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Differentiation » Mehrdim. Differentialrechnung » Extrema unter Nebenbedingungen
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Universität/Hochschule Extrema unter Nebenbedingungen
TiloTapir
Junior Letzter Besuch: im letzten Monat
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Themenstart: 2019-05-20


Hallo liebes Forum,
wir haben neu mit Extrema undter Nebenbedingungen angefangen und ich soll nun folgende Aufgabe lösen. Allerdings bin ich mir hierbei noch sehr unsicher.

Seien fed-Code einblenden und fed-Code einblenden

(a) Bestimmen Sie die kritischen Punkte der Funktion f unte der Nebenbedingung fed-Code einblenden .

(b) Zeigen Sie, dass f auf fed-Code einblenden Minimum und Maximum annimmt.

(c) Klassifizieren Sie damit die kritischen Punkte aus Teil (a)

Erstmal zu a) Das man hierbei mit der Lagrange Methode arbeiten muss ist mir soweit klar. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher wie sich das Mit meinem G verhält habe ich hierbei nun zwei Nebenbedingungen oder Zählt das ganze G als eine.

Wenn ich davon ausgehe das es zwei Bedingungen sind würde meine Lagrange Funktion wie folgt aussehen: fed-Code einblenden
Jetzt würde ich diese Funktion partielle ableiten.
Habe ich das bisher richtig gemacht mit den zwei Bedingungen oder ist das falsch?

Danke Im Voraus für Hilfe



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Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.1, eingetragen 2019-05-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo TiloTapir und herzlich Willkommen auf Matroids Matheplanet!

Man kann das so machen, wie du es angegangen bist. Man könnte hier aber die Nebenbedingung zunächst als nichtlineares Gleichungssystem auffassen:

\[
\begin{matrix}
x_1^2&+&x_2^2&&&-&4&=&0\\
x_1&&&+&x_3&-&1&=&0
\end{matrix}
\]
Hier könntest du die zweite Gleichung nach \(x_1\) auflösen und damit in die erste Gleichung eingehen, so spart man dann eine Nebenbedingung ein.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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TiloTapir
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Mitteilungen: 7
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-20


schonmal vielen Dank für die Antwort.
also wenn ich das richtig verstanden habe, habe ich dann
fed-Code einblenden eingesetzt in die erste Gleichung fed-Code einblenden
und damit stelle ich jetzt die Lagrange-funktion auf: fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
und würde davon jetzt die patiellen Ableitungen bilden.
aber jetzt habe ich ja garkein x1 mehr in der Nebenbedingung oder ist das nicht notwendig?





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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 1223
Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.3, eingetragen 2019-05-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

nicht ganz. Eingesetzt ergibt das

\[x_2^2-2x_3+x_3^2-3=0\]
In den Nebenbedingungen müssen selbstverständlich nicht alle Variablen auftreten.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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TiloTapir
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


danke für den Hinweis.
also lautet meine Lagrange Funktion nun fed-Code einblenden
jetzt habe ich hierfür die Ableitungen gebildet:
fed-Code einblenden

Nun muss ich ja das Lambda eliminieren was mit dem Additionsverfahren geht.
Meine Idee wäre jetzt : fed-Code einblenden
allerdings wären dann ja beide Gleichungen = 0. Daher verstehe ich nicht ganz wie ich sonst fortfahren könnte



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Diophant
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Aus: Rosenfeld, BW
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.5, eingetragen 2019-05-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
Hallo,

da ist noch ein Rechenfehler. Es sollte heißen:

\[L_{x_3}=1-2\lambda+2\lambda x_3=1-2\lambda(1-x_3)\]
Daraufhin solltest du deine richtige Grundidee noch einmal anpassen.


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.6, eingetragen 2019-05-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}\)
2019-05-21 10:16 - Diophant in Beitrag No. 5 schreibt:
da ist noch ein Rechenfehler. Es sollte heißen:

\[L_{x_3}=1-2\lambda+2\lambda x_3=1-2\lambda(1-x_3)\]
Daraufhin solltest du deine richtige Grundidee noch einmal anpassen.


Das mit der "richtigen Grundidee" erscheint mir doch sehr zweifelhaft, zumal die Ableitung nach $x_1$ wegen $L_{x_1}=1$ ja niemals 0 werden kann.
\(\endgroup\)


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Diophant
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.7, eingetragen 2019-05-21


Hallo nochmal,

@weird:
Danke, du hast wieder gut auf meine 'Milde' aufgepasst.  wink

@TiloTapir:
Sorry, da habe ich mich (mit der Idee, die Nebenbedingungen zusammenzuschmeißen) vertan. Rechne es so, wie du es ursprünglich machen wolltest: mit zwei unterschiedlichen Lagrange-Multiplikatoren.


Gruß, Diophant



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TiloTapir
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


achso okay,  dann fange ich nochmal an . Ich habe nachgelesen das es bei 2 Nebenbedingungen einfacher ist, dies mit der Determinantenmethode zulösen.

Hierbei hätte ich nur eine frage zum Ende der Rechnung:
Nach Bildung aller Ableitungen würde ich nun
fed-Code einblenden
dann ziehe ich die 3 Spalte von der ersten ab und erhalte : fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
und daraus dann: fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
was dann ja 2x1 = 0 sprich x1=0 ergibt.
kann ich dann einfach mein gefundenes x1 in die beiden Nebenbedingungen einsetzten
sodass ich x2=2 und x3 = 1 erhalte?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.9, eingetragen 2019-05-21


@TiloTapir

Ich hab jetzt deine Rechnungen in #8 nicht nachgerechnet, aber wenn ich in deine Funktion $f(x_1,x_2,x_3)=x_1+x_2+x_3$ einsetze, dass ja $x_1+x_3=1$ gelten muss, was auf $f(x_1,x_2,x_3)=x_2+1$ führt, so stellt sich für mich in Verbindung mit der anderen NB die Frage, für welche Punkte auf dem Kreis $x_1^2+x_2^2=4$ dann $x_2+1$ ein Maximum bzw. Minimum wird (wobei dann noch $x_3=1-x_1$ gelten muss).

Und ja, die Antwort kann man, wenn ich mich jetzt nicht irgendwo vertan habe, schon durch "scharfes Hinsehen" geben ohne irgendwelche Ableitungen bilden zu müssen!  wink

PS: Wenn du das mit der "Langrange-Methode" rechnen musst - in meinen Augen wäre das Wahnsinn pur! - dann können dir obige Überlegungen immerhin als Probe dienen.



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TiloTapir
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


danke für deine Antwort, allerdings verstehe ich noch nicht so genau die Aussage dahinter.
Wenn ich das jetzt alles durchrechne dann würde ja ansich fed-Code einblenden

passen was dann fed-Code einblenden

ergeben würde oder habe ich da etwas falsch verstanden ?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.11, eingetragen 2019-05-21


2019-05-21 12:11 - TiloTapir in Beitrag No. 10 schreibt:
danke für deine Antwort, allerdings verstehe ich noch nicht so genau die Aussage dahinter.
Wenn ich das jetzt alles durchrechne dann würde ja ansich fed-Code einblenden

passen was dann fed-Code einblenden

ergeben würde oder habe ich da etwas falsch verstanden ?

In Hinblick auf ein Maximum würde diese Antwort passen, aber solltest du nicht alle Extrema hier bestimmen?  eek

Und woher weißt du überdies, um welche Art von Extremum es sich dabei handelt? Gerade diese Spezifikation ist ja das übliche Problem bei der Rechnung mit Lagrangeschen Multiplikatoren.



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TiloTapir
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


achso ja klar da habe ich ein etwas übersehen was genau ich überhaupt suche.

aber war hierbei der Ansatz mit fed-Code einblenden
richitg?
dann wäre ja auf jeden fall x_1 = 0
fed-Code einblenden

aber dann würde 3 ja dennoch 1 ergeben
und ich hätte die Punkte P(0,2,1) und P(0,-2,1) oder bin ich da komplett falsch?



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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.13, eingetragen 2019-05-21


2019-05-21 12:45 - TiloTapir in <a href=viewtopic.php?und ich hätte die Punkte P(0,2,1 schreibt: und P(0,-2,1) oder bin ich da komplett falsch?


An dem Ganzen stimmt jetzt wirklich nur das Ergebnis (aber das wissen wir ja schon seit #9 und ohne Rechnung, oder?), mit deiner Rechnung in #8 kann ich leider überhaupt nichts anfangen und würde sie wirklich als komplett falsch einstufen. Insbesondere ist überhaupt nicht klar, wie du dort auf die anfängliche 3x3-Matrix kommst, vor allem deren 1.Spalte mit den lauter Einsern ist sehr suspekt.  eek



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Wally
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.14, eingetragen 2019-05-21

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Das Verfahren ist ok so  - wenn die Nebenbedingungen eine Kurve definieren (also <math>n-1</math> NB im <math>\IR^n</math>), hat man die Rangbedingung und die Lagrangebedingung gleichzeiteig in <math>\det (\grad f\, \grad G_1 \cdots \grad G_{n-1})=0</math> zusammen mit <math>G_1=\cdots =G_{n-1}=0</math>.

Wally
\(\endgroup\)


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weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.15, eingetragen 2019-05-21

\(\begingroup\)\( \newcommand{\D}{\displaystyle}\)
2019-05-21 13:42 - Wally in Beitrag No. 14 schreibt:
Das Vrefahren ist ok so  - wenn die Nebenbedingungen eine Kurve definieren (also <math>n-1</math> NB im <math>\IR^n</math>), hat man die Rangbedingung und die Lagrangebedingung gleichzeiteig in <math>\det (\grad f\, \grad G_1 \cdots \grad G_{n-1})=0</math> zusammen mit <math>G_1=\cdots =G_{n-1}=0</math>.


Ah, ok. Nach all den Irrungen und Wirrungen in diesem Thread hab ich dann in diesem Fall offenbar doch etwas vorschnell geurteilt.  frown
\(\endgroup\)


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TiloTapir
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2019-05-21


also, auf die anfängliche 3x3 Matrix sollte bin ich auf durch die partiellen Ableitungen von f bzw g1 und g2 gekommen. Ha
fed-Code einblenden

Wodurch auch die erste Spalte mit den Einsen entstanden ist, da jede Partielle Ableitung von f 1 ergibt
Sorry hatte ich wohl vergessen diesen Schritt auch aufzuschreiben ...

Aber das heißt das mein Ergebnis zu (a) soweit richtig ist?



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Folgende Antworten hat der Fragesteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
weird
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag  Beitrag No.17, eingetragen 2019-05-22 11:28


2019-05-21 17:22 - TiloTapir in Beitrag No. 16 schreibt:
also, auf die anfängliche 3x3 Matrix sollte bin ich auf durch die partiellen Ableitungen von f bzw g1 und g2 gekommen. Ha
fed-Code einblenden

Wodurch auch die erste Spalte mit den Einsen entstanden ist, da jede Partielle Ableitung von f 1 ergibt
Sorry hatte ich wohl vergessen diesen Schritt auch aufzuschreiben ...

Aber das heißt das mein Ergebnis zu (a) soweit richtig ist?

Richtig in dem Sinne, als es es hier auf ein richtiges Ergebnis führt, ja. Ob auch richtig als Antwort auf die Frage, ob das eine empfehlenswerte Vorgangsweise auch für andere Aufgaben dieser Art ist, da würde ich dann doch eher mit nein antworten. Der in meinen Augen "natürlichste" Zugang hier wäre doch einfach die 3 Gleichungen

$(1)\ L_{x_1}=1+2\lambda_1x_1+\lambda_2=0$

$(2)\ L_{x_2}=1+2\lambda_1x_2 =0$

$(3)\ L_{x_3}=1+\lambda_2=0$

ganz normal aufzulösen: Durch Einsetzen der Gleichung (3) in (1) erhält man sofort $2\lambda_1 x_1=0$, und da $\lambda_1=0$ wegen (2) auf den Widerspruch $1=0$ führen würde, auch sofort $x_1=0$. Die zugehörigen Werte für $x_2$ und $x_3$ erhält man dann wieder über die Nebenbedingungen. So würde ich das zumindestens machen.



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