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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Integral von Funktionenfolge
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Universität/Hochschule Integral von Funktionenfolge
Luki5811
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-20


Hallo!

Ich suche eine Funktionenfolge von [0,1] nach R von der das Integral existiert, aber bei der gilt :
Limes n gegen unendlich vom Integral von fn ist Ungleich Integral von f

Wann genau spielt hier das Vertauschen von limes und Integral eine Rolle?


Danke schonmal
Mfg



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}}\)
Hallo Luki5811,

Wenn $f_n$ gleichmäßig gegen $f$ konvergiert, dann vertauschen Integral und Grenzwert. Wenn die Konvergenz nur punktweise ist, dann nicht zwingend. Du wirst also eine punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergente Funktionenfolge benötigen.
\(\endgroup\)


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Kampfpudel
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, eingetragen 2019-05-20


Schau dir etwa \(f_n(x)= n \cdot \chi_{[0,\frac{1}{n}]}(x)\) an, wobei \(\chi\) die charakteristische Funktion ist.



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Luki5811
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


Eine punktweise konvergente Funktionenfolge auf [0,1] wäre doch zum Beispiel f: x -> x^n , oder?
Diese würde sich dann f = 1 wenn c=1 und sonst f=0 annähern



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Vercassivelaunos
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, eingetragen 2019-05-20


Ja, diese Folge ist nur punktweise konvergent. Bei diesem speziellen Beispiel vertauschen Integration und Grenzwert trotzdem (es kommt in beiden Fällen 0 raus). Du musst dir eine andere Folge ausdenken. Versuche am besten eine Folge zu finden, die gegen 0 konvergiert, aber deren Integral nicht gegen 0 konvergiert.

(Kampfpudel hat schon eine solche Funktionenfolge angegeben, aber ich empfehle dir, selber eine zu suchen, bevor du dir sein Beispiel im Detail anschaust)



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