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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit der Grenzfunktion
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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit der Grenzfunktion
Mathimus10
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 21.11.2018
Mitteilungen: 21
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-14


Hallo zusammen,
ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:


Der Hinweis ist recht ausführlich und gibt eine erste Idee, wie man an diese Aufgabe herangehen kann. Leider fehlt mir der Ansatz, wie man nun weitermachen soll. Ich verstehe dabei nicht so ganz, wie man ein \(\frac{\epsilon }{3}\) Argument verwenden soll bzw. was das überhaupt ist. Ist damit gemeint, dass ein bestimmter Betrag durch dieses \(\frac{\epsilon }{3}\) abgeschätzt wird?

Ich würde mich wirklich sehr über eine Hilfestellung freuen.

Viele Grüße
Mathimus



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1595
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-14


Hey Mathimus10,

mit \(\frac{\epsilon}{3}\)-Argument ist gemeint, dass du den abzuschätzenden Ausdruck (hier sowas wie \(|f_n(x) - f_m(x)|\)) nach oben durch drei Summanden abschätzt, die alle kleiner als \(\frac{\epsilon}{3}\) werden sollen. Dann ist der ursprüngliche Ausdruck kleiner als \(\epsilon\).

Da wir gleichmäßige Konvergenz nachweisen müssen und dies eine "\(\forall ~\epsilon > 0\)"-Aussage ist, beginnt man natürlich immer mit: "Sei \(\epsilon >0\)."
Nun muss ein \(n_0 \in \mathbb{N}\) gefunden werden, sodass für alle \(n,m \geq n_0\) und für alle \(x \in [a,b]\) gilt:
\(|f_n(x) - f_m(x)| < \epsilon\).
Schauen wir uns also den Ausdruck \(|f_n(x) - f_m(x)|\) an. Dieser Ausdruck soll jetzt nach oben durch drei Summanden abgeschätzt werden, von denen wir in der Lage sein sollen diese (in der richtigen Art und Weise) "klein" zu machen.
Im zweiten Punkt der Voraussetzung stehen Terme wie \(|f_n(x) - f_n(y)|\).
Wie kann man nun (erstmal für beliebige \(x,y \in [a,b]\) und \(n,m \in \mathbb{N}\)) den Term \(|f_n(x) - f_m(x)|\) (durch drei Summanden) nach oben abschätzen, sodass (mindestens einmal) ein Term wie \(|f_n(x) - f_n(y)|\) auftaucht?

Wie dieses \(y\) schließlich zu wählen ist, das ja beim abzuschätzenden Term \(|f_n(x) - f_m(x)|\) gar nicht auftaucht, können wir noch später klaren.

Übrigens: die zweite Voraussetzung in deiner Aufgabe nennt man auch gleichgradige Stetigkeit der Folge \((f_n)\).



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Mathimus10
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-14


Hallo Kampfpudel,
zunächst vielen Dank für die Erklärung des \(\frac{\epsilon }{3}\)-Arguments.


Der Term \(| f_n(x)-f_m(x) | \) kann durch \(| f_n(x)-f_n(y) |+| f_n(y)-f_m(y) |+| f_m(y)-f_m(x) |\) nach oben abgeschätzt werden. Dabei könnten jetzt die Terme \(| f_n(x)-f_n(y) |\) und \(| f_m(x)-f_m(y) |\) (der Betrag ist symmetrisch) wegen der zweiten Voraussetzung "kleiner" als \(\frac{\epsilon }{3}\) gemacht werden.

Ich hoffe, diese Abschätzung ist soweit korrekt. Es gibt aber wahrscheinlich auch noch andere.

Viele Grüße
Mathimus



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Kampfpudel
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2013
Mitteilungen: 1595
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-14


Ja genau, auf diese Abschätzung wollte ich hinaus. Und in der Tat, den ersten und dritten Summanden werden wir dann mit der zweiten Voraussetzung verarzten, den zweiten Summanden verarzten wir mit der punktweisen Konvergenz.
Ich erinnere noch einmal: das Ziel ist es, das \(n_0\) in der Definition von gleichmäßiger Konvergenz unabhängig von \(x\) wählen zu können.

Da die zweite Voraussetzung der Aufgabe eine Aussage über alle \(n \in \mathbb{N}\) macht, werden wir wohl ausschließlich beim zweiten Summanden nach der richtigen Wahl des \(n_0\) suchen müssen.

Betrachten wir das ganze erst mal für feste \(n,m \in \mathbb{N}\).
Damit der erste (und dritte) Summand nun kleiner als \(\frac{\epsilon}{3}\) wird, müssen wir die zweite Voraussetzung mit \(\tilde{\epsilon}=\frac{\epsilon}{3}\) anwenden. Diese liefert für jedes \(y \in [a,b]\) die Existenz eines \(\tilde{\delta}_y>0\), sodass für alle \(x \in [a,b]\) mit \(|x-y|< \tilde{\delta}_y\) gilt: \(|f_k(x)-f_k(y)| < \tilde{\epsilon}\) für alle \(k \in \mathbb{N}\).
D.h. doch, egal wie groß \(n\) und \(m\) sind, der erste und dritte Summand wird jeweils kleiner als \(\frac{\epsilon}{3}\), solange \(x \in [a,b]\) so gewählt wird, dass \(|x-y|< \tilde{\delta}_y\) gilt.

Wir wollen die Abschätzung aber für alle \(x \in [a,b]\) erreichen. Einen Hinweis wie nun für ein gegebenes \(x \in [a,b]\) das \(y\) zu wählen ist, sodass wir die Abschätzung machen können, liefert der Hinweis.

Ein \(n_0\) wird bis hierhin noch gar nicht gewählt. Kannst du nun den zweiten Summanden abschätzen und dabei das \(n_0\) so wählen, dass es nicht von \(x\) abhängt?



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Mathimus10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-14


Hallo,

erstmal vielen Dank für die ausführlichen Erklärungen. Diese sind ungemein hilfreich für das Verständnis und ich verstehe auch, worauf es aufbaut und hinausläuft. Nach langem Überlegen konnte ich leider keine Abschätzung finden. Wahrscheinlich verwirrt mich der Hinweis ein bisschen, da ich nicht ganz dahinter komme, was damit gemeint ist. Ich würde das so verstehen, dass es für jedes \(x \in [a,b]\) (mindestens) ein \(x_i\) gibt, sodass \(|x-x_i|< \tilde{\delta}_{x_i}\) gilt. Inwiefern mir das für die Wahl von y weiter hilft, weiß ich leider nicht.


Viele Grüße
Mathimus



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-14


Ja genau. Zu jedem festen \(x \in [a,b]\) gibt es (nach dem Hinweis) ein \(i \in \{1,...,m\}\), sodass \(|x-x_i|< \tilde{\delta}_{x_i}\). Somit gilt nach der zweiten Voraussetzung für alle \(n,m \in \mathbb{N}\) sowohl \(|f_n(x) - f_n(x_i)| < \frac{\epsilon}{3}\) als auch \(|f_m(x) - f_m(x_i)| < \frac{\epsilon}{3}\).
Die richtige Wahl des \(y\) ist also in der Tat ein \(x_i\) wie oben.
Jetzt muss man sich noch \(|f_n(x_i) - f_m(x_i)|\) ansehen. Da bleibt einem nicht viel anderes übrig, als die punktweise Konvergenz zu benutzen. Die liefert einem die Existenz eines \(n_i \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(n,m \geq n_i\) gilt: \(|f_n(x_i) - f_m(x_i)| < \frac{\epsilon}{3}\) (Bedenke, dass jede konvergente Folge - hier \((f_n(x_i))_n\) - in \(\mathbb{R}\) eine Cauchy-Folge ist).
Ich schreibe absichtlich hier nicht \(n_0\) sondern \(n_i\), da \(n_i\) ja von \(x_i\) (also quasi von \(i\)) abhängt.

Wenn wir das jetzt zusammenfassen, dann wissen wir dass für jedes \(i \in \{1,...,m\}\) ein \(n_i \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n,m \geq n_i\) und für alle \(x \in [a,b]\) mit \(|x-x_i|< \tilde{\delta}_{x_i}\) (oder anders ausgedrückt: \(x \in B_{\tilde{\delta}_{x_i}}(x_i)\)) gilt:
\(|f_n(x) - f_m(x)| \leq |f_n(x) - f_n(x_i)| + |f_n(x_i) - f_m(x_i)| + |f_m(x_i) - f_m(x)|< \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} =\epsilon\).

Wie müsste jetzt \(n_0\) gewählt werden, damit man den Ausdruck " mit \(|x-x_i|< \tilde{\delta}_{x_i}\)" streichen kann?



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Mathimus10
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-14


Ah, dann müsste das \(n_0\) als das Maximum der \(n_i\) gewählt werden, da dann für alle \(n, m \geq n_0\) \(|f_n(x) - f_n(y)| < \frac{\epsilon}{3}\) erfüllt ist, sodass die Abschätzung dann unabhängig von den \(y\), also den \(x_i\), ist und diese insgesamt kleiner als \(\epsilon \) ist.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-14


Jap, so ist es.



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Mathimus10
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Okay, dann habe den Beweis verstanden. Ich habe noch eine Frage zu der Stetigkeit der Grenzfunktion: Impliziert die von dir angesprochene  gleichgradige Stetigkeit die Stetigkeit der \(f_n\)? Wenn ja, dann würde die Stetigkeit der Grenzfunktion aus der Stetigkeit der \(f_n\) folgen. Wenn nicht, dann habe ich leider keine Idee zu diesem Aufgabenteil.


Viele Grüße

Mathimus



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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-15


Ja, gleichgradige Stetigkeit impliziert die Stetigkeit aller \(f_n\).
Wenn du die Aussagen "\(\forall ~n \in \mathbb{N}\) gilt: \(f_n\) ist stetig" und "Die Funktionenfolge \((f_n)_n\) ist gleichgradig stetig" vergleichst, dann sieht man, dass bei der gleichgradigen Stetigkeit der Teil \(\forall ~n \in \mathbb{N}\) hinter den Teil \(\exists ~\delta_x>0\) rutscht, d.h. bei der gleichgradigen Stetigkeit hängt das \(\delta\) nicht von \(n\) ab. Wenn du im Gegensatz dazu die Stetigkeit eines einzelnen \(f_n\) untersuchst, dann darf das \(\delta\) dort sehr wohl von \(n\) abhängen. Das heißt, gleichgradige Stetigkeit ist eine stärkere Voraussetzung als die Stetigkeit jedes einzelnen \(f_n\). (Was jetzt auch nicht sooo überraschend ist, denn nur aus punktweiser Konvergenz und der Stetigkeit jeder einzelnen Funktion \(f_n\) folgt nicht die gleichmäßige Konvergenz, fordert man stattdessen sogar die gleichgradige Stetigkeit folgt dies offenbar schon).



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Mathimus10
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Okay, dann ist mir jetzt alles klar. Vielen, vielen Dank für deine hilfreichen und ausführlichen Erklärungen. Diese haben echt viel zum Verständnis beigetragen und gleichzeitig konnte ich noch einiges Neues lernen ;).

Viele Grüße

Mathimus



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