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Physik » Elektrodynamik » Makroskopische Polarisierung einer Doppelschicht
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Universität/Hochschule Makroskopische Polarisierung einer Doppelschicht
PhysVIE
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-04-28


Liebe Community!

Ich grübel schon seit längerem über folgendes Problem nach und komme leider
auf keinen grünen Zweig! Es wäre sehr lieb von euch, wenn ihr mir vielleicht helfen könntet; sprich was wären eure Ansätze!

Danke euch schonmal im Voraus!

Hier die Frage:

Betrachte einen Kondensator bestehend aus einem Double-Layer (siehe Abbildung). Der eine Layer ist ein lineares Dielektrikum mit einer dielektrischen Konstante \(\epsilon_l\). Der andere Layer ist ein Elektret mit einer dielektrischen Konstante \(\epsilon_p\) und einer permanenten Polarisierung \(P_p\).

Bestimme die makroskopische Polarisierung \(\overline{P_p}\) des Double-Layers.

Abbildung:


 



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PhysVIE
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-02


Hat jemand eine Idee? Ich würde mich über jede Idee bzw. Ansatz freuen! Danke :)



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-03


Hallo PhysVIE,
herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Wie hängen die elektrischen Feldstärken $\vec{E}_m$ mit den Verschiebungsdichten $\vec{D}_m$ in den beiden Medien $m\in\{l,p\}$ zusammen?
Was passiert an der Grenzfläche zwischen den beiden Dielektrika? Welcher Zusammenhang besteht zwischen den elektrischen Feldstärken $\vec{E}_l, \vec{E}_p$ und der Spannung $V$?

Ich hoffe, das bringt Dich auf Ideen,
Roland



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PhysVIE
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-04


Hallo rlk,

Vielen Dank für deine Antwort und deine Hilfe!

Hier mal meine Anmerkungen:

Die elektrische Flussdichte

$$
\begin{equation}
D = \overline{P_{i}}+ \overline{P_{p}}
\end{equation}$$

des gesamten Double-Layers ist eine Summe aus einer Polarisierung \(P_{i}\), welche von einem externen elektrischen Feld \(E = \frac{V}{t}\) induziert wird und der permanenten Polarisierung \(P_{p}\).

Es gilt:

\[
\begin{equation}
D = \epsilon_0 \overline{\epsilon}_r E + \overline{P_{p}}
\end{equation}
\]
Hierbei ist \(\overline{\epsilon}_r\) die relative dielektrische Konstante des gesamten Double-Layers.

Ich betrachte die beiden Schichten, als in Serie geschaltete Kondensatoren. Hieraus lässt sich über die Serienschaltung die dielektrische Konstante der gesamten Schicht herleiten:

\[
\begin{equation}
\overline{\epsilon}_r=\frac{\epsilon_l \epsilon_p}{\epsilon_l \phi_p+\epsilon_p (1-\phi_p)}
\end{equation}
\]
Hierbei ist \(\phi_p = \frac{t_p}{t}\).

Das externe elektrische Feld \(E\) durch den Double-Layer lässt sich schreiben als

\[
\begin{equation}
E= \phi_p E_p + (1-\phi_p)E_l.
\end{equation}
\]
Der elektrische Fluss der einzelnen Schichten ist:

\[
\begin{equation}
D_l= \epsilon_0 \epsilon_l E_l
\end{equation}
\]
und

\[
\begin{equation}
D_p = \epsilon_0 \epsilon_p E_p + P_{p}
\end{equation}
\]

Somit ergibt sich für die elektrische Flussdichte des Double-Layers:

\[
\begin{equation}
D = \frac{\epsilon_l\phi_p}{\epsilon_l\phi_p+\epsilon_p (1-\phi_p)}(D_p-P_p)+\frac{\epsilon_p(1-\phi_p)}{\epsilon_l\phi_p+\epsilon_p (1-\phi_p)} D_l
\end{equation}
\]
Die permanente makroskopische Polarisierung \(\overline{P_p}\) des Double-Layer erhält man für den Fall, dass kein externes elektrische Feld anliegt:

\[
\begin{equation}
D(E=0)= \overline{P_{p}}=\frac{\epsilon_l\phi_p}{\epsilon_l\phi_p+\epsilon_p (1-\phi_p)}(P_p-P_p)=0
\end{equation}
\]
Das Ergebnis macht physiklaisch jedoch keinen Sinn, da auch der Double-Layer eine permanente makroskopische Polarisierung besitzen sollte.
Hier muss ein Fehler sein, den ich nicht sehe.

Ich vermute, dass das Ergebnis eher

\[
\begin{equation}
\overline{P_{p}}=\frac{\epsilon_l\phi_p}{\epsilon_l\phi_p+\epsilon_p (1-\phi_p)}P_p
\end{equation}
\]
ist.

Wo liegt mein Gedankenfehler? Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen könntet!



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PhysVIE
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-08


Hallo smile Hat jemand schon eine Idee?   Ich leider noch nicht! confused



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-12


Hallo PhysVIE,
ich habe mir erlaubt, die Gleichungen in Beitrag 3 zu nummerieren, damit ich mich leichter darauf beziehen kann.

Die Gleichungen (5) und (6) beantworten meine erste Frage aus Beitrag 2, (4) hängt eng mit der Antwort auf die dritte Frage zusammen, aber die entscheidende zweite Frage
2019-05-03 00:07 - rlk in Beitrag No. 2 schreibt:
Was passiert an der Grenzfläche zwischen den beiden Dielektrika?
hast Du noch nicht beantwortet. Wie kommst Du auf (7) und warum subtrahierst Du dort $P_p$?

Servus,
Roland



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PhysVIE
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-13


Hallo Roland (rlk),

Vielen Dank für deine Rückmeldung!

Gleichung (7) erhalte ich durch folgenden Ansatz:

Gleichung (1) ist die elektrische Flussdichte der Doppelschicht. Setze ich nun Gleichung (3) und (4) in (1) ein, erhalte ich:

\[D= \frac{\epsilon_l\phi_p}{\epsilon_l\phi_p+\epsilon_p(1-\phi_p)}\epsilon_0 \epsilon_p E_p+\frac{\epsilon_p(1-\phi_p)}{\epsilon_l\phi_p+\epsilon_p(1-\phi_p)}\epsilon_0 \epsilon_l E_l\]
Unter Verwendung von Gleichung (6)

\[\epsilon_0 \epsilon_p E_p = D_P -P_p \]
und Gleichung (5) ergibt sich Gleichung (7). Deswegen auch wird \(P_p\) subtrahiert.


An der Grenzfläche der beiden Dielektrika kommt es zu einer Ladungstrennung. Aber die obigen Gleichungen betrachten das System ja als in Serie geschalteten Dielektrika (mit entsprechenden Gleichungen), ist das nicht korrekt?

Vielen Dank für die Hilfe und liebe Grüße,
PhysVIE






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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-20


Hallo PhysVIE,
in Gleichung (1) aus Beitrag 3 kommt die gesuchte permanente Polarisierung $\overline{P_p}$ der Doppelschicht vor, wohin ist sie verschwunden?

Gibt es an der Grenzfläche freie Ladungen? Was folgt daraus für die Differenz $D_l - D_p$?

Servus,
Roland



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PhysVIE
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Hallo Roland (rlk),

Vielen Dank für deine Antwort!

Stimmt! Du hast recht, dass da \(\overline{P_p}\) abhanden gekommen ist!
Das macht es ja nur noch schwieriger nun auf \(\overline{P_p}\) zukommen, wenn kein externes Feld anliegt?!

Deine Frage:
2019-05-20 08:46 - rlk in Beitrag No. 7 schreibt:

Gibt es an der Grenzfläche freie Ladungen? Was folgt daraus für die Differenz $D_l - D_p$?


Ja, es gibt freie Ladungen an der Grenzfläche! Das heißt \(D_l-D_p \ne 0 \) müsste es nicht sogar \(-P_p\) sein?

Ich bin jetzt etwas verwirrt wie ich auf die Lösung des Problems komme?

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!

Liebe Grüße,
PhysVIE



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-20


Hallo PhysVIE,
wie kommen die freien Ladungen an die Grenzfläche?

Mit zwei Maxwellgleichungen und den Materialgleichungen (5) und (6) kannst Du die vier unbekannten Größen $D_l$, $E_l$, $D_p$ und $E_p$ bestimmen.

Servus,
Roland



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PhysVIE
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21 11:07


Hallo Roland (rlk),

Die freien Ladungen kommen zustande aufgrund der permanenten Polarisierung der unteren Schicht.

Ich habe nochmal über \(D_l-D_p\) nachgedacht! In der Vorstellung zweier Kondensatoren in Serie muss gelten \(D_l-D_p=0\), da \(D_l= \frac{Q_l}{A}\)  und \(D_p= \frac{Q_p}{A}\) (Gaußscher Satz) gilt und \(Q_p=Q_l\) gelten muss.

\(D_l\) und \(D_p\) sind über (5) und (6) gegeben.

Desweiteren gilt:

Nach Gleichung (4) gilt: \(E= \phi_p E_p +(1-\phi_p)E_l=0 \Rightarrow E_l=-\frac{\phi_p}{1-\phi_p}E_p\)

Aufgrund der Bedingung \(D_l=D_p\) folgt: \(E_l= \frac{\epsilon_p}{\epsilon_l}E_p+\frac{P_p}{\epsilon_0\epsilon_l}\)

Es ergibt sich:

\[E_p=-\frac{1-\phi_p}{\epsilon_0\epsilon_p(1-\phi_p)+\epsilon_0\epsilon_l\phi_p}\cdot P_p\]

\[E_l=\frac{\phi_p}{\epsilon_0\epsilon_p(1-\phi_p)+\epsilon_0\epsilon_l\phi_p}\cdot P_p\]
und über (5) und (6) sind auch \(D_l\) und \(D_p\) somit bekannt.

Wie komme ich nun aber auf die permanente Polarisierung der Doppelschicht?

Danke für die Hilfe und liebe Grüße,
PhysVIE



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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-23 00:22


Hallo PhysVIE,
2019-05-21 11:07 - PhysVIE in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Roland (rlk),
Die freien Ladungen kommen zustande aufgrund der permanenten Polarisierung der unteren Schicht.
was genau meinst Du damit? Ich fürchte, dass Deine Vorstellung, was freie Ladung bedeutet, inkorrekt ist.
Freie Ladungen können sich frei bewegen, was in Isolatoren wie einem Dielektrikum nicht möglich ist.
2019-05-21 11:07 - PhysVIE in Beitrag No. 10 schreibt:
Ich habe nochmal über \(D_l-D_p\) nachgedacht! In der Vorstellung zweier Kondensatoren in Serie muss gelten \(D_l-D_p=0\), da \(D_l= \frac{Q_l}{A}\)  und \(D_p= \frac{Q_p}{A}\) (Gaußscher Satz) gilt und \(Q_p=Q_l\) gelten muss.
Das ist richtig, steht aber im Widerspruch zur Existenz freier Ladungen an der Grenzschicht. Auf welches Volumen hast Du den Satz von Gauß angewandt?
2019-05-21 11:07 - PhysVIE in Beitrag No. 10 schreibt:
\(D_l\) und \(D_p\) sind über (5) und (6) gegeben.

Desweiteren gilt:

Nach Gleichung (4) gilt: \(E= \phi_p E_p +(1-\phi_p)E_l=0 \Rightarrow E_l=-\frac{\phi_p}{1-\phi_p}E_p\)

Aufgrund der Bedingung \(D_l=D_p\) folgt: \(E_l= \frac{\epsilon_p}{\epsilon_l}E_p+\frac{P_p}{\epsilon_0\epsilon_l}\)

Es ergibt sich:

\[E_p=\frac{1-\phi_p}{\epsilon_0\epsilon_p(1-\phi_p)+\epsilon_0\epsilon_p\phi_p}\cdot P_p\]

\[E_l=-\frac{\phi_p}{\epsilon_0\epsilon_p(1-\phi_p)+\epsilon_0\epsilon_p\phi_p}\cdot P_p\]
und über (5) und (6) sind auch \(D_l\) und \(D_p\) somit bekannt.

Wie komme ich nun aber auf die permanente Polarisierung der Doppelschicht?
In Deiner Rechnung ist $\epsilon_l$ verlorengegangen und die Vorzeichen von $E_p$ und $E_l$ sind verkehrt. Davon abgesehen hast Du die Verschiebungsdichte $D=D_l=D_p$ der Doppelschicht für $E=0$ berechnet. Wegen (2) ist das die gesuchte permanente Polarisierung $\overline{P_p}$. Wenn Du die Rechnung für $E\neq 0$ ausführst, erhältst Du auch die effektive Dielektrizitätskonstante $\overline{\epsilon_r}$.

Servus,
Roland



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PhysVIE
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-23 09:51


Hallo Roland (rlk),

im Bezug zu den freien Ladungen, hast du recht, das war falsch!

Den Satz von Gauß habe ich auf das Volumen der einzelnen Dielektrika angewendet.

Ich habe den Beitrag von mir nochmals korrigiert, danke für die Hinweise!

Wenn doch \(D = D_l = D_p\) gilt, kann ich über (2), (5) und (6) für \(E=0\) auch direkt sagen, dass \(\overline{P_p}=P_p\) gilt. Das macht doch aber keinen Sinn oder?? Weil auch gleichzeitig \(D=D_l\) gelten muss und dann wäre \(\overline{P_p}=0\).

Entschuldige, ich bin jetzt sehr verwirrt? Vorallem dahingehend, ob ich nun die Situation als zwei Kondensatoren in Serie annehmen darf oder nicht und wie ich jetzt ansätze.

Danke dir schonmal für deine Hilfe und liebe Grüße,
PhysVIE




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rlk
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-05-24 00:01


Hallp PhysVIE,
2019-05-23 09:51 - PhysVIE in Beitrag No. 12 schreibt:
Hallo Roland,
im Bezug zu den freien Ladungen, hast du recht, das war falsch!

Den Satz von Gauß habe ich auf das Volumen der einzelnen Dielektrika angewendet.

Ich habe den Beitrag von mir nochmals korrigiert, danke für die Hinweise!
bitte, gerne geschehen. Wenn Du Beiträge korrigierst, solltest Du das dort anmerken, damit die Diskussion für Leser verständlich bleibt.
PhysVIE schreibt:
Wenn doch \(D = D_l = D_p\) gilt, kann ich über (2), (5) und (6) für \(E=0\) auch direkt sagen, dass \(\overline{P_p}=P_p\) gilt. Das macht doch aber keinen Sinn oder?? Weil auch gleichzeitig \(D=D_l\) gelten muss und dann wäre \(\overline{P_p}=0\).
Diese Schlussfolgerung ist falsch, sie widerspricht ja Deiner Rechnung. Wenn Du versuchst, sie genauer zu erklären, können wir herausfinden, welche falsche Annahme zu dem Fehlschluss geführt hat.
Du hast $D(E)=D_l(E)=D_p(E)$ für $E=0$ bestimmt, wegen (2) ist
$$D(0)=\overline{P_p}$$
PhysVIE schreibt:
Entschuldige, ich bin jetzt sehr verwirrt? Vorallem dahingehend, ob ich nun die Situation als zwei Kondensatoren in Serie annehmen darf oder nicht und wie ich jetzt ansätze.
Es sind zwei in Serie geschaltete Kondensatoren. Wie Du die Dielektrizitätskonstante $\overline{\epsilon_r}$ berechnest, habe ich in Beitrag 11 beschrieben.

Servus,
Roland



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PhysVIE
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-24 10:52


Hallo Roland (rlk),

Danke für deine Hilfe! Ich habe die Lösung nun!

Folgender Beitrag von mir war natürlich falsch!
2019-05-23 09:51 - PhysVIE in Beitrag No. 12 schreibt:

Wenn doch \(D = D_l = D_p\) gilt, kann ich über (2), (5) und (6) für \(E=0\) auch direkt sagen, dass \(\overline{P_p}=P_p\) gilt. Das macht doch aber keinen Sinn oder?? Weil auch gleichzeitig \(D=D_l\) gelten muss und dann wäre \(\overline{P_p}=0\).


\(E=0\) bedeutet nicht, dass \(E_l =0\) bzw. \(E_p=0\) gilt!

Wenn ich nun alles einsetze erhalte ich:

\[

\overline{P_{p}}=\frac{\epsilon_l\phi_p}{\epsilon_l\phi_p+\epsilon_p (1-\phi_p)}P_p

\]
Danke dir nochmal für deine Hilfe!

Liebe Grüße,
PhysVIE



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