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Mathematik » Stochastik und Statistik » Stochastische Auswertung von Daten
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Universität/Hochschule Stochastische Auswertung von Daten
Stefsn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-17


Hallo zusammen,
ich benötige Hilfe zur Auswahl geeigneter statistischer Tests.

Ich möchte prüfen ob die Abweichung des beobachteten Wertes vom Sollwert signifikant oder zufallsbedingt abweicht.

Folgende Situation:

Es gibt 2 Spieler A & B. Sie werfen eine Münze. Fällt Kopf, so gewinnt Spieler A, bei Zahl gewinnt Spieler B. Gewinnt Spieler A so muss Spieler B dem Spieler A 1€ geben und umgekehrt.

Ich untersuche also Irrfahrten mit absorbierenden Grenzen (Bankrott) und nach wie vielen Schritten (N) diese erstmalig erreicht werden. Hierfür gibt es eine Funktion, mit der man den E(N) errechnen kann (zu unterschiedlichen Grenzen und unterschiedlichen Gewinnwahrscheinlichkeiten bei gezinkter Münze).

Ich habe also folgende drei Sachen ermittelt:
- Funktion zur theor. Berechnung der Erwartenden Münzwürfe
- Daten einer Computersimulation. Dabei habe ich das Experiment mit einem Zufallsgenerator simuliert für die Gewinnwahrscheinlichkeiten pro Münzwurf für Spieler A $p=\{0;0.01;0.02;...;0.99;1\}$ bei unterschiedlichen Startkapital. Dann habe ich jede Kombination $10^5$ mal Simuliert um einen geeigneten Mittelwert zu errechnen.
- Gleicher Punkt wie vorher in der Realität simuliert mit einem 20-Seitigen Würfel (und deutlich geringerer Wiederholungszahl der Spiele bis jemand Bankrott ist). Aber mit $p=\{0;0.05;0.10;...;0.95;1\}$ und denselben Startkapitalen, die ich in der Computersimulation verwendet habe.

Nun stehe ich vor dem Problem, einen geeigneten statistischen Test zu finden der mir sagt, ob die Abweichung der Erwartungswerte der einzelnen Spiele signifikant oder zufällig sind. Ich möchte also gerne die gewonnenen Daten der verschiedenen Herangehensweisen miteinander vergleichen. Jeden für sich, aber auch 2 miteinander oder vielleicht sogar alle 3. Worauf muss ich achten. Woher weiß ich, welcher Test geeignet ist (ob der Chi-quadrat Test, t-Test, Gauß-Test, ...).

Hat jemand eine Idee?

Ich würde mich auch über Literaturempfehlungen freuen.



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AnnaKath
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-17


Huhu Stefsn und herzlich willkommen auf dem Matheplaneten,

Dir ist (gemäß 1) die Verteilung der Anzahl $N$ der Spiele bis zum Ruin eines Spielers bekannt. Zumindest für die Simulationen gemäß (2) wird es keine Probleme geben und Du kannst hier einen sehr allgemeinen, robusten Test verwenden, um nachzuweisen, dass die Simulation "in Ordnung" ist; im Falle (3) wird das (wegen der vermutlich geringen Stichprobenumfänge) ggf. etwas schwieriger. Trotzdem sollte man in der Praxis zunächst einen sehr allgemeinen Test verwenden, um ein robustes (also von ggf. falscher Modellierung unabhängiges) Resultat zu erhalten (auch wenn hier tatsächlich keine Frage besteht, dass das Modell richtig ist!).

Hier würde ich also konkret den Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest verwenden, der mindestens mal im Falle (2) ohne Probleme das gewünschte Ergebnis bestätigen wird.
Im Falle (3) mag die Trennschärfe nicht ausreichend sein, d.h. aber in der Praxis nur, dass Du weitere Daten erhebst (also noch viele Male würfelst) und nicht, dass Du speziellere Tests verwendest.

lg, AK.



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Stefsn
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Hey AnnaKath!

Danke für das nette Willkommen heißen.

Also ich wollte mal den Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest und den Chi-Quadrat-Test durchführen. Hier stellt sich jetzt noch eine Frage über das Vorgehen.

Aus (2) habe ich jetzt folgende Datenstruktur:
$p = \{0; 0.01; 0.02; ... ; 0.99; 1\}$.
Und zu jedem Wert $p$ gibt es $10^4$ verschiedene, simulierte Erwartungswerte. Kann ich für die Tests jetzt ohne Bedenken die Mittelwerte errechnen und diese dann in die Tests einspeisen? Es handelt sich bei den Daten auf jeden Fall um KEINE Normalverteilung.

Ich habe es mal mit den gemittelten Daten durchgerechnet.

Kolmogorov-Smirnov-Test
(1) <-> (2) liefert mir einen kritischen Wert von D = 0.0198 und ein p = 0.99999999999999978
--> Der Test untermauert erstmal, dass meine Modellierung und der Programmcode einwandfrei sind.
(1) <-> (3) liefert mir  einen kritischen Wert von D = 0.2342 und ein p = 0.7723
--> Also deutlich schwächer aufgrund der geringen Datenmenge. Wobei ich auch hier die Mittelwerte genommen habe, also die Daten nur die Hälfte betragen. Jedoch ist die Menge an Wiederholungen nicht gegeben, wodurch es denke zu der starken Abweichung kommt.

Chi-Quadrat-Test
(1) <-> (2) liefert mir ein $X^2$ = 0.065 und ein p = 1.0
--> Der Wert von 1 ist leider zu gut. Die Literatur sagt, dass man hier ablehnen sollte, weil die Verteilung zu regelmäßig ist.

Anbei mal ein Bild mit den errechneten E(x) und den Simulierten.


Hast du eventuell gute Literaturempfehlungen zu dem Thema, damit ich da besser einsteigen kann?


PS: Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist der Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest direkt für Normalverteilungen. Mit dem normalen Kolmogorov-Smirnov-Test kann man 2 Datensätze auf ihre Verteilung untersuchen. Wenn ich das falsch verstanden habe, gerne kurze Rückmeldung.


EDIT:

Mir ist über nacht noch eine kleine Idee im Traum gekommen. Wenn ich jeden Datensatz aus (2) zu einem gewissen p betrachte, dann müsste dieser doch Normalverteilt sein, mit Erwartungswert aus (1), korrekt? Also könnte ich doch die jeweils $10^4$ Werte mit festem p ebenfalls stochastisch untersuchen auf Normalverteilung? :-)

Und jetzt kommt der Burner. Vielleicht ist das ja schon die Antwort auf die Frage die ich in dieser Nachricht am Anfang gestellt habe. Und weil zu einem festen p sich die Werte (muss ich halt prüfen) Normalverteilt sind um E(x) aus (1), dann kann ich auch das Mittel der $10^4$ Werte zu jedem p bilden und darauf den Kolmogorov-Smirnov-Test zwischen (1) und (2) mit Mittelwerte aus (2) anwenden.



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AnnaKath
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-20


Huhu,

leider verstehe ich nicht so genau, was Du meinst.

Ein robuster Test wie etwa der KS-Anpassungstest erfordert keine Normalverteilungsannahme.

Das die p-Werte im Falle (2) so hoch sind, liegt natürlich daran, dass der (Pseudo-)Zufallszahlengenerator Deines Rechners gut ist und Du viele Beobachtungen samplest. Das ist nicht überraschend.

Der Fall (3) entspricht wohl eher einer realistischen Situation.

Den $\chi^2$-Test kannst Du natürlich verwenden; er ist allerdings nicht so flexibel (und auch nicht ganz so robust).

Deine Träume überlasse ich lieber Dir selbst...

lg, AK.



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