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Analysis » Topologie » Vervollständigung des metrischen Raums durch Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen
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Universität/Hochschule J Vervollständigung des metrischen Raums durch Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen
kleineSonne
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-17


Guten Vormittag liebe Mathebegeisterten

de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndiger_Raum

Ich hätte einige Fragen zu dem Beweis in dem Link den man unter Vervollständigung in dem blau/grauen Kasten findet.

Zuerst werden ja alle CauchyFolgen mit dem selben Grenzwert in eine Äquivalenzklasse gepackt, dann wählt der Autor aber zwei aufeinanderfolgende Repräsentanten fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
und sagt die sollen jetzt nicht äquivalent sein. Warum darf er das?

und ist das   fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
eine Teilfolge ?


und warum kann er sagen das fed-Code einblenden

es handelt sich doch um zwei Folgen aus verschiedenen Äquivalenzklassen

Ich hätte gehofft wenn ich den Beweis lese, das ich verstehe wie man einen metrischen Raum auf diese Art vervollständigen kann, kann mir jemand vielleicht einen Artikel ,Beweis zeigen oder eine Erklärung geben warum das geht. Ich verstehe das bisher noch überhaupt nicht

Vielen Dank für jede Art von Hilfe



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-17

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo kleineSonne,

also erstmal zu deinen Fragen: $x_\mu$ und $x_{\mu+1}$ sind vertreter unterschiedlicher Äquivalenzklassen. Du betrachtest ja eine Folge von Äquivalenzklassen. $x_\mu$ ist ein Vertreter der $\mu$-ten Äquivalenzklasse, $x_{\mu+1}$ ein Vertreter der $\mu+1$-ten. Diese Klassen darf man unäquivalent wählen, da man sonst einfach alle Duplikate (also gleiche Äquivalenzklassen) aus der Folge rausnimmt. Ist z.B. die Folge: $a_1=1,~a_2=2,~a_3=2,~a_4=3,\dots$, dann betrachtet man stattdessen die Folge $b_1=1,~b_2=2,~b_3=3,\dots$, welche den selben Grenzwert hat, wenn sie einen hat. Wenn die Folge überhaupt nur endlich viele verschiedene Elemente hat, dann wird sie irgendwann konstant und hat daher ohnehin einen Grenzwert, nämlich diese Konstante. Dann wäre also nichts zu zeigen.

Und richtig, $x_\mu$ und $x_\nu$ sind aus verschiedenen Äquivalenzklassen. Aber die Folge von Äquivalenzklassen aus denen sie stammen ist eine Cauchyfolge. Daher wird $\tilde d(\tilde x_\mu,\tilde x_\nu)\leq\frac{\varepsilon}{3}$ wenn man $\mu,\nu$ ausreichend groß wählt.

Zur grundlegenden Idee: In einem vollständigen Raum sollen ja alle Cauchyfolgen konvergieren. Man muss also für jede nicht konvergente CF ein neues Element erfinden, gegen welches diese CF konvergiert. Das sollte aber auf eine konsistente Art ablaufen
Wenn man sich mal zwei konvergente Cauchyfolgen $a_n\to a$ und $b_n\to b$ anschaut, dann ist ja bekannt, dass $a_n-b_n\to a-b$. Zwei Cauchyfolgen haben also genau dann den selben Grenzwert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Also müssen nachher auch alle Cauchyfolgen, die bisher noch nicht konvergieren, aber deren Differenz eine Nullfolge ist, den selben Grenzwert erhalten. Diese Cauchyfolgen steckt man jetzt in eine Äquivalenzklasse.
Nun kann man jede dieser Äquivalenzklassen mit einer Zahl identifizieren (oder allgemeiner mit einem Element eines metrischen Raumes). Zum Beispiel die Äquivalenzklasse aller Cauchyfolgen, die gegen 2 konvergieren, identifizieren wir mit der Zahl 2. Die Äquivalenzklasse aller CF, die gegen 3 konvergieren, identifizieren wir mit der Zahl 3. Äquivalenzklassen von bisher nicht konvergenten Cauchyfolgen identifizieren wir mit einer neuen Zahl, die nun der Grenzwert dieser Cauchyfolgen ist. Die Metrik in diesem Raum von Äquivalenzklassen wird dabei so gewählt, dass Klassen, die wir mit schon existierenden Elementen identifizieren, den selben Abstand wie vorher erhalten, und gleichzeitig die neuen Äquivalenzklassen tatsächlich Grenzwert "ihrer selbst" sind. Ich bezeichne mal mit $[a]$ die Äquivalenzklasse, die man mit dem alten Element $a$ identifiziert. Wenn nun die Folge $a_n$ in einer Äquivalenzklasse $\tilde x$ enthalten ist, dann sollte die Folge $[a_n]$ der mit $a_n$ identifizierten Äquivalenzklassen den Grenzwert $\tilde x$ besitzen.
\(\endgroup\)


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kleineSonne
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-17


Hallo Vercassivelaunos,
und vielen Dank für diese ausführliche Antwort!

Kannst du mir nochmal genauer erklären was du mit dem letzten Absatz meinst, das habe ich noch nicht so begriffen

"und gleichzeitig die neuen Äquivalenzklassen tatsächlich Grenzwert "ihrer selbst" sind. Ich bezeichne mal mit [a] die Äquivalenzklasse, die man mit dem alten Element a identifiziert. Wenn nun die Folge an in einer Äquivalenzklasse x~ enthalten ist, dann sollte die Folge [an] der mit an identifizierten Äquivalenzklassen den Grenzwert x~ besitzen."





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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-17

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Ich mach es mal an einem Beispiel deutlich. Betrachte folgende Folge in $\Q$:

\[\begin{align*}
a_1&=3\\
a_2&=3.1\\
a_3&=3.14\\
a_4&=3.141\\
a_5&=3.1415\\
&~~\vdots
\end{align*}\]
Du hast wahrscheinlich das Muster erkannt: es wird einfach jedes mal eine weitere Stelle von $\pi$ hinzugefügt. Diese Folge sollte gegen $\pi$ konvergieren. $\pi$ ist aber irrational, also ist diese Folge in $\Q$ nicht konvergent, obwohl es sich um eine Cauchyfolge handelt. Man muss also eine neue Zahl "erfinden", gegen die diese Folge konvergieren kann.
Dafür geht man in den Raum der Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen. Wenn eine Cauchyfolge in $\Q$ konvergiert, dann identifizieren wir deren Äquivalenzklasse mit dem Grenzwert dieser Folge. Zum Beispiel konvergiert $\frac{n+1}{n}$ gegen 1, also identifizieren wir die zugehörige Äquivalenzklasse mit 1. Um klar zu machen, dass wir uns aber nicht in $\Q$ befinden, sondern in diesem Äquivalenzklassenraum, schreibe ich diese Äquivalenzklasse als $[1]$. $[1]$ ist die Menge aller Cauchyfolgen, die gegen 1 konvergieren. $[2]$ ist die Menge aller Cauchyfolgen, die gegen 2 konvergieren, und so weiter.
Jetzt können wir auch die Äquivalenzklasse anschauen, aus der die oben gegebene Folge $a_n$ ein Vertreter ist. Da wir schon etwas Vorwissen darüber haben, dass diese Folge gegen $\pi$ konvergieren soll, nenne ich diese Äquivalenzklasse ganz einfach $[\pi]$.
Was ich nun mit meinem letzten Absatz meinte: Wählen wir einen Vertreter dieser Äquivalenzklasse, zum Beispiel die Folge $a_n$. Dann soll im Raum der Äquivalenzklassen die Folge $[a_n]$ - eine Folge von Äquivalenzklassen, also $[a_1]=[3],~[a_2]=[3.1],~\dots$ - gegen die Äquivalenzklasse $[\pi]$ konvergieren. Denn wir haben ja $[a_n]$ mit der Zahl $a_n$ identifiziert, und wollten dafür sorgen, dass die Folge $a_n$ (bzw. im Raum der Äquivalenzklassen $[a_n]$) konvergiert, indem wir eine neue Zahl - $[\pi]$ - in den Raum einfügen, welche der Grenzwert dieser Folge sein soll. Die Metrik $\tilde d$ muss entsprechend so gewählt werden, dass tatsächlich $[a_n]\to[\pi]$ gilt, also $\tilde d([a_n],[\pi])\to0$.

Hier sei noch angemerkt, dass die Vervollständigung von $\Q$ noch etwas mehr Arbeit benötigt, da zum Beispiel $\tilde d([0],[\pi])=\pi\in\R\backslash\Q$ sein soll, aber $\R$ ja erstmal konstruiert werden soll. Man müsste also erst einmal zeigen, dass dieser Raum von Äquivalenzklassen angeordnet werden kann, sonst macht es keinen Sinn eine Metrik zu definieren, deren Wertebereich dieser Raum von Äquivalenzklassen ist.
\(\endgroup\)


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kleineSonne
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Ich hab ein wenig Zeit gebraucht um das + einen Beweis den ich gerade lese zu verdauen aber jetzt kommt langsam Licht ins Dunkel. Vielen Dank für deine Mühe und die so langen Texte !!!

Ich habe eine letzte Frage: In einem anderen Beweis (vielleicht auch in dem oben in dem Link) wird zum zeigen dass nun die Folge tatsächlich konvergiert (in deinem Beispiel gegen pi) eine Folge der Bilder (also eine Folge von Äquivalenzklassen) gewählt die gegen die Äquivalenzklasse von Pi konvergiert. Warum existiert so eine Folge?



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kleineSonne
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-19


Ich hab grad selber eine Idee bekommen, liegt das vielleicht einfach an der Konvergenz/Cauchy Eigenschaft. Da ja alle Folgeglieder in der Menge liegen müssen? Tut mir leid dass das so salopp ausgedrückt ist. Ich hoffe du verstehst was ich meine...



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-20

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo kleineSonne,

tut mir Leid wegen der späten Antwort. Ich war die letzten zwei Tage ziemlich beschäftigt.

Warum existiert so eine Folge?

Weil man sie extra dafür konstruiert hat. $[a_n]$ ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn $a_n$ eine Cauchyfolge ist. Wenn $a_n$ eine Cauchyfolge ist, dann existiert auch ihre Äquivalenzklasse, ich nenne sie mal $[a]$. Das ist nicht die Äquivalenzklasse der CF, die gegen $a_n$ konvergieren, sondern es ist die Äquivalenzklasse, in welcher die CF $a_n$ enthalten ist.
Und mit einer geeignet gewählten Metrik stellt sich nunmal heraus, dass $[a_n]\to[a]$ konvergiert. Wenn also $a_n$ eine CF ist, dann hat die entsprechende Folge $[a_n]$ im Raum der Äquivalenzklassen einen Grenzwert.
\(\endgroup\)


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kleineSonne
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Nochmal vielen Dank, das du dir die Zeit genommen hast mir zu helfen.
Jetzt verstehe ich das grobe ganz gut denke ich :-)


Bis bald !



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