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Analysis » Integration » Legendre-Polynom Integration
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Universität/Hochschule J Legendre-Polynom Integration
Law
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-18


Hallo Community,
Ich versuche gerade das folgende Integral zu lösen:
\(\int P_n(\mu) d\mu \), wobei \(P_n(\mu)\) das Legendre-Polynom n-ten Grades ist.
Wolframalpha gibt dabei folgendes Ergebnis an:
\(\int P_n(\mu) d\mu = \frac{P_{n+1}(\mu)-P_{n-1}(\mu)}{(2n+1)}\)
Allerdings habe ich keinen Ahnung, wie man dieses Integral lösen soll. Kann mir da jemand behilflich sein?
Schon mal vielen Dank im Voraus!

LG

Law



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TomTom314
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-18


Hallo,

durch ableiten der Rekursionsformel sollte man das Integral bestimmen können.



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Law
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Meinst du diese Rekursionsformel:
\((n+1)P_{n+1}(\mu)+nP_{n-1}(\mu)=(2n+1)\mu P_n(\mu)\)
Und was bringt mir das, wenn ich diese nach \(\mu\) ableite? Verstehe nicht, inwiefern ich dann auf das gesuchte Integral komme?



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-20


Um das Integral nachzurechnen, reicht es $(2n+1)P_n(\mu)=P'_{n+1}(\mu)-P'_{n-1}(\mu)$ zu zeigen. Dieses sollte mit den beiden Rekursionsformeln machbar sein. $(2n+1)P_n(\mu)$ tritt halt passend in der Ableitung der ersten Formel auf. Ggf. führt direktes anwenden der Formel $(\mu^2-1)P'_n(\mu)=n\mu P_n(\mu)-nP_{n-1}(\mu)$ schneller zum Ziel. Genauer nachgerechnet habe ich es nicht.



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Law
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Okay ich verstehe deinen Ansatz, allerdings verstehe ich nicht so ganz wie du es zeigen willst.
Die erste Rekursionsformel abgeleitet und umgestellt ergibt:
\((2n+1)P_n(\mu)=(n+1)\frac{d}{d\mu}P_{n+1}(\mu)-(2n+1)\mu\frac{d}{d\mu}P_n(\mu)+n\frac{d}{d\mu}P_{n-1}(\mu)\)
Willst du jetzt die zweite Rekursionsformel einsetzten?:
\(\frac{d}{d\mu}P_n(\mu)=\frac{1}{\mu^2-1}(n\mu P_n(\mu)-nP_{n-1}(\mu))\)
Das ist für mich allerdings nicht zielführend.



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TomTom314
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-20


Warum nicht? in $(2n+1)P_n(\mu)=P'_{n+1}(\mu)-P'_{n-1}(\mu)$ zuerst $(2n+1)P_n(\mu)$ ersetzen, dann alle Ableitungen einsetzen und $\mu^2-1$ rauskürzen. Dann hast Du eine Formel, von der relativ einfach nachgerechnet werden kann, ob diese richtig ist. Wenn Du einen anderen/schnelleren Weg findest, auch gut.



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Law
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Okay, dankeschön. Es hat geklappt.



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