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Universität/Hochschule J Injektiv, surjektiv
Marcel20XO
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-16







Hallo,

Ich hänge grad an der Aufgabe hier fest. Siehe Bild

Sofort zu sehen ist, dass die Funktion f sowohl auf dem Intervall (−3,13] als auch auf (13,∞) streng monoton wachsend ist, man bekommt damit

f((−3,13])=(−∞,f(13)]=(−∞,4]

f((13,∞))=(f(13+0),∞)=(c+1,∞).

Die beiden Funktion schneiden sich ja für c <= 3 dann wäre es ja dafür für diesen Fall injektiv?!

Ich weiß wie ich die Injektivität bei einer Funktion wie f:R→R mit f(x):=2x+|x|. In dem ich Fall Unterscheidungen für x≥0 und x<0 und dann halt noch beides zusammen.

Jetzt aber steh ich bei der Aufgabe aufm Schlau und hoffe auf eure Unterstützung.



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-16


Hey Marcel20XO,

du meinst sicher, dass im Fall \(c < 3\) gerade nicht injektiv ist?
Außerdem schneidet sich da nichts, lediglich nimmt in dem Fall die Funktion den gleichen (\(y\)-)Wert an mehreren, unterschiedlichen Stellen an.
Nun, die Monotonie und die Bildbereiche sich anzusehen ist schon der richtige Ansatz. Wenn jetzt \(c < 3\) ist, dann ist \((c+1, 4) \neq \emptyset\). Für ein beliebiges \(\xi \in (c+1,4)\) kannst du also ein \(x \in (-3,13]\) sowie ein \(y \in (13, \infty) \) finden, sodass \(f(x)= \xi=f(y)\) gilt. Da offenbar \(x \neq y\) gilt, widerlegt das per Definition die Injektivität.
Wenn du im Fall \(c \geq 3\) die Injektivität nachweisen willst, solltest du für beliebige \(x,y \in (-3, \infty)\) mit \(x \neq y\) (man kann auch o.B.d.A \(x<y\) annehmen) am besten die vier Fälle
1. \(f(x),f(y) \in (-\infty,4]\)
2. \(f(x),f(y) \in (c+1,\infty)\)
3. \(f(x) \in (-\infty,4]\), \(f(x) \in (c+1,\infty)\)
4. \(f(y) \in (-3,13]\), \(f(x) \in (13,\infty)\) ,
wobei der vierte Fall entfällt, wenn man o.B.d.A \(x \neq y\) annimmt.



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Marcel20XO
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-16


Ja nicht injektiv war gemeint :P.

Bei der Surjektivität muss es für jeden f(x)-Wert mindestens ein x geben geben, das auf ihn abbildet. Und das ist für alle Werte hier abgedeckt für den Intervall (−∞,4]∪(c+1,∞) für c ≤3
und somit Surjektiv.

Bei den Fällen die du mir geschrieben hast, tue ich mir schwer. Ich hab noch nicht die "Erfahrung" sag ich mal, an so etwas anzugehen.
Kannst du es mir für den ersten Fall mal zeigen, wie so etwas geht?



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname}\)
Hallo,

2019-05-16 23:55 - Marcel20XO in Beitrag No. 2 schreibt:
Ja nicht injektiv war gemeint :P.

Bei der Surjektivität muss es für jeden f(x)-Wert mindestens ein x geben geben, das auf ihn abbildet. Und das ist für alle Werte hier abgedeckt für den Intervall (−∞,4]∪(c+1,∞) für c ≤3
und somit Surjektiv.

Ja, für \(c\le 3\) ist die zugehörige Funktion surjektiv.

2019-05-16 23:55 - Marcel20XO in Beitrag No. 2 schreibt:
Bei den Fällen die du mir geschrieben hast, tue ich mir schwer. Ich hab noch nicht die "Erfahrung" sag ich mal, an so etwas anzugehen.
Kannst du es mir für den ersten Fall mal zeigen, wie so etwas geht?

Das, was Kampfpudel da gemacht hat, ist viel einfacher, als es aussieht. Im ersten Fall gilt es einfach anzunehmen, dass sowohl für \(x\) als auch für \(y\) der erste der beiden Funktionsterme zuständig ist. Das läuft darauf hinaus, die betreffende Funktion auf Monotonie zu untersuchen, wobei du diese Eigenschaft ja bereits im Startbeitrag festgestellt hattest.

Im Fall 2) sind entsprechend die Variablen \(x,y\) beide in den zweiten Term einzusetzen, im Fall 3 in jeweils einen der beiden. Das ist dann sicherlich auf den ersten Blick der komplizierteste der drei zu betrachtenden Fälle. Aber wie war gleich nochmal c) zu wählen für die Injektivität?...


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Marcel20XO
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-17


Im Fall 2 soll ich ja x und y einsetzen.

Dann hätte ich für fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

ich weiß jetzt noch nicht wie ich damit weiterarbeiten kann wegen, oder gehe ich das grad falsch an.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

kann die obige Gleichung stimmen für \(x\neq y\)?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Marcel20XO
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-17


nicht wenn man c > 3 wählt.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

das hat mit der Wahl von c überhaupt nichts zu tun:

\[\ba
2^{x-13}+c&=2^{y-13}+c\\
\Leftrightarrow\quad 2^{x-13}&=2^{y-13}\\
\Leftrightarrow\quad 2^x&=2^y\quad\Rightarrow\quad x=y\\
\ea\]
Denn die Exponentialfunktion ist bekanntlich injektiv.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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Marcel20XO
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-17


ach wieso bin ich nicht drauf gekommen, ich hab ganz vergessen das ich das c einfach subtrahieren kann indem ich es rüber ziehe. Ich hab einfach kein durchblick mehr.

Für den dritten Fall, du hast ja gesagt das ich x und y diesmal auf jeweils einen der beiden Terme einfügen  und mit c > 3 arbeiten muss. Jedoch sagt mir das noooooch nichts :/.






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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-05-17 15:00 - Marcel20XO in Beitrag No. 8 schreibt:
Zudem hoffe ich das du/ihr mir noch weiter helfen könnt für den dritten Fall, du hast ja gesagt das ich x und y diesmal auf jeweils einen der beiden Terme einfügen  und mit c > 3 arbeiten muss. Jedoch sagt mir das noooooch nichts :/.

Hier würde ich etwas anders vorgehen:

- sind die beiden Einzelterme streng monoton wachsend (Antwort ist ja bekannt)?
- Was ist f(13) und gegen welchen Wert strebt \(2^{x-13}+c\) für \(c>3\), wenn x (von oben) gegen 13 strebt?
- Unter Verwendung der Antworten auf die beiden obigen Fragen: kann es im Fall 3) dann ein solches Paar \((x,y)\) mit \(f(x)=f(y)\) geben?


Gruß, Diophant

\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, eingetragen 2019-05-17


Ich würde es gar nicht so kompliziert machen.
Im dritten Fall seien \(x,y\) mit \(x \neq y\) so gewählt, sodass \(f(x) \in (-\infty,4]\) (also insbesondere gilt \(f(x) \leq 4\)) und \(f(y) \in (c+1, \infty)\) (also \(f(y) > c+1\)) gilt, wobei wir \(c\geq 3\) betrachten.
Ist es nun möglich, dass \(f(x)=f(y)\) gilt?



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Marcel20XO
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-17


f(13) = 4 und limx↘13f(x)=1+c für c >= 3

f(13)<=limx↘13f(x)=1+c

damit haben wir auch ein paar f(x) = f(y)

fertig?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]



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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, eingetragen 2019-05-17


Limesbetrachtungen sind gerade fehl am Platz. Außerdem will man doch \(f(x) \neq f(y)\) bekommen.



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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-05-17

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

2019-05-17 17:42 - Marcel20XO in Beitrag No. 11 schreibt:
f(13) = 4 und limx↘13f(x)=1+c für c > 3

damit haben wir auch ein paar f(x) = f(y)

fertig?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]

Eben nicht!

\[\lim_{x\searrow 13}f(x)=1+c>4\]
Und damit kann es kein Paar mit \(f(x)=f(y)\) geben. Das möchtest du doch zeigen. ;-)

Beachte auch die etwas vereinfachte Variante von Kampfpudel hierzu. Man braucht hier keinen Grenzwert berechnen, das diente eigentlich dur der Veranschaulichung das Sachverhalts: für \(c>3\) gibt es wegen der strengen Monotonie beider Terme in der Bildmenge sozusagen eine 'Lücke'. Da \(f(x)\) zum 'unteren' und \(f(y)\) zum 'oberen' Bereich der Bildmenge gehört, gibt es kein Paar \(x\neq y\), welches den Fall 3) und \(f(x)=f(y)\) erfüllt.


Gruß, Diophant

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.11 begonnen.]
\(\endgroup\)


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Marcel20XO
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Danke für die Hilfe, war eine schwere Geburt^^



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Marcel20XO hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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