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Informatik » Programmieren » nichtlineare Gleichungen lösen (ggf. in R)
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Beruf nichtlineare Gleichungen lösen (ggf. in R)
mrdjv2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.07.2003
Mitteilungen: 960
Aus: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-25


Hallo zusammen,

ich habe folgende Gleichung:

fed-Code einblenden

Nun würde ich gerne Parameter A, B und C finden, so dass gilt:
fed-Code einblenden

Es muss nur näherungsweise passen. Ich würde das Problem gerne in R lösen, weiß aber nicht, wie das geht. Google hat mir auch nur sehr bedingt weitergeholfen. Ich bin auf das Package nleqslv gestoßen, aber bin offenbar nicht in der Lage, es richtig zu bedienen.

Hat jemand einen Tipp für mich?

Danke im Voraus und Gruß
Daniel




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Never underestimate the impossible!



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hgseib
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.04.2019
Mitteilungen: 142
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-04-25


Hallo

ich habe die Funktion mal in Geogebra (ein Programm für Geometrie) eingegeben.

Nun ist das so: du kannst für B und C jeden beliebigen Wert einsetzen.
Und über A (als Schieber) den erzeugten Bogen in y-Richtung verschieben und damit jedesmal die drei gewünschten x-Nullstellen erreichen.

Also für deine Aufgabe gibt es unendlich viele Lösungen. Du musst da vermutlich noch weitere Bedingungen definieren?

mfg

P.S.
Negatives C kannst du ausschliessen.



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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 435
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-04-25


Hallo

ich denke, dass es eine Lösung in R nicht geben kann. Wie lautet die Orginalaufgabe?

Gruß Caban

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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gonz
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Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 3148
Aus: Harz
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-04-25


Hallo mrdjv2,

Du kannst das Gleichungssystem auch auf ein System in einer Variablen transformieren, indem du den Funtionsterm in die folgende Gleichung einsetzt, dabei sollten sich die Variablen A und B hinwegheben und du bekommst eine Gleichung in C. Die lässt sich ggf. einfacher nummerisch lösen:

fed-Code einblenden

Grüße aus dem Harz
Gerhard/Gonz

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]


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- das alles muss weg. (Meister Eckhart von Hochheim)



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shadowking
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Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3439
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-04-25


Hallo mrdjv,

versuche es doch mit dem Newton-Gauß-Verfahren für nichtlineare Systeme. Das ist eine Verallgemeinerung des Newton-Verfahrens zur Nullstellenbestimmung auf Situationen mit mehr als einer Variablen. Zum Starten braucht man halbwegs plausible Näherungswerte für A, B und C. Wo im Newton-Verfahren die Ableitung im Nenner erscheint, benötigt man hier allerdings die Inverse der Jacobimatrix für die nichtlineare Abbildung $f: \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^3,\,f(A,B,C)=\left(\matrix{A-B\mathrm{e}^{-\frac{1}{C}}-8\\A-B\mathrm{e}^{-\frac{30}{C}}-100\\A-B\mathrm{e}^{-\frac{365}{C}}-1070}\right)$, so diese denn existiert.

Gruß shadowking

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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Niemand ist hoffnungsloser versklavt als der, der fälschlich glaubt frei zu sein.
- Johann Wolfgang von Goethe




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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 435
Aus: Brennpunkt einer Parabel
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-04-25


Hallo

Mit Verwendung von Potenzreihen bin ich auf die Näherung C=2100,710
B=6713,858 und A=6718,663 gekommen.

Gruß caban



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shadowking
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 04.09.2003
Mitteilungen: 3439
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-04-25


Meine Methode ist doch nicht optimal; die Determinante der Jacobimatrix liegt dafür zu nahe an Null. Man wende statt dessen lieber das von gonz geschilderte Verfahren an, um C numerisch zu bestimmen und dann sukzessive B und A zu erhalten.

Ich erhalte so die Lösung

C = 1967,0058...
B = 6289,4661...
A = 6294,2695...,

mit der alle geforderten Werte in vierstelliger Genauigkeit getroffen werden.

Gruß shadowking



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zippy
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Mitteilungen: 578
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-04-26


2019-04-25 20:21 - mrdjv2 im Themenstart schreibt:
Ich würde das Problem gerne in R lösen, weiß aber nicht, wie das geht.

Diese Frage scheint trotz der vielen Beiträge unbeantwortet geblieben zu sein:
R
> f <- function(t, x) { x[1] - x[2] * exp(-t/x[3]) }
 
> eq <- function(x) { c(f(1, x) - 8,
                        f(30, x) - 100,
                        f(365,x) - 1070) }
 
> nleqslv::nleqslv(c(1, 1, 1), eq, control=list(allowSingular=TRUE))
$x
[1] 6294.270 6289.466 1967.006



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mrdjv2
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.07.2003
Mitteilungen: 960
Aus: Aachen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-06-06


Sorry für die späte Antwort von mir.

Zippys Beitrag war genau, was ich gesucht habe.

Vielen Dank für die Posts hier.


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
MontyPythagoras
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 1956
Aus: Hattingen
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-06-06


Hallo mrdjv2,
naja, schön ist anders. Das gute alte Newton-Verfahren führt auch hier zum Erfolg:
$$(1)\qquad A-Be^{-\frac1C}=8$$$$(2)\qquad A-Be^{-\frac{30}C}=100$$$$(3)\qquad A-Be^{-\frac{365}C}=1070$$Gleichung (2) minus (1):
$$(4)\qquad B\left(e^{-\frac{1}C}-e^{-\frac{30}C}\right)=92$$Gleichung (3) minus (1):
$$(5)\qquad B\left(e^{-\frac{1}C}-e^{-\frac{365}C}\right)=1062$$(5) geteilt durch (4):
$$\frac{e^{-\frac{1}C}-e^{-\frac{365}C}}{e^{-\frac{1}C}-e^{-\frac{30}C}}=\frac{1062}{92}=\frac{531}{46}$$Mit $e^{-\frac1C}$ kürzen:
$$\frac{1-e^{-\frac{364}C}}{1-e^{-\frac{29}C}}=\frac{531}{46}$$Substituiere $e^{-\frac{29}C}=x$:
$$\frac{1-x^{\frac{364}{29}}}{1-x}=\frac{531}{46}$$$$46-46x^{\frac{364}{29}}=531-531x$$$$(6)\qquad 531x-46x^{\frac{364}{29}}-485=0$$Diese Gleichung kann man mit Newton recht einfach lösen:
$$x_{n+1}=x_n-\frac{531x_n-46x_n^{\frac{364}{29}}-485}{531-46\cdot\frac{364}{29}x_n^{\frac{364}{29}-1}}$$$$x_{n+1}=\frac{531x_n-46\cdot\frac{364}{29}x_n^{\frac{364}{29}}-531x_n+46x_n^{\frac{364}{29}}+485}{531-46\cdot\frac{364}{29}x_n^{\frac{364}{29}-1}}$$$$x_{n+1}=\frac{485-46\cdot\frac{335}{29}x_n^{\frac{364}{29}}}{531-46\cdot\frac{364}{29}x_n^{\frac{335}{29}}}$$Mit 29 erweitern:
$$x_{n+1}=\frac{485\cdot29-46\cdot335\;x_n^{\frac{364}{29}}}{531\cdot29-46\cdot364\;x_n^{\frac{335}{29}}}$$Der gesuchte Wert liegt knapp unter 1, $x=1$ ist eine triviale Lösung. Daher sollte man mit einem Startwert unter 1 beginnen, z.B. $x=0,9$, aber null tut's hier auch. Dann erhält man
$$x=0,98536492908144308160374506...$$Und damit rückwärts:
$$C=1967,00584467708963185876091477...$$$$B=6289,46617327038637437246977807...$$$$A=6294,26950371290717851825008219...$$
Ciao,

Thomas



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