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Strukturen und Algebra » Gruppen » Surjektiver Gruppenhomomorphismus zu S_3 -> Z/3Z
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Universität/Hochschule Surjektiver Gruppenhomomorphismus zu S_3 -> Z/3Z
Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-09


Hallo liebe Planetarier,
ich habe eine Aufgabe vor mir, die ich nicht "mathematisch" verfassen kann. Mein Übungsleiter hat mich zurückgepfiffen mit dem Tipp, es über die Bilder zu versuche. Doch leider komme ich damit nicht weiter.

Die Aufgabe: "Beweisen Sie, dass kein surjektiver Gruppenhomomorphismus

\(f: S_3 \rightarrow \IZ/3\IZ  \) existiert, wobei \(\IZ/3\IZ\) die Restklassengruppe modulo 3 bezeichnet".


Die Lösung meiner Gruppe:
Die Elemente {0,1,2} \(\in \IZ/3\IZ\) haben Ordnung 3.
Jedoch muss die Ordnung von \(f(\sigma)\) die Ordnung von \(\sigma\) teilen, für alle \(\sigma \in S_3\).
Folglich müssen alle Transpositionen (mit Ordnung 2)  auf {0} geschickt werden.
Da jedes \(\sigma \in S_3\) als Produkt von Transpositionen dargestellt werden kann (explizit (123)=(12)(23), (132)=(13)(32) und das neutrale Element kann als das leere Produkt angesehen werden) folgt, dass jedes \(\sigma \in S_3\) auf 0 geschickt werden muss.

Leider kann ich diesem Text nicht ganz folgen.
1) Warum muss f(\(\sigma)\) Sigma teilen?
2) Warum muss jedes Sigma auf 0 geschickt werden?

Wenn ich zumindest das Verständnis habe, schaffe ich die Aufgabe mit Eurer Hilfe bestimmt eher.

Für leichte Erklärungen und Eure Geduld wäre ich dankbar.
Danke im Voraus :)

LG Schueler


P.S. Erwähnungswert ist bestimmt, dass dieser Aufgabe 2 Teilaufgaben voraus gegangen sind:

"Sei \(S_3\) die symmetrische Gruppe und sei \(A_3\) die alternierende Gruppe zum Index 3.
a) Schreiben Sie alle Permutationen \(\sigma \in S_3\) als Produkt von Transpositionen.
b) Beweisen Sie, dass \(A_3\) eine zyklische Gruppe ist.



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-09


2019-05-09 14:53 - Schueler321 im Themenstart schreibt:

\(f: S_3 \rightarrow \IZ/3\IZ  \) existiert, wobei \(\IZ/3\IZ\) die Restklassengruppe modulo 3 bezeichnet".



Die Elemente {0,1,2} \(\in \IZ/3\IZ\) haben Ordnung 3.
Jedoch muss die Ordnung von \(f(\sigma)\) die Ordnung von \(\sigma\) teilen, für alle \(\sigma \in S_3\).
Folglich müssen alle Transpositionen (mit Ordnung 2)  auf {0} geschickt werden.
Da jedes \(\sigma \in S_3\) als Produkt von Transpositionen dargestellt werden kann (explizit (123)=(12)(23), (132)=(13)(32) und das neutrale Element kann als das leere Produkt angesehen werden) folgt, dass jedes \(\sigma \in S_3\) auf 0 geschickt werden muss.


1) Warum muss f(\(\sigma)\) Sigma teilen?

2) Warum muss jedes Sigma auf 0 geschickt werden?

LG Schueler


1 mache dir klar was die Ordnung aller elemente in den beiden Gruppen ist und was dann ein Homomorphismus mit der Ordnung jedes Elementes macht.

2 das hieße, dass der Kern von f alle Elemente aus S3 sind die auf 0 geschickt:  $f(\sigma) =\{0)\}$ werden. Welche könnten das sein?
Das zeigt uns was?




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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-09

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align}#1\end{align}}\)
Hallo Schueler321,

die Ordnung von $f(\sigma)$ muss jene von $\sigma$ teilen, weil sonst das neutrale Element nicht auf das neutrale Element abgebildet würde. Sei $n=\operatorname{ord}\sigma$. Dann gilt $f(\mathrm{id})=f(\sigma^n)=f^n(\sigma)$. Das heißt, $f^n(\sigma)$ muss das neutrale Element sein. Dann teilt die Ordnung von $f(\sigma)$ sofort $n$.
Wenn jetzt die Ordnung aller Elemente von $\Z/3\Z$ außer 0 teilerfremd zur Ordnung aller Transpositionen in $S_3$ ist, dann bleibt als einzige Möglichkeit $f(\sigma)=0$ für alle Transpositionen $\sigma$.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)


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helmetzer
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-09


Moin, deine Frage deuten darauf hin, dass kaum Vorkenntnisse vorhanden sind.

Da müsste man also sozusagen bei Null anfangen.

Wenn z.B. ein Gruppenelement <math>g</math> endliche Ordnung <math>n</math> hat und <math>g^m = 1</math>, dann ist <math>n</math> ein Teiler von <math>m</math>.

Wenn das klar ist, dann sind deine Fragen schon beantwortet.

Der einfachste Beweis für die Aufgabe ist übrigens, dass<math>S_3</math> keinen Normalteiler der Ordnung <math>2</math> hat.


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]



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Ehemaliges_Mitglied
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-09


Ich schon wieder wink
Wenn alle Transpositionen aus S3 auf 0 geschickt werden (warum ist das zwingend?) und alle Elemente der S3 als Produkt von Transpositionen dargestellt werden können, dann $\forall \sigma \in S_3, f(\sigma)$ = 0$.



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Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-11


Hallo,
danke Euch für Eure Antworten. Dies hilft mir sehr.



1 mache dir klar was die Ordnung aller elemente in den beiden Gruppen ist und was dann ein Homomorphismus mit der Ordnung jedes Elementes macht.


Tatsächlich hatte ich eine falsche Definition im Kopf. Ordnung hatte ich nicht als den Exponenten, der eine Transposition zur Identität macht, verstanden, sondern als die Anzahl der Elemente, die in einer Transposition sind... ja, ein klares Anzeichen meiner schwachen Kenntnisse.


die Ordnung von $f(\sigma)$ muss jene von $\sigma$ teilen, weil sonst das neutrale Element nicht auf das neutrale Element abgebildet würde. Sei $n=\operatorname{ord}\sigma$. Dann gilt $f(\mathrm{id})=f(\sigma^n)=f^n(\sigma)$. Das heißt, $f^n(\sigma)$ muss das neutrale Element sein. Dann teilt die Ordnung von $f(\sigma)$ sofort $n$.

Vercassivelaunos, danke für Deine beiden sehr ausführlichen Antworten. Das hilft mir beim Verständnis meiner beiden Fragen.

@helmetzer:
So, wie ich mir einige Beispiele im Internet angeschaut und unsere Vorlesung durchgeblättert habe, haben wir Normalteiler nicht eingeführt. Gibt es da noch eine andere Möglichkeit?

Danke für Eure Hilfe!
Liebe Grüße und ein schönes Wochenende :)



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helmetzer
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Dabei seit: 14.10.2013
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-11


Ja klar, der Beweis, dass alle Transpositionen auf die Null abgebildet werden, ist vollkommen ok.




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Schueler321
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-13


Prima, vielen Dank!!



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Curufin
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Aus: Stuttgart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, eingetragen 2019-05-14


Hallo,

m.E. ist folgende Argumentation etwas struktureller:

1. Wegen des Homomorphiesatzes muss der Kern von f die Ordnung 2 haben.
2. Der Kern von f ist ein Normalteiler von $S_3$, dies gilt ganz allgemein für alle Kerne von Homomorphismen.
3. $S_3$ besitzt keinen Normalteiler der Ordnung 2.

Den 3. Teil kann man nachrechnen, indem man zeigt, dass alle Transpositionen konjugiert sind.

Exkurs: In der symmetrischen Gruppe $S_n$ bestehen die Konjugationsklassen immer aus Zykeln desselben Typs (siehe: Wikipedia). Insbesondere sind natürlich alle Transpositionen konjugiert, und zwar in jeder symmetrischen Gruppe.

VG  



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-14


@Curufin

Ich verstehe natürlich, was du meinst, aber nach meinem Dafürhalten hat eine Lösung, die mit möglichst wenigen Hilfsmitteln aus einer übergeordneten Theorie auskommt durchaus auch ihre Meriten. Ich denke da an Einstein, dem folgender Ausspruch zugeschrieben wird: "Man soll alles so einfach wie möglich machen - aber nicht einfacher!" wink  

So hätte es mir in der "Musterlösung" aus dem Startbeitrag auch besser gefallen, den Begriff der Ordnung eines Gruppenelements und jede Berufung auf deren Eigenschaften ganz zu vermeiden und nur davon auszugehen, dass jede Lösung der Gleichung $x^2=id$ in der Gruppe $S_3$ vermöge des Homomorphismus $f:S_3\to \mathbb Z/3$ auf eine Lösung der Gleichung $2x=0$ in $\mathbb Z/3$ abgebildet wird. Insbesondere müssen also alle Transpositionen, sowie id, wie schon gesagt dann auf 0 abgebildet werden. Aus $(123)=(13)(12)$ und $(132)=(12)(13)$ folgt durch Anwendung von $f$ dies schließlich auch für die beiden restlichen Elmente von $S_3$.



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