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Analysis » Stetigkeit » Stetigkeit bzgl einer Norm
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Universität/Hochschule Stetigkeit bzgl einer Norm
RapSch
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  Themenstart: 2019-05-05

Einen schönen Sonntag-Nachmittag wünsche ich euch! Ich habe eine Frage bzgl. einer Aufgabe aus Analysis II, an der ich gerade sitze. Betrachten Sie die Funktion \(f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) mit \[ f(x,y) := \begin{cases}0&(x,y) = (0,0)\\ \frac{2xy}{x^2+y^2}&sonst \end{cases} \] Im ersten Aufgabenteil sollte man zeigen, dass die Funktion stetig in jeweils einem der beiden Argumente ist, was ja nicht weiter problematisch ist. Im zweiten Teil heißt es dann: Versieht man \( \mathbb{R}^2 \) mit der Maximumsnorm, so ist \( f \) in Null unstetig. Ich verstehe den Teil mit der Maximumnorm nicht.. Wenn ich einfach eine Folge \( (x_n)_{n\in\mathbb{N}} \) mit \( x_n = ( \frac{1}{n}, \frac{1}{n} ) \) nehme, dann kann ich ja leicht über das Folgenkriterium zeigen, dass die Funktion in Null nicht stetig ist. Was hat es dann hier mit der Maximumsnorm auf sich? Und Allgemein: Was bedeutet es überhaupt genau, wenn eine Funktion bzgl. einer Norm stetig ist? Mit lieben Grüßen, RapSch


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-05

Hallo RapSch, das \(\epsilon\)-\(\delta\)-Kriterium besagt ja, dass f in \((x_0,y_0)\in\IR^2\) genau dann stetig ist, wenn \(\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall (x,y)\in\IR^2:(||(x,y)-(x_0,y_0)||<\delta\implies|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\epsilon)\). Stetig bzgl. der Maximumsnorm bedeutet, dass hier \(||.||\) die Maximumsnorm ist.


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darkhelmet
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  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-05

Hi, wie habt ihr Stetigkeit definiert? Mit Bezug auf einen der Begriffe Topologie, metrischer Raum oder normierter Raum? Wenn nicht, ist die Erwähnung der Maximumsnorm wirklich fehl am Platz. Wenn ja, kannst du dir deine Frage selbst beantworten. [Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]


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RapSch
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05

Stetigkeit haben wir in diesem Kontext nur über Metriken definiert. Dort scheint mir auch alles sinnvoll zu sein. Aber eine Definition wie oben allgemein mit Normen hatten wir nicht.


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StrgAltEntf
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  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-05

\quoteon(2019-05-05 18:45 - RapSch in Beitrag No. 3) Stetigkeit haben wir in diesem Kontext nur über Metriken definiert. Dort scheint mir auch alles sinnvoll zu sein. Aber eine Definition wie oben allgemein mit Normen hatten wir nicht. \quoteoff Die Metrik kommt aber doch von der Norm. Hier also \(d(a,b)=||a-b||\) für \(a,b\in\IR^2\). Oder welche Metrik habt ihr verwendet, um die Stetigkeit zu definieren?


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RapSch
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-05

Wir haben Normen und Metriken zunächst unabhängig voneinander anhand der Kriterien, die eine Abbildung erfüllen muss, um als Norm/Metrik zu gelten, definiert und erst in einem späteren Beispiel diese Metrik betrachtet. Aber nun ist mir auf jeden Fall einiges klarer. Vielen Dank für die Hilfe!


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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
cripper
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  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-05

Hallo zusammen, ehrlich gesagt ergibt die Aufgabenstellung meines Erachtens wenig Sinn. Weshalb hier explizit \(\mathbb{R^2}\) mit der Supremumsnorm ausgestattet wird, ist mir schleierhaft. Da im \(\mathbb{R^n}\) alle Normen äquivalent sind, hängt die Stetigkeit hierbei nicht von der gewählten Norm ab. Gruß cripper


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