrein andere g(x) passieren können.

Differentiation ist sur-, Integration injektiv.

Adieu



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trunx
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Berlin
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-24 17:58


es gibt nicht DIE Stammfunktion, sondern wegen der Integrationskonstanten immer eine Schar von Stammfunktionen. Daher ist der genaue Wert an der Stelle x (so die Stammfunktion dort überhaupt definiert ist) unbekannt und kann deshalb auch keine Bedeutung haben. Erst wenn aus dem unbestimmten Integral ein bestimmtes, also eine Zahl wird, dann kann dieser Wert eine Bedeutung haben. Z.B. ein Flächeninhalt oder eine Strecke oder dergleichen.

bye trunx


-----------------
das problem des menschen ist nicht, dass er fleisch von tieren isst, sondern dass er für sein wachstum KRIEG gegen alle anderen lebensformen führt. dieser krieg nennt sich (land)wirtschaft, seine ideologische legitimation kultur.



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mhipp
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 30.08.2018
Mitteilungen: 165
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-04-25 08:44


Ok danke :-)



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Benutzertheo
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 08.07.2018
Mitteilungen: 22
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-04-25 10:55


Hallo,

die Stammfunktion gibt die Fläche einer Funktion zu x Achse ab einem bestimmten x Wert abhängig von der Konstante.

Grüße



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