Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von Buri Gockel
Strukturen und Algebra » Algebraische Geometrie » Projektive Varietät ist Kompaktifizierung affiner Varietäten
Druckversion
Druckversion
Antworten
Antworten
Autor
Universität/Hochschule Projektive Varietät ist Kompaktifizierung affiner Varietäten
Teddyboer
Wenig Aktiv Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 10.12.2011
Mitteilungen: 224
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-16


Hallo zusammen,

mir lässt das folgende Problem keine Ruhe: Ich betrachte eine projektive Varietät in $V\subset\mathbb{P}^n = U_0 \cup...\cup U_n$, wobei $U_i=\{[x_0,...,x_n]:x_i\neq 0\}$. Nun möchte ich zeigen, dass $V$ die Kompaktifizierung einer affinen Varietät ist bzgl. induzierter Zariski - und induzierter Euklidischer - Topologie.

Meine Idee bisher: Betrachte den Spezialfall $V = \mathbb{V}(F)$, $F$ homogen. O.B.d.A. ist $V\cap U_0 \neq \emptyset$ und dies ist eine affine Varietät. Zeige nun, dass $V\cap U_0$ dicht in $V$ liegt.
Da scheitert es nun: $W = \mathbb{P}^n\backslash \mathbb{V}(G)$, $G$ homogen, ist offen in $\mathbb{P}^n$, also $W\cap V$ offen in $V$. Ich möchte zeigen, dass

    $V\cap U_0 \cap W \neq \emptyset$.

Meine restlichen Ideen schreibe ich jetzt erstmal nicht auf. Ich wollte nur wissen, ob jemand sich mit dem Problem auskennt und weiß, ob das zielführend ist.

Vielen Dank!
 




Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Ex_Senior
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-16


(mit nicht all zu viel Wissen)

Grundsätzlich dürfte es in die richtige Richtung gehen. $\mathbb{P}^n\backslash U_0$ wird durch $x_0=0$ beschrieben und ist somit eine projektive Varietät ($\mathbb{P}^{n-1}$ ?) in $\mathbb{P}^n$. Das dürfte für den Fall $V = \mathbb{V}(F)$ nützlich sein.

Im allgemeinen gibt es das Problem, dass $V$ auch Komponenten haben kann, die vollständig in $\mathbb{P}^n\backslash U_0$ liegen. Daher mußt Du zeigen, dass für eine irreduzible proj. Varietät $V_i$ die affine Karte generisch gewählt werden kann, d.h. $\overline{V_i\cap\mathbb{A}^n} = V$ muß für fast alle Möglichkeiten $\mathbb{A}^n\subset \mathbb{P}^n$ gelten.



Eine Notiz zu diese Forumbeitrag schreiben Notiz   Profil  Quote  Link auf diesen Beitrag Link
Teddyboer hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Neues Thema [Neues Thema] Antworten [Antworten]    Druckversion [Druckversion]

 


Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2020 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]