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Mathematik » Kombinatorik & Graphentheorie » Explizite Form einer Rekursion errechnen
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Universität/Hochschule Explizite Form einer Rekursion errechnen
EpsilonDelta
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-18


Gegeben sei die Rekursion
\[a_n = a_{n-1}+ 2a_{n-2}+(-1)^n\] mit den Anfangsbedingungen \[a_0=a_1=1\] Ich möchte daraus die explizite Form bestimmen.

Dazu gibt es eine systematische Vorgehensweise: Bestimme die erzeugende Funktion (indem ich beide seiten über \(n\ge 2\) aufsummiere und mit \(z^n\) multipliziere). Dann erzeugende Lösen, Partialbruchzerlegung und Koeffizientenvergleich.

Beim ersten Schritt hänge ich aber schon. Definiere \(a(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n\)

\[\sum_{n\ge 2}a_nz^n = \sum_{n\ge 2}a_{n-1}z^n + 2\sum_{n\ge 2}a_{n-2}z^n + \sum_{n\ge 2}(-1)^nz^n\\ = a(z)-a_1z-a_0 = z(a(z)-1)+2z^2a(z) +\sum_{n\ge 2}(-1)^nz^n
\]
Es folgt dann dass \[a(z)=\frac{1+\sum_{n\ge 2}(-1)^nz^n}{-2z^2-z+1}\]
Hier kann ich aber keine Partialbruchzerlegung machen. Bräuchte einen Tipp!



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo EpsilonDelta,

die auftretende Summe in deiner letzten Zeile ist für $\vert z\vert<1$ eine geometrische Reihe (minus die ersten beiden Reihenglieder), deren Grenzwert bekannt ist. Vielleicht hilft das ja.

Viele Grüße, Vercassivelaunos
\(\endgroup\)


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EpsilonDelta
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-18


Hi!

Das stimmt natürlich, jedoch kann ich doch nicht einfach \(|z|< 1\) annehmen oder doch?



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Vercassivelaunos
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-18

\(\begingroup\)\( \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Du musst sogar, sonst divergiert diese Reihe nämlich. Dein Vorgehen soll ja nachher sein, $a(z)$ als Potenzreihe mit Entwicklungszentrum $z_0=0$ darzustellen und die Koeffizienten abzulesen. Aber Potenzreihen haben nunmal einen Konvergenzradius, außerhalb dessen sie divergieren. Und es schadet der grundlegenden Methode ja auch nicht, im Nachhinein zu sagen: Wir definieren $a(z)$ nur auf $(-1,1)$. Die Potenzreihe lässt sich trotzdem aufstellen, und ihre Koeffizienten lassen sich auch ablesen.
\(\endgroup\)


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